华东师范大学数学分析历年真题9706

（

分）设是区间

I

上的连续函数。证明：若

为一一映射，则

在区间

I

上严格单调。二（

分）设证明：若

在点

处都可导，且

则

三（

分）考察函数

的凸性，并由此证明不等式：四（

四（

分）设级数

收敛，试就d

为正项级数和一般项级数两种情况分别证明

级数两种情况分别证明

也收敛。五（

分）设方程F

,

满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数

。又设F

,

具有连续的二阶偏导数。（） 求

)（）

若F

,

为

当F(

,

)

与F

,

同号时，

为极大值；当F(

,

)

与F

,

异号时，

为极小值。（） 对方程

，在隐函数形式下（不解出）求

的极值，并用（）的结论判别极大或极小。六（

分）改变累次积分的积分次序，并求其值。七 （ 分 ） 计 算 曲 面 积 分I

其

中 第页/共页

为

锥

面（）

用定义验证：

；

上介于

h的一块，

为（）

用定义验证：

；的下侧法向的方向余弦。华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一．

简答题（

分）n

n

n

n

（） 计算

.二

（

分

）

设

有

连

续

的

二

阶

导

函

数

，

且

求

三（

分）n（）已知nn

n

为发散的一般项级数，试证明

也是发散nn（（）证明

n

n

n

在

上处处收敛，而不一致收敛。

:

,

F(

)

(

)

,其中

为连续函数，证明F

.

为由两抛物线

与

所围成的闭域。试在

内求一椭圆，

b

使其面积为最大。六（

分）设u

,

有连续二阶偏导数，F

u,

有连续一阶偏 导数，且满足F

u

,u

F

F

七（

分）设

为

,

第页/共页的正数。证明若

()

在(

,

)

上连续，则

常数。华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题

n

N

，一．设

n

N

，

),证明：

收敛，并求其极限。二.证明：若函数

在区间

I

上处处连续，且为一一映射，则

在

I上为严格单调.三.用条件极值的方法证明不等式：四.设

在(,

)

()

，证明

在(,

)

上不一致连续。五.设

()

在

,b上二阶可导，且

()

，

()

，证明：

明：

bb

dt

,

,b

.六.设

,

在

,b

,d

上有二阶连续偏导数。（）

通过计算验证：

(,

)

(,

)（）

利用（）证明：

(,

)

(,

),

(,

)

七

.

设对

每个

,

()

在

,b

上

有界

，且

当

时，

),

,b证明：（）

()

在

,b上有界；八．设

,

P

(

,

)

为

的内点，

P

(

,

)

为

的外点， 证明：直线段

PP

至少与

的边界

有一个交点。华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一．（

分）计算题：第页/共页（）

);

（）

;二．（

）

二．（

）

为递推数列；

（）

)

，….F

,

,所确定的可微隐函数，试求

Z.

（三．

在

,b（

在

,b内可导，

()

K

（正常数）,

,b).

证明

右连续（同理在点

b

左连续）.

在点

)

)

.证明:n

n（）

I

nn

I

…;（）

I

,

….五

（

分

）

设

为

一

旋

转

曲

面

，

由

平

面

光

滑

曲

线

),

,b

(

(

)饶

积的方法，导出

的面积公式为（提示：据空间解几知道

的方程为

）六（

分）级数问题：（）

设

,

,求

(

)

。

第页/共页（） 设

收敛，

证明:证明：若

在

,b上无零点。则当

充分大时

证明：若

在

,b上无零点。则当

充分大时

在,b上也无零点，并有华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一．（

分）简单计算题.）验证：当

时，

）求不定积分

。

e

与

e

为等价无穷大量.）求曲线积分:

I

,其中有向曲线

如图所示.）设

为可微函数，

和方程

(*)试对以下两种情形，分别求

在点

P

处的值：（）由方程(*)

确定了隐函数:

,

);（）由方程(*)

确定了隐函数:

(,

).二

.

（

分

）

求

由

椭

球

面

b

与

锥

面

b

所围立体的体积。三.（

分）证明：若函数

在有限区间

,b内可导，但无界，则其导函数

()

在

,b内亦必有界.第页/共页四.（

四.（

...

亦）{

}

,b,

使；

；nn n nn n必绝对收敛.五（

分）设

在

上连续，

证明：）

{

}

在

上不一致收敛；）

{

()

}

在

上一致收敛。六（

分）设函数

()

在闭区间

,b上无界,证明：n）

,b,

使得：

在

,

,b

上无），奖励

分）华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一.（

分）计算：n

.；

e

).设

F

为

F

,

,

确定了

为

与

的函数，求

,

在点

的值.二

.

（

分）设函数

,

g

均在

,b内有连续导数，且对于任何

,b，有

F

()

()g

()

g

()

()

，求证：

,

g

不可能有相同的零点； 的相邻点之间必有

g

的零点；第页/共页在

的每个极值点

,b，存在

的某邻域，使得g

在该邻域中是严格单调的.三

.

（

分

）

设

初

始

值

给

定

，

用

递

推

公

式

得到数列

{

}

。

n求证数列

{

}

收敛；求

{

}

所有可能的极限值；n试将实数轴

R

值，

{

}

都收敛于相同的极限值.四.（

分）设

，求椭球体

的表面积.

五.（

分）设数列

{

n}

有界但不收敛，求证：对于任何

n

收敛；n

e

e

在

,

上一致收敛；

e

在

上不一致收敛.六.（

分）设函数

在

上连续，求证：七.

（

分）设函数 在

上严格递增，且有连续导数，

设

g

是

的反函数，求证：对于任何

，都有

(

)

g

du

当

()

时，下列不等式成立

g

du

,其中当且仅当

立.第页/共页华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一（

；

，则

，则

，则dz

{(

,

}

，则

e

L

{(

,

}

方

向

为

顺

时

针

方

向

，

则

L二.（

分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）若

则n

n

n

0.若

()

在

上可导，且导函数

有界，则

()

在

)

上一致连续。若

在

,b上可积，F

在

,b上可导，则

F

).

收敛，且

收敛，且

则

若

n

n

收敛。三.（

分）求极限

三.（

分）求极限

,记此极限为

，求函四.（

分）设四.（

分）设

在

上连续，且

证明第页/共页

,其中M

。

五.五.（

分）若函数

,

在

上对

连续，且存在L

，对,

,

，

,

,

L

.求证：

(,

)

在

上连续.六.（

分）求下列积分:

I

(,

,

)

,(

其中

{(

,

,

},七（

分）设

r

r

r

n

r

n

；（）求证：

r

r

八（

分）

b

,

b.

n

,

n

n求证：

{

}

收敛。华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一.（

分）计算题 （）求

（）若

e

),

求

.（）求

)

.（（）求幂级数

的和函数

.（）L

为过

和

的曲线

，求:

.L第页/共页（

）

求

曲

面

积

分

)

,

其

中

,

取上侧.二（

分）判别题（正确的证明，错误的举反例）

.若

{

,

n

2,...,}

{

}

至少存 在一个聚点

,

).

若

在,b

上连续有界，则

在,b

上一致连续.

若

),

g

在 上可积，则:

.

.若

收敛，则nn

收敛.

若

在

上

定

义

的

函

数

,

存

在

偏

导

数

(,

),

(,

)

，且

(,

),

(,

)

在

上连续，则

,

在

上可微.

.

(,

)

在

上连续，

,

{(

,

r

}

若r 则

(,

)

(,

)

.三.（

分）函数

在(

,

)

上连续且

，求证：

()

在(

,

)

上有最大值或最小值.四（

分）求证不等式：

,

),

n

在

,b上连续且

()

在

,bn 上

一

致

收

敛

于

,

若

,b],

,

求

证

：N

,

使

[,b],

N

,

()

六（

分）设

{

}

满足：

.第页/共页（）

,

（）级数n

n

收敛。求证：

n

n

.七（

分）若函数

()

在

上一致连续，求证：

在

上有界.

P

,

,

),

,

,

),

,

,

在

有连续偏导数，而且对以任意点为,

,

中心，以任意正数

r

为半径的恒有:求证：,

,

),

,

,

P

(

,

,

)

(

,

,

)

华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题一（

分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例）

，当当n

N

时均有

.设

在[,

)

上连续，

在[,

)

上一致连续，那么

在上一致连续.n设 nn

n

那么正项级数

n

n

收敛.

,

在点

,

沿任意方向的方向导数都存在，则函数

(,

)

在点

,

连续. 二（

分）计算下列各题。

求极限

第页/共页求极限

n

n.求曲线

在

处的切线方程。设

在

R

上连续，

g

e

，求

g

.

求

.

设

,

b,

g

,

,

,

求

g

.

设

是有向曲面

，外侧。求第二型曲面积分

b

.求椭球面

b

的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积.三（

分，

/（

分），（

:设

()

在有限区间,b

()

在区间(,b)上有界.

n

n

n

n

条件收敛.

,

n

设

()

在区间

,b

连续，

求证：函数列{

)}

在,b

上一致连续于

设

(,

) 在

,b

,

d

上

连

续

，

求

证

：g

,

在

,d

上连续.

,b

设

为在区间,

上的有界连续函数，并且对于任意实数

存在.华东师范大学

年攻读硕士学位研究生入学试题第页/共页一（）判别题（正确证明，错误举反例或说理由） 设 数 列 {

} 满 足 条 件 ：

N

, 使

N

N

,

，则

{

}

收敛。n设正数列

{

}

满足条件

则

收敛。 设

()

在,b设正数列

{

}

满足条件

则

收敛。 ,b

上有界.

设

在

,b

上

可

积

，

且

b

，

则

存

在

,

处可微.[,

d

]

[,b]

，使得:

,d

],

设

,

在,

的某邻域内连续，且在(

,

)

处

有

偏

导

数

(

,

),

(

,

),

则

(,

)

在 二.计算题（

分）求

b

,

其中

b

.求

()

的麦克劳林级数展开式。求求

.

设

u),

方

程

(

)

P(

)

定

义

了

隐

函

数

(

)

求

(,

)

，

其中

u),

u

可微

，

),

连续

，且

. 求

(

)

,

其中

{(

,

,

:

1}三.证明题（

分）

设