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文档简介

傅立叶变换要求函数f

在有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角函数等都不满足条件（在广义的意义下仍可求），以时间t

为自变量的函数在区间无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用，为此引入拉普拉斯

(Laplace)变换。拉普拉斯变换的积分核为§4.3拉普拉斯变换的概念和性质

在复参数p

的某个区域内收敛。记作：若f(t)在内的任一有限区间是分段连续的，且存在常数

使得

则在半平面Re(p)>c

内，f(t)的拉普拉斯变换F(p)一定存在，且F(p)还是p的解析函数。拉普拉斯变换的存在条件：基本性质(注意p的范围是复平面的一部分)：

1)基本变换:2)线性性质3)

微分性质若则4)积分性质6)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导8)卷积性质练习：答案：拉普拉斯变换既适用于常微分方程，也适用于偏微分方程。例解常微分方程的初值问题:解：对t

进行拉普拉斯变换,设§4.4拉普拉斯变换的应用

则原方程变为进行拉普拉斯逆变换,考虑到

有例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y

进行拉普拉斯变换。则方程变为：设而变为

解常微分方程得取拉普拉斯逆变换，得例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0度，求杆上温度分布规律。解：需要求解定解问题思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？对t

进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为二阶方程，但是仅有一个边界条件！考虑到具体问题的物理意义：u(x,t)表示温度，故

D(p)=0.

再由边值条件可知，C(p)=F(p).

为求出u(x,t),

需要对U(x,p)进行拉普拉斯逆变换。由拉普拉斯变换表知，例

求解定解问题解：对t进行拉普拉斯变换。设我们得到常微分方程的通解为由边界条件，从而，因为所以拉普拉斯变换的反演公式：利用留数基本定理，可得积分变换法求解定解问题的基本步骤：

1)选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是，拉普拉斯变换要求取值范围是2)注意定解条件的形式。假如对x进行拉普拉斯变换，而原方程是关于x的k

阶方程，则定解条件中必须出现3)定解条件中部分条件需要进行相应的积分变换，部分条件不需要进行积分变换。对方程进行积分变换时用到的条件都不再进行相应的积分变换。4)通过积分变换

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