第 十 八 章 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 杭州电子科技

隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.

一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理四、隐函数求导数举例

§1隐函数一个方程式所确定的函数．例如：一、隐函数概念显函数：因变量可由自变量的某一表达式来表示的函数．例如：隐函数：自变量与因变量之间的对应关系是由某隐函数的一般定义：设有一方程则成立恒等式其中若存在对任一有惟一确定的与之对应,使得满足方程(1),则称由方程(1)确定了一个定义在,值域含于的隐函数．如果把此隐函记为取值范围．例如由方程可确定如下两个函数：注2

不是任一方程都能确定隐函数,例如显然不能确定任何隐函数．注1

隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要化为显函数．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关．注3

隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的在§2还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.注4类似地可定义多元隐函数．例如:由方程确定的隐函数确定的隐函数由方程二、隐函数存在性条件分析条件时，由方程(1)能确定隐函数,并使要讨论的问题是：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续、可微等良好性质?(a)

把上述看作曲面与坐标平面的交线，故至少要求该交集非空，即，满足

连续是合理的．(b)

为使在连续，故要求在点由此可见，是一个重要条件．点存在切线，而此切线是曲面在点的切平面与的交线，故应要求在(c)

为使在可导，即曲线在点可微，且(d)

在以上条件下，通过复合求导数，得到三、隐函数定理定理18.1(隐函数存在惟一性定理)

设方程(1)中的函数满足以下四个条件：(i)

在以为内点的某区域上连续；(ii)(初始条件)；(iii)

在内存在连续的偏导数；(iv)则有如下结论成立：在上连续．存在某邻域，在内由方程(1)惟一地确定了一个隐函数并且满足：，当时，使得证

首先证明隐函数的存在与惟一性．

证明过程归结起来有四个步骤(图示如下)：

(b)正、负上下分

＋＋＋

___+_0

(c)同号两边伸

＋＋＋＋－－－－(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－

(a)一点正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++(a)“一点正,一片正”由条件(iv),不妨设因为连续，所以根据保号性，使得

(a)一点正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

(b)正、负上下分

＋＋＋

___+_0(b)“正、负上下分”因故把看作的函数，它在上严格增，且连续(据条件(i))．特别对于函数由条因为关于连续，故由(b)的结论，根据保号性，使得

(c)同号两边伸

＋＋＋＋－－－－(c)“同号两边伸”(d)“利用介值性”因关于连续,且严

格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存在惟(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－满足一的就证得存在惟一的隐函数:由的任意性,这若记则定理结论得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:欲证上述在连续.＋＋＋＋－－－－..类似于前面(c)，使得取足够小，使由对严格增，而推知在上处处连续．因此在连续.由的任意性,便证得且当时，有类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有注1定理18.1的条件(i)～(iv)既是充分条件,又是一组十分重要的条件.例如：在点虽不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数②(双纽线),在点同样不满足条件(iv)，而在该点无论多小的邻域内,

用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，的作用．二则是在后面的定理18.2中它们还将起到实质性注3读者必须注意,定理18.1是一个局部性的隐函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出:除了三点以外,曲线上其余各点处都确实不能确定惟一的隐函数(见图).注2

条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻域内关于为严格单调．之所以采存在局部隐函数(这不难用定理18.1加以检验，见四、例１)．注4在方程中,与的地位是平等的.当条件(iii)、(iv)改为时，将存在局部的连续隐函数连续,且

“

”定理18.2(隐函数可微性定理)设函数满足定理18.1中的条件(i)～(iv),在内还存在连续的.则由方程所确定的隐函数在I内有连续的导函数，且(注:其中示于定理18.1的证明(d)).使用微分中值定理,使得证设则由条件易知F可微，并有显然也是连续函数．因都是连续函数,故时并有(3)注1当存在二阶连续偏导数时，所得隐函数也二阶可导．应用两次复合求导法，得将(2)式代入上式，经整理后得到注2利用公式(2),(3)求隐函数的极值:(a)求使的点,即的解．(b)在点处因，而使(3)式化简为

(4)(c)由极值判别法,当时,隐函数

在取得极大值(或极小值)设在以点为内点的某区域上,

则存在某邻域在其内存在惟一的、连续可微的隐函数，且有注3

由方程(5)确定隐函数的相关定理简述如下：F

的所有一阶偏导数都连续，并满足(6)更一般地，由方程确定隐函数的相关定理,见教材下册p.149上的定理18.3,这里不再详述.解令它有连续的求解分别得到四、隐函数求导数举例

例1试讨论双纽线方程所能确定的隐函数

再考虑隐函数的极值．由于在其他所有点处都存在局部的可微隐函数所以，除这三点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数同理，除这五点外，曲线上由对称性可知,各点处都能确定局部的隐函数．例2讨论Descartes叶形线(7)所确定的隐函数的存在性，并求其一阶、二阶导数．解令先求出在曲线(7)上使的点为

.除此两点外,方程(7)在其他然后再算出:

为了使用公式(3),先算出:由公式(2)求得平切线和垂直切线．类似于例1的方法,求出曲线上使的点为在几何上，它是两条曲线和的交点(见图).容易验证所以隐函数在点取得极大值以上讨论同时说明,该曲线在点和分别有水例3试求由方程所确定的隐函数在点处的全微分．解法1(形式计算法)对方程两边微分，得将代入，又得解法2(隐函数法)设由于上处处连续,而因此在点P

附近能惟一地确定连续可微的隐函数且可求得它的偏导数如下：以代入,便得到例4用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数.解设在的某邻域内有连续的导函数且现在来考察方程由于因此只要就能满足隐函数定理的所有条件,由方程(8)便能确定连续可微的隐函数(8)因它满足故它就是的反函数.应用隐函数求导公式,又可得,故将此两式相加便得所需结果.例5设是由方程所确定的隐函数,其中F具有连续的二阶偏导数,试证证易知于是有由此得到再分别对x与y求偏导数,又得因在假设条件下,1．在隐函数的定义中，为什么强调必须指出3．设能确定连续可微的隐函数:(由此能说明些什么?)验证：2．在定理18.1对隐函数连续性进行证明时，复习思考题因变量的取值范围？(结合例题加以说明.)最后为什么要用到隐函数的惟一性？4.试对例3的两种解法(形式计算法与隐函数法)作一比较,指出两者各有哪些优缺点?

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