平稳时间序列模型预测培训课件

平稳时间序列模型预测设平稳时间序列是一个ARMA(p,q)过程，即本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值

进行预测，记为，称为时间序列的第步预测值。1§7.1最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值与真值的均方误差达到最小，即设预测值与真值的均方误差

我们的工作就是寻找，使上式达到最小。2条件无偏均方误差最小预测

设随机序列，满足，则如果随机变量使得

达到最小值，则如果随机变量使得

达到最小值，则3根据上述结论，我们得到，当时，使得达到最小。对于ARMA模型，下列等式成立：4ARMA模型的预测方差和预测区间

如果ARMA模型满足因果性，则有所以，预测误差为5由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是当前样本和历史样本已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长有关，而与预测起始点t无关。当预测步长的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。6进一步地，在正态分布假定下，有由此可以得到预测值的95%的置信区间为或者

7§7.2对AR模型的预测首先考虑AR(1)模型当时，即当前时刻为t的一步预测为当，当前时刻为t的步预测8对于AR(p)模型当时，当前时刻为t的一步预测为

当，当前时刻为t的步预测9例7.1

设平稳时间序列来自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信区间。解：10根据第三章章，可以计计算模型的的格林函数数为所以的的95%的置信区间间为（－1.076，3.236）的95%的置信区间间为（－2.296，3.952）11例7.2已知某商场场月销售额额来自AR(2)模型(单位：万元元/月)2006年第一季度度该商场月月销售额分分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该该商场2006年第二季度度的月销售售额的95%的置信区间间。12求第二季度度的四月、、五月、六六月的预测测值分别为为13计算模型的的格林函数数为四月、五月月、六月的的月销售额额的95%的置信区间间分别为四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）14§7.3MA模型的预测测对于于MA(q)模型型我们们有有当预预测测步步长长，，可可以以分分解解为为当预预测测步步长长，，可可以以分分解解为为15MA(q)模型型预预测测方方差差为为16例7.3已知知某某地地区区每每年年常常住住人人口口数数量量近近似似的的服服从从MA(3)模型型（（单单位位：：万万人人））2002年—2004年的的常常住住人人口口数数量量及及1步预预测测数数量量见见表表年份人口数量预测人口数量20022003200410410810511010010917预测测未未来来5年该该地地区区常常住住人人口口数数量量的的95%的置置信信区区间间。。18预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）19§7.4ARMA模型型的的预预测测关于于ARMA模型型有2021例7.4已知知ARMA(1,1)模型型为为且，，预预测测未未来来3期序序列列值值的的95%的置置信信区区间间。。22首先先计计算算未未来来3期预预测测值值计算算模模型型的的格格林林函函数数为为23计算算预预测测方方差差计算算得到到未未来来3期序序列列值值的的95%的置置信信区区间间预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）24§7.5预测测值值的的适适时时修修正正25综合合上上述述推推导导，，可可得得适适时时修修正正预预测测公公式式为为：：上述述公公式式说说明明：：新新的的预预测测值值是是在在旧旧的的预预测测值值的基础上上，加上上一个修修正项推推算出来来的，而而这一个修修正项比比例于旧旧的一步步预测误误差，比比例系数随随着预测测超前步步数的变变化而变变化。例7.2续假设一个个月后已已知四月月份的真真实销售售额为100万元，求求第二季季度后两两个月销销售额的的修正预预测值及及95%的置信区区间。因为根据上述述公式可可以计算算五月、、六月的的修正预预测值如如下：29修正预测测方差为为步预