2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷

11B254矩阵，1

1,1,2,3T,2

1,1,4,T,3

5,1,8,9T是线订装专业:信计 考试日期： 所需时间：120分总分：100线订装一、填空（5分×10）

齐次方程组Bx0的解向量，求Bx0的解空间的一个规范正交基.1在P4中，向量(1,2,1,1)在(1,1,1,1, (1,11,1),

(1,1,1,1)， (1,1,1,1),下的坐标 . 1 2 342P[x中定义f(x)f(x，其中x是不是线性变0 0换 .：号 3线性空间V的两组基的过渡矩阵为A，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为学 .

2 1 1

1 123 182

12已知A2 2，求An.4设矩阵a

184为正交矩阵，则a ，b .182 1 1 2183： 2183名 姓 5欧氏空间V上的线性变换f称之为正交变换，如果对任意的,V .已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵BA35A2，则B .

三、证明题（10分×2）（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）

13设,1 2

, ,n

,是欧氏空间V 的一组基

证明：如果V 满足试写出线性空间V上线性变核的表达式 .： 8属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？ .级业班 9设A是n阶矩阵，满足A2A，则矩阵A的特征值 .业专二、计算与解答题（10分×3）

,i

0,in，则0.10 在空间P3中设线性变换Ax,x

2x

x,

x,

.求A在基1 2 3 1 2 2 3 1,0 ：系院

,3

0,0,1下的矩阵.14证明：设,,1 2 3

是线性空间V的一组基，f,f,f线订线订装

是它的对偶基， 《高等代数二期末课程考试试卷答案1 1

,3

1

,3

，2 3

专业:信计 考试日期： 所需时间：120分总分：100分 闭卷试证：,,1 2 3

是V的一组基并求它的对偶基.

一、填空（5分×10）11在P4中，向量(1,2,1,1)在(1,1,1,1, (1,11,1),1

(1,1,1,1)， (1,1,1,1),下的坐标 . 2 341454,14,14,14：号 2在P[x]中定f(x)f(x学 换 是

)，其中x0

是一个固定的数，判断是不是线性变V .A'23： 2 1 1 23名 姓 设矩阵a

18418b 为正交矩阵，则a ，b 18

1,0.32 1 1 2183 2183 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的： ,V .f,f级班 6已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵BA35A2，则B .业专 （提示：行列式的值等于它所有特征值的乘.）【解】设fxx35x2B的特征值为ff1f2.于是B4612288.7试写出线性空间V：

.10xV|x0系 8属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？ .是院9设A是n阶矩阵，满足A2A，则矩阵A的特征值 .【解】设是A的特征值， 是其对应的特征向量，则,0

三、证明题（10分×2）A22A2AA2，

13设,1 2

, ,n

,是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V 满足所以20,0,1.

,i

0,in，则0.二、计算与解答题（103）

【证明】根据,0.在空间P3

x,x,

2xx,xx,x

.求A在基

14证明：设,,1 2 3

是线性空间V的一组基，f,f,f1 2 3

是它的对偶基，1 2 3

1 2 2 3

, ,，,

,

0,0,1.

1 1 3

1 2 3 3 2 30 2 3【解】略.

试证,,1 2 3

是V的一组基并求它的对偶基.B254矩阵，

1,1,2,3T,

1,1,4,T,

5,1,8,9T是

0 1 11 2

ggg

f,f,f1 1 2Bx0Bx0

1 2 3

1 2 3 1 1 1【解】既然B2，解空间的维数为2，又,1 2

,1 2

是解空间的一个基，

1

1,1,2,3T,, 1

1

4,2,10,6T.2 2 , 1 3再单位化，

1 1

1 1151 1,12,3T,1539 1392

2,1,5,3T.1 12 已知A ，求An2 【解】（1）求A的特征值，EA2300,3.(2)A3

10

1P,