数学22《圆的一般方程》教案(苏教教必修2)

一般高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]第14课时圆的一般方程教课目的1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2）能剖析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3）解题过程中能剖析和运用圆的几何性质．教课要点圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．教课难点圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程能否为圆方程．教课过程一、问题情境1．情境：方程(x1)2(y2)24表示如何的图形？2．问题：方程(x1)2(y2)24是几元几次方程？二元二次方程必定表示圆吗？二、学生活动察看方程(x1)2(y2)24整理后的形式x2y22x4y10，获得是对于x,y的二元二次方程，且x2,y2项的系数相等不为零，不含有xy项；反过来，像这样的二元二次方程x2y2DxEyF0必定表示圆吗？三、建构数学将方程x2y2DxEyF0配方，得(xD)2(yE)21(D2E24F)与圆的224标准方程进行比较获得：1．当D2E24F0时，方程表示以(D,E)为圆心，D2E24F为半径的222圆；2．当D2E24F0时，方程表示一个点(D,E)；223．当D2E24F0时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)叫做圆的一般方程．四、数学运用1．例题：例1．求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程；剖析：因为O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一条直线上，所以经过O,M1,M2三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，∵O,M1,M2三点都在圆上，∴O,M1,M2三点坐标都知足所设方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所设方程，F0得：DEF204D2EF200D8解之得：E6F0所以，所求圆的方程为x2y28x6y0．法二：也能够求

OM1和

OM

2

中垂线的交点即为圆心，圆心到

O的距离就是半径也能够求的圆的方程：

x2

y2

8x

6y

0

．法三：也能够设圆的标准方程：

(x

a)2

(y

b)2

r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得

(x

4)2

(y

3)2

25例2．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB中点M的坐标(x,y)中x,y知足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A的坐标是(x0,y0)，因为点B的坐标是(4,3)，且M是AB的中点，所以xx04,yy03（＊）22于是，有x02x4,y02y3因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标知足方程(x1)2y24，即(x01)2y024（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得(2x41)2(2y3)24，整理得(x3)2(y3)2122所以x,y知足的关系为：(x3)2(y3)2122其表示的曲线是以(3,3)为圆心，１为半径的圆．22说明：该圆就是M点的运动的轨迹；所求得的方程就是M点的轨迹方程：点M的轨迹方程就是指点M的坐标(x,y)知足的关系式．例3．某圆拱桥的表示图如右图，该圆拱的跨度AB是36米，拱高OP是6米，在y建筑时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精准到0.01米）．PP2解：以线段AB所在直线为x轴，线段AOA2BxAB的中点O为坐标原点成立直角坐标系，那么点A,B,P的坐标分别为(18,0),(18,0),(0,6)；设圆拱所在的圆的的方程为x2y2DxEyF0，∵点A,P,B在所求的圆上，则坐标代入得：18218DF0D018218DF0，解之得E48626EF0F324∴圆拱所在的圆的方程为x2y248y3240；将点P2的横坐标x6代入圆方程，解得y241265.39（舍去负值）答：支柱A2P2的长约为5.39米．2．练习：课本P练习第4,5,6题；课本P第8题．