第六章第1讲不等式的概念与性质配套课件

第六章不等式第1讲不等式的概念与性质第六章不等式第1讲不等式的概念与性质考纲要求考点分布考情风向标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景2011年大纲第5题考查不等式的基本性质不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题考纲要求考点分布考情风向标1.了解现实世界和2011年大纲1.两个实数比较大小的方法1.两个实数比较大小的方法性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒________⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性注意c的符号2.不等式的基本性质a＞cac＜bc性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>性质性质内容特别提醒同向可加性⇒同向同正 可乘性⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)a，b同为正数可开方性(续表)＞性质性质内容特别提醒同向可加性⇒同向同正⇒可乘方性a>b>0)D1.若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(A.b＜0，c＜0B.b＞0，c＞0C.b＞0，c＜0D.0＜c＜b或c＜b＜0解析：由

a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0.又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.)D1.若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则()2.设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(D)2.设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(D3.如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不)C(－π，0)一定成立的是( A.ab>ac

C.cb2<ab2B.c(b－a)>0 D.ac(a－c)<0

解析：由题意知，c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时，C不正确.3.如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下考点1不等式的基本性质例1：(1)(2014年四川)若a>b>0，c<d<0，则一定有()答案：B考点1不等式的基本性质例1：(1)(2014年四川)若)(2)设0<a<b，则下列不等式中正确的是()(2)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(答案：B答案：B(3)(2016年福建泉州月考)若

x>y，a>b，则在下列五个式子中：恒成立的不等式的序号是__________.(3)(2016年福建泉州月考)若x>y，a>b，则在下

解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意x>y，a>b. 因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以a－x＝b－y.故①不成立； 因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by.故③也不成立；所以恒成立的有②④.

答案：②④ 解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意x

【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假.

(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.判断一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，此时只能用所学知识严密证明. 【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先 (【互动探究】1.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：其中能成立的个数是()A.1B.2C.3D.4【互动探究】其中能成立的个数是()A.1B.2C.3D.4

解析：∵a＞0＞b>－a，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0.∴ad＜bc.∴①错误.∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0.∵c＜d＜0，∴－c0.∴②正确.∵c＜d，∴－c＞－d.∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d.∴③正确.∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c).∴④正确.故选C.

答案：C 解析：∵a＞0＞b>－a，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0考点2利用作差比较大小又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1.例2：在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，试比较下列各组数的大小.(1)a2与b2；(2)a5与b5.解：设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d.考点2利用作差比较大小又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1∴a2<b2.(2)∵a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1q4－a1－2a1(q2－1)＝a1(q2－1)2>0，∴a5>b5.∴a2<b2.

【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号.作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的.常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等.有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等.总之，变形到能判断出差的符号为止. 【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变

【互动探究】

2.(2015年浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax＋by＋czC.ay＋bz＋cx

B.az＋by＋cxD.ay＋bx＋cz 【互动探究】的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.a

解析：由x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz.因为az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.故最低费用为az＋by＋cx.故选B.答案：B 解析：由x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－22

考点3利用作商比较大小 考点3利用作商比较大小第六章第1讲不等式的概念与性质[配套课件]第六章第1讲不等式的概念与性质[配套课件]第六章第1讲不等式的概念与性质[配套课件]∴f(n＋1)>f(n)，即f(n)单调递增.

【规律方法】第(2)小题要分k为奇数和偶数两种情况来讨论；第(3)小题利用作商法判断数列的单调性.所谓作商法：若B

判断商值与1的大小关系.指数不等式常用作商法证明.有时要用到指数函数的性质.如若a＞1，且x＞0，则ax＞1等.∴f(n＋1)>f(n)，即f(n)单调递增. 【规律方法【互动探究】4.比较1816与1618的大小.【互动探究】

易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立

例题：设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.

正解：方法一，设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b). 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 易错、易混、易漏∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴f(－2)＝4a－∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.确定的平面区域如图6-1-1.图6-1-1∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.确定的平面区域如图6-当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10.∴5≤f(－2)≤10.当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，

【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的问题，可以考虑待定系数法、换元法和线性规划法，要特别注意1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4中的a，b不是独立的，而是相互制约的，因此无论用哪种方法都必须将a－b，a＋b当作一个整体来看待. 【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的

1.准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化；不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况，“单向性”主要用于证明不等式，“双向性”主要用于解不等式，因为解不等式必须是同解变形. 1.准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理

2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种办法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.

3.两个(多个)同向不等式可相加或相乘(注意限制条件)，但不能相减或相除.在求差或商的时候，可根据差、商分别是和、积的逆运算，先进行转化，再利用不等式的性质转化为同向不等式的相加或相乘. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊 3.第六章不等式第1讲不等式的概念与性质第六章不等式第1讲不等式的概念与性质考纲要求考点分布考情风向标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景2011年大纲第5题考查不等式的基本性质不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题考纲要求考点分布考情风向标1.了解现实世界和2011年大纲1.两个实数比较大小的方法1.两个实数比较大小的方法性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒________⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性注意c的符号2.不等式的基本性质a＞cac＜bc性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>性质性质内容特别提醒同向可加性⇒同向同正 可乘性⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)a，b同为正数可开方性(续表)＞性质性质内容特别提醒同向可加性⇒同向同正⇒可乘方性a>b>0)D1.若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(A.b＜0，c＜0B.b＞0，c＞0C.b＞0，c＜0D.0＜c＜b或c＜b＜0解析：由

a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0.又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.)D1.若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则()2.设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(D)2.设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(D3.如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不)C(－π，0)一定成立的是( A.ab>ac

C.cb2<ab2B.c(b－a)>0 D.ac(a－c)<0

解析：由题意知，c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时，C不正确.3.如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下考点1不等式的基本性质例1：(1)(2014年四川)若a>b>0，c<d<0，则一定有()答案：B考点1不等式的基本性质例1：(1)(2014年四川)若)(2)设0<a<b，则下列不等式中正确的是()(2)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(答案：B答案：B(3)(2016年福建泉州月考)若

x>y，a>b，则在下列五个式子中：恒成立的不等式的序号是__________.(3)(2016年福建泉州月考)若x>y，a>b，则在下

解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意x>y，a>b. 因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以a－x＝b－y.故①不成立； 因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by.故③也不成立；所以恒成立的有②④.

答案：②④ 解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意x

【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假.

(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.判断一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，此时只能用所学知识严密证明. 【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先 (【互动探究】1.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：其中能成立的个数是()A.1B.2C.3D.4【互动探究】其中能成立的个数是()A.1B.2C.3D.4

解析：∵a＞0＞b>－a，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0.∴ad＜bc.∴①错误.∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0.∵c＜d＜0，∴－c0.∴②正确.∵c＜d，∴－c＞－d.∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d.∴③正确.∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c).∴④正确.故选C.

答案：C 解析：∵a＞0＞b>－a，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0考点2利用作差比较大小又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1.例2：在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，试比较下列各组数的大小.(1)a2与b2；(2)a5与b5.解：设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d.考点2利用作差比较大小又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1∴a2<b2.(2)∵a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1q4－a1－2a1(q2－1)＝a1(q2－1)2>0，∴a5>b5.∴a2<b2.

【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号.作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的.常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等.有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等.总之，变形到能判断出差的符号为止. 【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变

【互动探究】

2.(2015年浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax＋by＋czC.ay＋bz＋cx

B.az＋by＋cxD.ay＋bx＋cz 【互动探究】的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.a

解析：由x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz.因为az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.故最低费用为az＋by＋cx.故选B.答案：B 解析：由x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－22

考点3利用作商比较大小 考点3利用作商比较大小第六章第1讲不等式的概念与性质[配套课件]第六章第1讲不等式的概念与性质[配套课件]第六章第1讲不等式的概念与性质[配套课件]∴f(n＋1)>f(n)，即f(n)单调递增.

【规律方法】第(2)小题要分k为奇数和偶数两种情况来讨论；第(3)小题利用作商法判断数列的单调性.所谓作商法：若B

判断商值与1的大小关系.指数不等式常用作商法证明.有时要用到指数函数的性质.如若a＞1，且x＞0，则ax＞1等.∴f(n＋1)>f(n)，即f(n)单调递增. 【规律方法【互动探究】4.比较1816与1618的大小.【互动探究】

易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立

例题：设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.

正解：方法一，设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b). 即4a