考研必备自动化专业自控原理第九章状态空间分析法计算题

计算和证明题已知机械系统如图9-7所示，m1,m2为质量块，m1受外力F(t)作用。弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选必定数量的状态变量，成立系统的状态空间描绘。y(t)F(t)k1k2m1m2图9-7题图提示：设中间变量质量块m1的位移为z，依据牛顿定律有F(t)k1(zy)m1z①同理对证量块m2有k1(zy)k2ym2y②设状态变量x1zx2zx1x3yx4yx3由式①x2zk1x1k1x3F(t)m1m1m1由式②x4yk1x1k1k2x3m2m2所以有x10100x10x1k1k1x2m10m10x21x2m1F(t)y000001x310x3k20x3x4k10k10x40x4m2m2已知系统构造图如图9-8所示。试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。u1x21x1ys1s22x2102xu提示：11y10x已知系统的微分方程，试成立其相应的状态空间描绘，并画出相应的状态构造图。（1）y5y7y3yu6u8u（2）y5y7y3yu3u2u01000100提示：（1）x001x0u，状态构造图略（2）x001x0u，状态结37513751y861xy145xu构图略。判断以下矩阵能否知足状态转移矩阵的条件，假如知足，试求与之对应的A阵。10011(1e2t)（1）Φ(t)0sintcost（2）Φ(t)20costsint0e2t提示：（1）不是状态转移矩阵，因为Φ(0)I。（2）是。AΦ(t)01t002线性系统x00x0u，x(0)1，在单位阶跃输入时系统的响应x(t)。011110，x(t)101t1001提示：Φ(t)ttt1( )dt0e0e100e12e1x0100x1u已知状态空间描绘为2，试求：20x1）依据状态空间描绘画出系统状态构造图；2）判断系统的能控性和能观察性；3）求系统的传达函数；4）求系统状态转移矩阵；5）求该系统的特点方程。提示：（1）状态构造图略（2）能控且能观察（3）G(s)c(sIA)1bss2（4）(2)Φ11(1e2t)（5）sIAs2s0(t)220e2tY(s)sa线性系统的传达函数为s310s227s18U(s)1）试确立a的取值，使系统为不可以控，或成为不可以观察的。2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间描绘。3）在上述a的取值下，求使系统为能观察的状态空间描绘。提示：（1）Y(s)s3sa18sa，当传达函数出现零极点抵消时，系统U(s)10s227s(s1)(s3)(s6)的状态有可能是不可以控或不可以观察的，即a1,3,6。（2）当a1,3,6时，能控的状态空间描绘（能控I型）：x1010x10x2001x20ux3182710x31x1ya10x2x3（3）当a1,3,6时，能观察的状态空间描绘（能观察II型）：x10018x1ax21027x21ux30110x30x1001x2x3试鉴别以下系统的能控性和能观察性。1000201401（1）0300，21，C3700A041B00000041021000002110200000211（2）0020000，111321A0002000B0000110100000001010100000011002213111C11120001111010提示：利用约当标准型判据。（1）能控不可以观察；（2）能控不可以观察。给定二阶系统xAx,t0，现知对应于两个不一样初态时状态响应为1x(0)21x(0)1

时，时，

e2t，x(t)2t2eet，x(t)et试求（1）求系统状态转移矩阵Φ(t)；（2）系统矩阵A。提示：齐次状态方程x(t)Ax(t),t0，x(0)x0的解为x(t)Φ(t)x0，已知x0和x(t)，则可先求出Φ(t)，再求系统矩阵A。（1）Φ(t)2e2e

te2tet2e2te

te2t012e2t；（2）A3t2已知系统的传达函数为s26s3G(s)24s，试将其转变为能控标准型、能观察标准型和约当标准s3型，并画出相应的状态构造图。x01x0ux030u34114x提示：能控标准型：；能观察标准型：2；约当标准型：y02xuy01xu101ux3x01。状态构造图略。y13xux1xu10线性系统的空间描绘为1，确立使系统为状态完整能控和状态完整能观察的y01x待定常数和。提示：状态完整能控的鉴别矩阵M0，210；状态完整能观察鉴别矩阵N0，得和没关。故使系统为能控和能观察的待定常数和知足的关系为：210设系统描绘为xAxbu，yCx，此中，1100A010，b1,C010；求系统的状态转移矩阵及状态转移矩阵的逆阵。0000ettet0ettet0提示：Φ(t)0et0，Φ1(t)Φ(t)0et00010010100x000x1u系统状态空间描绘为0300010x1y01u12

y1ux2x1y22x3（1）试判断系统的能控性和能观察性；（2）画出系统的状态构造图；-3（3）若系统不完整能控或不完整能观察，试给出系统按能控性和能观性分解后的状态空间描绘。（4）求出系统的传达函数G1(s)Y1(s)Y2(s)。,G2(s)U(s)U(s)提示：（1）由约当标准型判据，特点值为0的约当块重数为双重，约当块对应B阵最后一行不全为零，C阵第一列不全为零；而特点值为-3的约当块是单根，对应的B阵出现了全零行，故状态不可以控但能观察。（2）状态构造图以下图。（3）状态x1,x2能控，状态x3不可以控，但状态x1,x2，x3都能观察，则能控且能观察的状态为x1,x2，不能控能观察的状态为x3，按能控性分解：010令变换矩阵Rc=R1R2R3，此中R1B1,R2AB0,R30001010010Rc100,Rc11000010010001100ARc1ARc=100，BRc1B=0，CCRc0110030（4）由状态构造图可知：G1(s)Y1(s)s1Y2(s)2s21U(s)s,G2(s)U(s)s201000x0000x1u，判断系统的能控性和能观察性，并求传系统的状态空间描绘以下0010100011y0110x递函数Y(s)。U(s)提示：系统矩阵为约当阵，可用约当标准型判据。可知系统状态能控，但不可以观察（x1,x4不行观察）。Y(s)=112s1。U(s)ss1s(s1)x0212xu线性连续系统的状态空间为00，求失散化后系统的失散状态空间描绘。y01xcos2Tsin2T1sin2T2x(k1)sin2Tx(k)1u提示：cos2T(cos2T1)2y(k)01x(k)已知系统构造图如图9-9所示，试1）写出系统的状态空间描绘；2）鉴别系统的能控性和能观察性。1x1s1u1x2ys3x32s1011提示：（1）x031x1u；（2）由秩判据可知，能控不可以观察。0020y110xu已知系统的动向方程以下01x0x3u4111x1）判断该系统能否渐近稳固，能否BIBO稳固（2）若初始条件x(0)11T，u1(t)，求状态响应x(t)；（3）能否能够用状态反应将AbK的特点值配置到｛-3，-3｝若能够恳求出状态反应增益矩阵K；（4）说明系统的能观察性能否因为引入（3）中的状态反应而改变提示：（1）均衡状态xe0，特点方程sIAs23s40，特点值s11,s24，拥有正实部的特点值，所以系统是均衡状态不是渐近稳固的。Y(s)1，极点s4拥有负实部，所以是BIBO稳固。传达函数s4U(s)（２）状态转移矩阵Φ(t)0.8et0.2e4t0.2et0.2e0.8et0.8e4t0.2et0.8e0.8et0.45e4t0.25状态响应x(t)1.8e4t0.8et

4t4t（３）由秩判据，可知状态完整能控，能够随意配置极点。K[133]（4）状态反应不改变能控性，但不可以保证其能观察性。没有引入反应前，系统是状态能控但不可以观察的（传达函数出现零极点抵消，消去了不稳固的极点1），引入反应后，闭环极点为｛-3，-3｝，零点是s1，没有零极点抵消，故是状态能控且能观察的。已知一系统的约当标准型为310000000030000010003000421x00300x8u041000011286000001123问此系统能否稳固能否能控能否能够镇定提示：不是渐近稳固的，不可以控，可是不可以控子系统是渐近稳固的，故状态反应是可镇定的。给定线性定常系统xAxBu,yCxDu,若作非奇怪变换xTz后,问:1）非奇怪线性变换能否改变原系统的特点方程和极点散布证明你的结论。2）非奇怪线性变换能否改变原系统的传达函数阵证明你的结论。3）非奇怪线性变换能否改变原系统的状态能控性和能观性证明你的结论。提示：非奇怪线性变换不改变特点方程、系统的传达函数阵，故闭环极点也不变。并且也不改变原系统的能控性和能观察性。证明略。已知系统状态空间表达式为：10x1x0u10ycx试问可否设计状态反应阵K，使闭环极点为-1，-2，为何若能，求K阵提示：能够。能控，能够随意配置极点。计算两个子系统的传达函数为

AbK1k1k2，K[42]10G11,G2s1(s)(s)5)(s1)(s5)s(s1）按G1(s)~G2(s)串连时，试剖析组合系统的能控性、能观察性；2）按G2(s)~G1(s)串连时，试剖析组合系统的能控性、能观察性；3）按G1(s)~G2(s)并联时，试剖析组合系统的能控性、能观察性。提示：G1(s)~G2(s)串连时，出现零极点抵消，系统不是能控且能观察的。当消去的零点在前面的一个传递函数中，系统将是状态不可以控但能观察的，即按G2(s)~G1(s)串连时；反之，系统是状态能控但不可以观测的，即按G1(s)~G2(s)串连。并联时，没有零极点抵消，系统是能控且能观察的有一系统传达函数为Y(s)sa，并知其有一对共轭复根：s1,21j。U(s)s45s310s210s4（1）确立实数a为何值时