问题导学在数学课堂多元化教学评价中的实践研究-以《求离心率的大小和范围》复习课为例

“问题导学”在数学课堂多元化教学评价中的实践研究-以《求离心率的大小和范围》复习课为例

[Summary]“问题导学”复习课教学模式包含四个环节：知识回顾——自主构建——应用探索——总结归纳。本文以《求离心率的大小和范围》为例，阐述在“问题导学”复习课教学模式指导下进行教材分析、教学设计和教学反思实践研究。以“问题导学”复习课教学模式开展教学，践行对学生实施数学思维育人模式，促进教师专业水平的提高。[Keys]问题导学；复习课；实践研究依据数学知识规律，通过特定的课堂教学活动对学生原有的知识结构进行完善、拓展的课型称为复习课。复习课是高中数学课堂教学极为重要的一环，是学生巩固数学知识，培养数学思维能力，形成数学核心素养的有效途径。黄河清老师长期在高中数学教学一线，在实践中逐渐探索出“问题导学”教学法，我校数学教师在“问题导学”教学法理论的影响下，在课堂教学中加以实践，硕果累累。“问题导学”复习课教学模式包含四个环节：知识回顾——自主构建——应用探索——总结归纳。每一个环节都有导向性的问题设置，结合教学目标和数学规律，在课堂教学中层层递进，引导学生进行高水平的数学思维训练，进而促进学生的数学核心素养的提升。本文以《求离心率的大小和范围》为例，阐述“问题导学”教学法在复习课中的教学设计、实践与反思。一、教材分析离心率是刻画椭圆扁平程度、双曲线开口大小的一种度量，是圆锥曲线重要的几何性质.求离心率的大小和范围问题是高考数学的热点和难点。离心率既可以考查圆锥曲线的定义和性质，也可以结合平面几何、三角函数和平面向量等内容综合考查，同时还能深入考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力以及数形结合、转化与化归和函数与方程等数学思想.因此在历年高考中备受命题者青睐.在高考一轮复习中，我们复习不仅要求求全，更要求“联”.而在二轮复习中，我们是不在求全，而应求“变”.基于以上理念，设计本课题教学.本节课是圆锥曲线求离心率问题的复习课，旨在通过精心设计的课堂教学活动，巩固学生的基础知识，拓展知识结构，掌握求解的方法。二、教学设计（一）知识回顾我们知道离心率是刻画椭圆扁平程度双曲线开口大小的一种度量.如图所示：问题1：请你说说，在椭圆和双曲线中哪些线段分别表示设计意图：复习椭圆和双曲线和对应线段的关系，复习离心率的定义和范围。（二）自主构建问题2：请同学们做以下题目：（1）双曲线的离心率为________.（2）椭圆的一个焦点为，则的离心率为________.并思考这两道题目的相同点和不同点.设计意图：这两道题目的共同点是可以直接求解，离心率也就直接求解，不同点是第（1）题已知，可以求；第（2）题已知，可以求.例1．（2017新课标Ⅱ）若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．解法一：【师】：本题和前面两题有什么区别？【生】：前面两题直接可以求解本题不能直接求解.【师】：如何寻找关于的等量关系？【生】：我们可以从几何图形中寻找.【师】：同学们，请在三角形背景下寻找关于的等量关系，在中，,可以求解哪条线段的长度？【生】：可以做圆心到弦长的垂线，得到弦心距为.【师】：我们求解的弦心距和双曲线中的如何建立关系？【生】：通过点到直线的距离公式可以建立关于的方程.解法二：【师】：请同学再观察，该三角形有何特点？【生】：是正三角形.【师】：在中，的大小是？【生】：等于.【师】：和双曲线中的如何建立关系？【生】：.问题3.通过以上几道题目，你能归纳出求离心率大小的基本方法吗？设计意图：本题不能直接求解的值，如何建立关于的等量关系？通过老师不断的引导，学生探索发现，建立等量关系。学生先归纳总结，之后老师在学生归纳总结的基础上补充完善，归纳总结求离心率大小的基本方法：（1）通过已知条件画出几何图形；（2）通过图形列出关于的等式；（3）解等式（常化为的齐次式）.（三）应用探索例2.双曲线的两个焦点为若为双曲线上一点，且求离心率的取值范围.解法一：【师】：本题和例1有何不同？【生】：例1是求解离心率的大小，本题是求离心率的范围.【师】：本题中哪些条件是固定的？【生】：.【师】：哪些条件是运动的？【生】：为双曲线上一点.【师】：动点意味着变化，变化就会产生不等关系，请看在哪些位置有变化？【生】：点从右上方运动到点，的长度逐渐变小，从点运动到右下方，的长度逐渐变大.【师】：你能用从来表示这些变化吗？【生】：.解法二：【师】：我们观察，你能用来表示这些变化吗？【生】：解法三：【师】：我们学习了双曲线的第二定义，的长度如何表示？【生】：.【师】：参考解法一，我们能用从来表示吗？【生】：.即.【师】：本题中双曲线的范围是？【生】：.亦即.问题4.通过以上解法，你能否归纳出求离心率范围的方法？设计意图：本题是求解离心率的范围.解决本题的关键在于确定的不等关系，题目只给了两焦半径的等量关系，难点在于挖掘题目中的隐含条件确定不等关系.一方面我们可通过几何图形定性分析，找到边的不等关系，另一方面，也可通过定量计算，利用双曲线的性质范围由方程过渡到不等式，从而确定不等关系.通过三种解法，引导学生总结归纳出求离心率范围的方法：（1）通过已知条件画出几何图形；（2）通过图形列出关于的不等式；（3）解不等式（常化为的齐次式）.问题5：若将条件改为结果又会怎样呢？设计意图：在双曲线中，当两个焦半径边的数量关系由具体过渡到抽象时，考查离心率的变化情况.通过变式训练，加深对求离心率范围问题求法的理解.问题6：在问题5的前提下，若将条件双曲线改为椭圆，结果又会怎样呢？设计意图：将圆锥曲线类型由双曲线改为椭圆，其他条件不变，离心率的变化范围又会怎样呢？题目的变式，考查学生对于条件的变化后对求离心率范围问题的掌握情况，满足不同层次学生的学习需求，提升学生数学核心素养水平.（四）总结归纳问题7.本节课我们复习了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？（1）求离心率的基本步骤①通过已知条件画出几何图形②通过图形列出关于的等式③解等式（常化为的齐次式）（2）求离心率范围的基本步骤①通过已知条件画出几何图形②通过图形列出关于的不等式③解不等式（常化为的齐次式）(3)用到了数形结合、转化与化归、函数与方程的数学思想.设计意图：学生通过总结归纳，完善数学知识结构，掌握数学思想方法，培养数学核心素养.三、教学反思复习课是比较常见的课型。复习是完善、深化学生知识结构关键环节。多元化评价深度融入课堂教学中，老师以问题设计作为引导，学生在一系列具有递进性、挑战性和探究性问题的引导下开展教学，进行高水平的思维训练。学生在评价中既可以巩固消化数学知识，又可以促进知识内化。还可以培养学生在思考问题的时候注重数学本质、去伪存真、举一反三的思维方法，逐步提升数学核心素养。以“问题”为载体，以学生的“学”为目标，以教师多元化设计的“导”为主线组织课堂教学，这是基于多元化评价的问题导学核心所在。老师在进行教学设计的过程中，既要考虑知识之间的联系，又要考虑知识的变化，还要考虑学生的学情等情况进行评价设计。为此，教师在设计的时候会对专业的知识进行深入的探讨和研究，潜移默化之下，教师的专业水平得到极大的发展。另外，课堂评价得到体现，真正实现教学相长。注：本文系广西教育科学规划2021年度B类课题“新高考下数学课堂多元化教学评价的实践研究”（编号：2021B253）的研究成果。Refere