2021-2022学年北京石景山中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A． B． C． D．2．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（）A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ3．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．（x3）3=x6 C．x5+x5=x10 D．﹣a8÷a4=﹣a44．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（）A．两车同时到达乙地B．轿车在行驶过程中进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等5．在3，0，－2，－2四个数中，最小的数是（）A．3 B．0 C．－2 D．－26．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PB•EF；③PF•EF＝2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④7．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A． B． C．π D．8．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为()A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°9．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（）A．3.82×107 B．3.82×108 C．3.82×109 D．0.382×101010．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是()A．a+t>aB．a+t<aC．a+t≥aD．不能确定11．两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是1：p，而在另一个瓶子中是1：q，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A． B． C． D．12．﹣6的倒数是（）A．﹣16 B．1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为m(结果保留根号)．14．据报道，截止2018年2月，我国在澳大利亚的留学生已经达到17.3万人，将17.3万用科学记数法表示为__________．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2，若，用、表示=_____．16．已知图中Rt△ABC，∠B=90°,AB=BC,斜边AC上的一点D，满足AD=AB，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°<α<360°），得到线段AC’，连接DC’，当DC’//BC时，旋转角度α的值为_________,17．把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____．18．如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论：________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）（2）（m﹣1﹣）．20．（6分）在平面直角坐标系中，点，，将直线平移与双曲线在第一象限的图象交于、两点．（1）如图1，将绕逆时针旋转得与对应，与对应)，在图1中画出旋转后的图形并直接写出、坐标；（2）若，①如图2，当时，求的值；②如图3，作轴于点，轴于点，直线与双曲线有唯一公共点时，的值为．21．（6分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）22．（8分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．23．（8分）【发现证明】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．【类比引申】（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；【联想拓展】（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．24．（10分）如图，⊙O的半径为4，B为⊙O外一点，连结OB，且OB＝6.过点B作⊙O的切线BD，切点为点D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为点C．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求AC的长．25．（10分）为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间(单位：小时)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图(：，：，：，：)，根据图中信息，解答下列问题：(1)这项工作中被调查的总人数是多少？(2)补全条形统计图，并求出表示组的扇形统计图的圆心角的度数；(3)如果李青想从组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率．26．（12分）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．27．（12分）已知关于x的一元二次方程.求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根为，，且，求m的值．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解析】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中cos∠BCD=，可得BC=.故选B．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．2、C【解析】

根据三角形高线的定义即可解题.【详解】解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,故选C.【点睛】本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.3、D【解析】

各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】A、原式=a5，不符合题意；B、原式=x9，不符合题意；C、原式=2x5，不符合题意；D、原式=-a4，符合题意，故选D．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、B【解析】

①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B的横坐标;④分别进行运算即可得出结论.【详解】由题意和图可得，轿车先到达乙地，故选项A错误，轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B正确，货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC段对应的速度是：千米/时，故选项D错误，设货车对应的函数解析式为y＝kx，5k＝300，得k＝60，即货车对应的函数解析式为y＝60x，设CD段轿车对应的函数解析式为y＝ax＋b，，得，即CD段轿车对应的函数解析式为y＝110x－195，令60x＝110x－195，得x＝3.9，即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，故选：B．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式5、C【解析】

根据比较实数大小的方法进行比较即可．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．【详解】因为正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值较大的数反而较小,所以-2<-2所以最小的数是-2,故选C.【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小．6、B【解析】

由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．【详解】解：设AD=x，AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB∴BC=x，CD=2x∵CP：BP=1：2∴CP=x，BP=x∵E为DC的中点，∴CE=CD=x，∴tan∠CEP==，tan∠EBC==∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴EF=2EG=2x∴PF·EF=x·2x=8x22AD2=2×（x）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误.在Rt△ECP中，∵∠CEP=30°，∴EP=2PC=x∵tan∠PAB==∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，AO=x，PO=x∴4AO·PO=4×x·x=4x2又EF·EP=2x·x=4x2∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．故选，B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．7、A【解析】试题分析：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=，∠A=30°，∴OB=，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为．故选A.考点:1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．8、C【解析】

过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．【详解】解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9、B【解析】

根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决．【详解】解：3.82亿=3.82×108，故选B．【点睛】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．10、A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，∴a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.11、C【解析】

混合液中的酒精与水的容积之比为两瓶中的纯酒精与两瓶中的水之比，分别算出纯酒精和水的体积即可得答案．【详解】设瓶子的容积即酒精与水的和是1，则纯酒精之和为：1×+1×＝+，水之和为：+，∴混合液中的酒精与水的容积之比为：(+)÷(+)＝，故选C．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，找到相应的等量关系是解决本题的关键．12、A【解析】解：﹣6的倒数是﹣16二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、【解析】

解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，

∴∠CAD=30°，

∴AD=CD=60m，

在Rt△ABD中，

AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).故答案是：.14、1.73×1．【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将17.3万用科学记数法表示为1.73×1．故答案为1.73×1．【点睛】本题考查了正整数指数科学计数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键.15、【解析】

过点A作AE⊥DC，利用向量知识解题.【详解】解：过点A作AE⊥DC于E，∵AE⊥DC，BC⊥DC，∴AE∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形AECB是矩形，∴AB＝EC，AE＝BC＝4，∴DE===2，∴AB=EC=2=DC，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为.【点睛】向量知识只有使用沪教版(上海)教材的学生才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习.16、15或255°【解析】如下图，设直线DC′与AB相交于点E，∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，DC′//BC，∴∠AED=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACB=∠BAC=45°，AB=AC，∴AE=AD，又∵AD=AB，AC′=AC，∴AE=AB=AC=AC′，∴∠C′=30°，∴∠EAC′=60°，∴∠CAC′=60°-45°=15°，即当DC′∥BC时，旋转角=15°；同理，当DC′′∥BC时，旋转角=180°-45°-60°=255°；综上所述，当旋转角=15°或255°时，DC′//BC.故答案为：15°或255°.17、y=1（x﹣3）1﹣1．【解析】

抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．【详解】∵y=1x1的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣1），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=1（x﹣3）1﹣1．故答案为y=1（x﹣3）1﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．18、这一天的最高气温约是26°【解析】

根据我区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【详解】解：根据图象可得这一天的最高气温约是26°，故答案为：这一天的最高气温约是26°．【点睛】本题考查的是函数图象问题，统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先计算括号里的，再将除法转换在乘法计算.试题解析：（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab+4a2﹣b2=4a2；（2）．====．20、（1）作图见解析，，；（2）①k=6；②．【解析】

（1）根据题意，画出对应的图形，根据旋转的性质可得，，从而求出点E、F的坐标；（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，设，根据反比例函数解析式可得（Ⅰ）；①根据等角对等边可得，可列方程(Ⅱ)，然后联立方程即可求出点D的坐标，从而求出k的值；②用m、n表示出点M、N的坐标即可求出直线MN的解析式，利于点D和点C的坐标即可求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，令△=0即可求出m的值，从而求出k的值．【详解】解：（1）点，，，，如图1，由旋转知，，，，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，，；（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，，，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，点，在双曲线上，，(Ⅰ)①，，，，(Ⅱ)，联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得：，，；②如图3，，，，，，，直线的解析式为(Ⅲ)，双曲线(Ⅳ)，联立(Ⅲ)(Ⅳ)得：，即：，△，直线与双曲线有唯一公共点，△，△，(舍或，，．故答案为：．【点睛】此题考查的是反比例函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．21、热气球离地面的高度约为1米．【解析】

作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD=，∴=，解得，x≈1．答：热气球离地面的高度约为1米．【点睛】考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．22、（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析.【解析】

（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；（2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23、（1）DF=EF+BE．理由见解析;（2）CF=1．【解析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AEF≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（2）根据旋转的性质的AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；关键全等三角形的性质得到FG=EF，利用勾股定理可得CF.解：（1）DF=EF+BE．理由：如图1所示，∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADC=∠ABE=90°，∴点C、D、G在一条直线上，∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，∵∠BAG+∠GAD=90°，∴∠EAG=∠BAD=90°，∵∠EAF=15°，∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣15°=15°，∴∠EAF=∠GAF，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG，∵FD=FG+DG，∴DF=EF+BE；（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又∵∠EAF=15°，而∠EAG=90°，∴∠GAF=90°﹣15°，在△AGF与△AEF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，∴CF=1．“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．24、（1）证明见解析；（2）AC=．【解析】(1)证明：连接OD．∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD．∵AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2＝∠1．∵OA＝OD．∴∠1＝∠1，∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC．(2)解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即．解得．25、（1）50人；（2）补全图形见解析，表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为108°；（3）.【解析】分析：(1)、根据B的人数和百分比得出样本容量；(2)、根据总人数求出C组的人数，根据A组的人数占