yey4zwet 1x4@华南理工大学高等数学竞赛解答-数学竞赛资料文档

……………… 20××数学竞赛试卷………注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；… 3．考试形式：闭卷；… 4.本试卷共8大题，满分100分， 考试时间120分钟号 …位 … 一、计算下列各题（每小题6分，本大题共36分）座 …… limn11ne１.求极限线……解原式…

nn ne 1e… 1 e 1enln11n

1 1…

nln1 1

ln 1…

e

n

e

x

elim1

e… n 1

n 1

x0 x2

x0

2x 2… n n业 …专 ……２.求极限

lim

xnexdx……………解由于

n ex10xnex 0__ ) 封_题…

ex1

xn,x

0,1_ 答… 1xnex 1 1

1xnex_院不…

故0limn ex

dxlimxndxlim 0,从而由夹逼准则lim1 n nn1 n ex

1dx0_ 学 …

0 0 0_ 内………

1x

_ 线__ …

３.求极限limxx0

tt

dt,其中t

为不超过t的最大整数._ 密_ ( …

1 x

x

1

1 1…

tt

tt

tt

dt xx1……解由于2x1……

0

1 0

0

2 2x………

1xttdt1… xx0 2…号 ….在原点附,试用一个二次多项式近似代替函数fx3x1sintdt学 密 2t2… 0…解由于 …

1sinx

1

2x2

x2x

sinx

1…f ……

3,f

x ,f 0 ,f x 2x2 2

2x21 1

,f 02…fxf0

0 x

0 x23 x x2名 … 1! 2! 2 4姓 ……… 15页………PAGE55页５.计算

cos4x2 dx解由aa

1ex2fxdxafxfxdx0可得2

cos4x

dxs

31 xdx 21ex 22

4 2 2 16６.计算

zy2

ds,其中cx2y2z2R2xyz0的交线c 解zy2

dszdsy2ds,由曲线的轮换对称性可得c c cy21zxyds1(y2z2x2)ds01R2ds2R33 3 3 3c c c c二8分fxx1x1点可导,f0,f12,f求limx0

sin2xcosx。x2xtanx解：原式

sin2

xcosx1flim

sin2

xcosx

1sin2

xcosx1

lim x2

x2 1x0

sin2

xcosx1 x2xtan

fx0

11tanx 2 三（本题10 分）证明Pn

x

1 dn2nn!dxn

x21 ,n0,1,2,

满足关系式x2Px2xPxnnP

x0n n1 n

n,z12nn,z12nn!证设z

2nn!

x21

,n

x21 2nx,2nxz

x21z两边再求n1阶导数,得

n1 2nxz

n1

n1zn

x21

zn2

2x

n1

zn1

2 zn2!从而x2zn22xznnnzn0zn2Pxzn1PxznP

xn n n故x2Px2xPxnnPx0n n n四（本题10 分）设函数fx在上连续，在内可微, 且f0f10,f

11(1存在1,1使得f;(2存在0,使2 2 得ff1证(1)Fxfxx,Fx在上连续，F010,F111

0,存在1,1f;2 2 2 (2设Gxfxxex,则Gx在0,上连续，在0,,且Gxfx1fxxex,G0G)0,存在0,使得0,ff1x2y2z2五、（本题 10 分）已知ufx2y2z22u2u2ux2 y2 z2

x2y2z2

3,

t2解u ft2x

x ,ux2y2z2 xx

ft

2 ftx2x

y2z2x22,2u 2u 2u ff

x2y2z23

x2y2z2从而 x2

y2

z2

x2y2z2

x2y2z2 2ft

ft

x2y2z2

2et,从而r2r0,r111

0,r2

1,y*atet代入,解之得afc1

cet2

tet（本题10分fxyD上有连续偏导数,且满足关系式2fx2

2fy2

0,1）

ffnds

2 2 f 成立，其中曲线 f c D

边界，n为c的外法线方向（2f,y在cf,yD内也恒等于零证（1）设单位切向量为t，则外法线单位法向量为n,sin，从而fffffdsff cosf cosffdxffdynxyyxc c c等式左边

cosfy

cos由格林公式，等式左边ff x xD再由已知可得，左边=右边ffds0ncffds0nc

ffy

y

f2ffx xxD

f2ffy

dxdy（2）由已知

xydxdy D

2 2 从而xy 0,x因此fx,y0

y0,f

x,

为常数，再由于边界上f

x,

0，（本题8分）

x2y2

y2z2

z2x2

dxdy。其中是x2a2

y2z2b2 c2

1z0的上侧解取1

:z0,x2a2

y21下侧 b 则原式

2x2y2zdv

x2 dxdy 1 1

x2y2a2b2C z2 2 12zdv x2dxdy2zab1 c2

dzda2r2cos2abrdr x2y2a2b2

0 0 01 abc2a3b1 2 4（8分）假定一个半径为rk0。已知两小时内融化其体积的四分之一，问剩余部分需要多少小时才能全部融化。解由已知

dV 4 dr k4 r2,V r3, k,rktc， dt 3 dt令t0时rr0

，则rr0

kt由已知t2时r