2021-2022学年重庆市南川区部分校中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．的绝对值是（）A． B． C． D．2．下列方程有实数根的是（）A． B．C．x+2x−1=0 D．3．如图所示的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．4．下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问木条长多少尺”，设绳子长尺，木条长尺，根据题意所列方程组正确的是（）A． B． C． D．6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是:A． B． C． D．7．下列计算正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b28．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（pa）与它的体积v（m3）的乘积是一个常数k，即pv=k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）A． B．C． D．9．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.610．如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为（）A．100° B．80° C．50° D．20°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，已知直线y=x+4与双曲线y=（x＜0）相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB=2，则k=_____．12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，EC=2，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，则PC的长为_____．13．如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．14．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为_________海里.（结果保留根号）15．已知正方形ABCD的边长为8，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，当点B，D，G在一条直线上时，若DG=2，则CE的长为_____．16．一元二次方程x﹣1＝x2﹣1的根是_____．17．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是()A．﹣1 B．0 C．1 D．2三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设.（1）求证：；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果与相似，求BP的长.19．（5分）先化简(－a＋1)÷，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．20．（8分）已知x1﹣1x﹣1＝1．求代数式（x﹣1）1+x（x﹣4）+（x﹣1）（x+1）的值．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP=AC，且∠B=2∠P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．23．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）若∠B=30°，求证：以A，O，D，E为顶点的四边形是菱形；（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD，则⊙O的半径为，AD的长为．24．（14分）如图，某中学数学课外学习小组想测量教学楼的高度，组员小方在处仰望教学楼顶端处，测得，小方接着向教学楼方向前进到处，测得，已知，，.（1）求教学楼的高度；（2）求的值.

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决．【详解】在数轴上，点到原点的距离是，所以，的绝对值是，故选C．【点睛】错因分析

容易题，失分原因：未掌握绝对值的概念.2、C【解析】分析：根据方程解的定义，一一判断即可解决问题；详解：A．∵x4＞0，∴x4+2=0无解；故本选项不符合题意；B．∵≥0，∴=﹣1无解，故本选项不符合题意；C．∵x2+2x﹣1=0，△=8=4=12＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D．解分式方程=，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C．点睛：本题考查了无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3、A【解析】

从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．【详解】从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，

故选：A．【点睛】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．4、B【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可．【详解】解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；∴既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．5、A【解析】

本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-×绳长=1，据此列方程组即可求解．【详解】设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有．故选A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．6、B【解析】

由方程有两个不相等的实数根,可得，解得，即异号，当时，一次函数的图象过一三四象限，当时，一次函数的图象过一二四象限，故答案选B.7、D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D8、C【解析】【分析】根据题意有：pv=k（k为常数，k＞0），故p与v之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义p、v都大于0，由此即可得.【详解】∵pv=k（k为常数，k＞0）∴p=（p＞0，v＞0，k＞0），故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．9、B【解析】试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===，∴⊙C的半径为，故选B．考点：圆的切线的性质；勾股定理．10、B【解析】解：如图所示：由题意可得：∠1=30°，∠3=50°，则∠2=30°，故由DC∥AB，则∠4=30°+50°=80°．故选B．点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出∠3的度数是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、-3【解析】设A(a，a+4)，B(c，c+4)，则解得：x+4=，即x2+4x−k=0，∵直线y=x+4与双曲线y=相交于A、B两点，∴a+c=−4，ac=-k，∴(c−a)2=(c+a)2−4ac=16+4k，∵AB=，∴由勾股定理得：(c−a)2+[c+4−(a+4)]2=()2，2(c−a)2=8，(c−a)2=4，∴16+4k=4，解得：k=−3，故答案为−3.点睛：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、根与系数的关系、勾股定理、图象上点的坐标特征等，题目具有一定的代表性，综合性强，有一定难度.12、【解析】

在AB上取BN=BE，连接EN，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△ANE≌△ECP，从而得到NE=CP，在等腰直角三角形BNE中，由勾股定理即可解决问题．【详解】在AB上取BN=BE，连接EN，作PM⊥BC于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠DCM=90°．∵BE=BN，∠B=90°，∴∠BNE=45°，∠ANE=135°．∵PC平分∠DCM，∴∠PCM=45°，∴∠ECP=135°．∵AB=BC，BN=BE，∴AN=EC．∵∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEC=90°．∵∠AEB+∠NAE=90°，∴∠NAE=∠PEC，∴△ANE≌△ECP（ASA），∴NE=CP．∵BC=3，EC=2，∴NB=BE=1，∴NE==，∴PC=．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13、【解析】

连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有：解直角即可.【详解】连接OC,OD,OC与AD交于点E，直尺的宽度：故答案为【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.14、5【解析】

如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【详解】如图，作BH⊥AC于H．

在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，

∴∠ABH=60°，BH=AB=5（海里），

在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），

∴BH=CH=5海里，

∴CB=5（海里）．

故答案为:5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．15、2或2．【解析】

本题有两种情况，一种是点在线段的延长线上，一种是点在线段上，解题过程一样，利用正方形和三角形的有关性质，求出、的值，再由勾股定理求出的值，根据证明，可得，即可得到的长.【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图3所示.过点作于，是正方形的对角线，,,在中，由勾股定理，得：,在和中，，,，当点在线段上时，如图4所示.过作于．是正方形的对角线，，在中，由勾股定理，得：在和中，，,，故答案为或．【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.16、x＝0或x＝1．【解析】

利用因式分解法求解可得．【详解】∵(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)=0，∴(x﹣1)(1﹣x﹣1)=0，即﹣x(x﹣1)=0，则x=0或x=1，故答案为：x=0或x=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17、D【解析】

根据根的判别式得到关于a的方程，求解后可得到答案.【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，则解得：满足条件的最小整数的值为2.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，理解并能运用根的判别式得出方程是解题关键.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）见解析；（2）；（3）当或8时，与相似.【解析】

（1）想办法证明即可解决问题；（2）作A于M，于N.则四边形AMPN是矩形.想办法求出AQ、PN的长即可解决问题；（3）因为，所以，又，推出，推出相似时，与相似，分两种情形讨论即可解决问题；【详解】（1）证明：四边形ABCD是等腰梯形，，，，，，，.（2）解：作于M，于N.则四边形是矩形.在中，，，，，，.（3）解：，，，相似时，与相似，，当时，，此时，当时，，此时，综上所述，当PB=5或8时，与△相似.【点睛】本题考查几何综合题、圆的有关性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.19、1.【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式===；当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．20、2.【解析】

将原式化简整理,整体代入即可解题.【详解】解：（x﹣1）1+x（x﹣4）+（x﹣1）（x+1）＝x1﹣1x+1+x1﹣4x+x1﹣4＝3x1﹣2x﹣3，∵x1﹣1x﹣1＝1∴原式＝3x1﹣2x﹣3＝3（x1﹣1x﹣1）＝3×1＝2．【点睛】本题考查了代数式的化简求值,属于简单题,整体代入是解题关键.21、（1）证明见解析；（2）；（3）；【解析】

（1）连接OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠B=∠ADC，则可证明∠ADC=2∠ACP，利用CD为直径得到∠DAC=90°，从而得到∠ADC=60°，∠C=30°，则∠AOP=60°，于是可证明∠OAP=90°，然后根据切线的判断定理得到结论；（2）利用∠P=30°得到OP=2OA，则，从而得到⊙O的直径；（3）作EH⊥AD于H，如图，由点B等分半圆CD得到∠BAC=45°，则∠DAE=45°，设DH=x，则DE=2x，所以然后求出x即可得到DE的长．【详解】（1）证明：连接OA、AD，如图，∵∠B=2∠P，∠B=∠ADC，∴∠ADC=2∠P，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP，∴∠ADC=2∠ACP，∵CD为直径，∴∠DAC=90°，∴∠ADC=60°，∠C=30°，∴△ADO为等边三角形，∴∠AOP=60°，而∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴OP=2OA，∴∴⊙O的直径为；（3）解：作EH⊥AD于H，如图，∵点B等分半圆CD，∴∠BAC=45°，∴∠DAE=45°，设DH=x，在Rt△DHE中，DE=2x，在Rt△AHE中，∴即解得∴【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．22、（1）证明过程见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论．试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∵∠BDC=∠A，∴∠A=∠DCE，∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED，∴，∴EC2=DE