天津理工大学大学物理机械振动

机械振动天津理工大学理学院物理系康志泰印1

物体或物体的一部分，在平衡位置附近来回地作周期性运动，叫做机械振动，简称振动。振动现象是多种多样的，它在自然界中是广泛存在的。机械振动摆的运动、心脏的跳动、气缸中活塞的运动等简谐振动最简单、最基本的振动一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动2用激光时间平均法得到的小提琴全息振动模式图3纸锥扬声器的振动模式4mmmxo平衡位置设物体在位置零处时，没被拉长也未被压缩，这时物体在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。ff弹簧振子一轻弹簧一端固定，另一端系一物体，放在光滑的水平桌面上。将物体稍微移动后，物体就在弹性力的作用下来回自由振动。平衡位置一弹簧振子的谐振动5以此为坐标原点，水平直线为x轴，并设向右为正。当物体相对于平衡位置有一位移x时，无论是在平衡位置的左方还是右方，物体都将受到一个弹性力的作用，此时弹簧被伸长或压缩。根据虎克定律，物体所受到的弹性力与位移成正比，且永远指向平衡位置，因此有负号表示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永远指向坐标原点。弹簧的倔强系数6位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最大。由于作谐振动的物体所受到的弹性力永远指向平衡位置，所以它的运动总是一种不断重复着的周期性运动。物体在左右两个端点位移最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物体静止，其速度为零；物体在原点处7以弹簧振子为例，由于即知令则或二谐振动的运动方程与基本特征8对于其它形式的简谐振动，例如单摆，其方程形式与此相同，只不过是变量位移x为其它物理量而已。此方程的解用余弦函数来表示为式中A和是两个积分常数。此式和上式一样都可称为谐振动的运动方程。弹簧振子所作谐振动的微分方程式9物理意义设=0，上式可写成随着时间的推移，m的位移x在数值A到-A之间作往复周期性的变化，即振动。A-AxtpP’010A-AxTtpP’0还可看出出，当t=0时时当t=2/时时（P点））（P’点）这正是作作谐振动动的物体体往复运运动了一一次振动物体体离开平平衡位置置的最大大位移振幅A11A-AxTtpP’0物体往复复运动一一次所需需的时间间频率振动的圆频率周期12谐振动的的基本特特征并不是所所有的振振动都是是简谐振动动，只有满满足于一一定条件件的振动动才是简简谐振动动。谐振动的的微分方方程它是由下下式得到到的此方程的的解物体所受受的力或或物体的的加速度度与位移移成正比比而方向向相反是是谐振动动的基本本特征。任何一一个物体体的运动动只要具具有这个个特征即即满足于于上述方方程，则则必遵循循x=Acos(t+)这一一运动方方程而作作简谐振振动。13由三角学学知令则有此时有此式与等效上述两式式都是微微分方程程的解，，也就都都可以作作为简谐谐振动的的运动方方程。为为了初学学的便利利，一般般采用余余弦形式式。14谐振动的的速度和和加速度度已知简谐谐振动的的位移则物体的的运动速速度加速度物体作简简谐振动动时，不不但它的的位移随随时间作作周期性性变化，，它的速速度和加加速度也也随时间间作周期期性变化化。15设有一长长度等于于A的矢量三参参考圆（（旋转矢矢量）谐谐振动的的位相在图示平平面内绕绕原点以以角速度度逆时针针旋转（（与圆圆频率等等值）。。矢径端端点M在在空间的的轨迹是是一圆。。M在0x轴上的投投影P点点就在0x轴上上作往复复运动。。M点t=0时时刻在位位置M0矢径A与与0x轴的夹角角是pM0Mxyox16在以后任任一时刻刻t，M点的的位置矢矢径与0x轴的夹角角为（t+）。。考察M点点在0x轴上的投投影点P的运动动，易看看出在任任一时刻刻t，A在0x轴上的投投影是：：pM0Mxyox17此结果正正说明P点在0x轴上作谐谐振动。。反过来来说，任任何一个个谐振动动都可以以想象为为某一相相应参考考圆上M点的投投影，M点就叫叫参考点。谐振动的的运动方方程18数值上等等于它所所对应的的参考圆圆的半径径当然振动动中并不不存在角角速度问问题，但但联系参参考圆来来理解是很方方便的。。振幅矢量量A谐振动的的周期M点绕圆圆周运动动一周所所需的时时间（即即P点往往复运动动一次所所需的时时间）圆频率M点的角角速度pM0Mxyox19现在已知知运动方程程速度加速度都包含有有（t+）项，，括号中中的整体体具有角角度量纲纲（弧度度）称为为相位或周相。在振动动过程中中，相位位（t+）随随时间变变化，当当相位变变化2时，作振振动的质质点就完完成一次次全振动动。当振振幅A为已知时时，任一一时刻的的相位可可完全决决定这一一时刻的的位置和和速度。。初相t=0时时的相位位它决定开开始计时时时的位位置和速速度20pM0Mxyox相位与初初相位21当位移为为零时，，加速度度也为零零，但速速度的数数值最大大；而当当加速度度的数值值最大时时，位移移的数值值也最大大，但加加速度与与位移的的方向相相反，此此时速度度等于零零。Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A谐振动的的x、v、a与t的关系图图三者的周周期相同同，但在在同一时时刻三者者的相位位不同。。22前面曾令令周期频率T与称为固固有周期期和固有有频率。。其它振动动系统例例如单摆摆，振动动周期与与频率也也是由振振动系统统本身力力学性质质决定，，与振幅幅及初相相无关。。振子的周周期（频频率）是是由振动动系统本本身力学学性质决决定，而而与振幅幅及初相相位无关关。四弹弹簧振子子的周期期、振幅幅及初位位相的确确定xA023振幅及及初相相的确确定已知A和可由由振动动初始始条件件来确确定将两式式平方方，有有相加得得到若t=0，x=x0，v=v0，则24将两式式平方方，有有相加得得到即及上述结结果表表明，，如果果已知知初位位移x0和初速速度v0，就能能由上上式求求出谐谐振动动的振振幅和和初位位相。。25①起始时时，小小球在在振动动正方方向的的端点点，即即t=0时时，x=A，，则cos=1=0。小球从从正的的最大大位移移开始始运动动时，，初相相=0，运运动方方程的的形式式为利用旋旋转矢矢量法法，据据起始始条件件可立立即看看出矢矢径A在0A位位置，，即矢矢径与与X轴轴之间间的夹夹角为为零，，所以以初位位相为为零。。初相位位也可可用参参考圆圆法确确定假定弹弹簧下下挂一一小球球作谐谐振动动，其其方程程为xA00A=026用旋转转矢量量图画画简谐谐运动动的图27②起始时时，小小球在在振动动负方方向的的端点点当t=0时，，x=－－A，，此时时v=00Ax0x=-A28③起始时时在平平衡位位置向向负方方向运运动当t=0时，，x=0，此此时小球沿沿x轴负方方向运运动，，所以以v<0，则则取方程x00x29用旋转转矢量量图画画简谐谐运动动的图30④起始时时在平平衡位位置向向正方方向运运动当t=0时，，x=0，此此时小球沿沿x轴正方方向运运动，，所以以v>0，则则取或x00xA31⑤起始时时过x=A/2向向x正方向向运动动当t=0时，，x=A/2，此此时小球沿沿x轴正方方向运运动，，所以以v>0，则则取或方程x0A/20xAA/232振动曲曲线①起始时时小球球在振振动正正方向向的端端点tx0AA/20A=033tx0AA/2①起始时时小球球在振振动正正方向向的端端点②起始始时小小球在在振动动负方方向的的端点点振动曲曲线0x=A34tx0AA/2①起始时时小球球在振振动正正方向向的端端点②起始始时小小球在在振动动负方方向的的端点点③起始始时在在平衡衡位置置向负负方向向运动动振动曲曲线0x35tx0AA/2①起始时时小球球在振振动正正方向向的端端点②起始始时小小球在在振动动负方方向的的端点点③起始始时在在平衡衡位置置向负负方向向运动动④起始始时在在平衡衡位置置向正正方向向运动动振动曲曲线0xA36tx0AA/2①起始时时小球球在振振动正正方向向的端端点②起始始时小小球在在振动动负方方向的的端点点③起始始时在在平衡衡位置置向负负方向向运动动④起始始时在在平衡衡位置置向正正方向向运动动⑤起始始时过过x=A/2向向x正方向向运动动（红虚线线）振动曲曲线0xAA/237tx0AA/2①起始时时小球球在振振动正正方向向的端端点②起始始时小小球在在振动动负方方向的的端点点③起始始时在在平衡衡位置置向负负方向向运动动④起始始时在在平衡衡位置置向正正方向向运动动⑤起始始时过过x=A/2向向x正方向向运动动（红虚线线）(6)起始始时过过x=A/2向向x负方向向运动动（黑黑虚线线）振动曲曲线38k为弹簧簧的倔倔强系系数，，负号号表示示力和和位移移的方方向相相反，，即弹弹性力力的方方向永永远指指向原原点。。物体在在左右右两个个端点点位移移最大大，因因此所所受力力的数数值最最大，，加速速度亦亦最大大。但但由于于物体体静止止，其其速度度为零零；但但在其其原点点处，，位移移为零零，受受力为为零，，所以以加速速度为为零，，但此此时速速度最最大。。虎克定定律mmmxo平衡位置ff39运动方方程mmmxo平衡位置ff40设=0图像如如下A-AxTtpP’0此图像像表明明，随随着时时间的的推移移，m的位移移x在数值值A到到-A之间间作往往复周周期性性的变变化，，即振振动。。A振幅：：振动物物体离离开平平衡位位置的的最大大位移移周期：：作谐谐振动动的物物体往往复运运动一一次所所需的的时间间T41A-AxTtpP’0频率圆频率率42谐振动动的速速度和和加速速度已知简简谐振振动的的位移移则物体体的运运动速速度加速度度Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A43pM0Mxyox在任一一时刻刻t，A在0x轴上的的投影影是参考圆圆（旋旋转矢矢量））谐振振动的的位相相谐振动动的运运动方方程44上述结结果表表明，，如果果已知知初位位移x0和初速速度v0，就能能由上上式求求出谐谐振动动的振振幅和和初位位相。。弹簧振振子的的周期期、振振幅及及初位位相的的确定定则弹簧簧振子子的周周期频率初位相相也可可以用用参考考圆法法来确确定452.如如图所所示，，以向向右为为正方方向，，用向向左的的力压压缩一一弹簧簧，然然后松松手任任其振振动。。若从从松手手时开开始计计时，，则该该弹簧簧振子子的初初相应应为mF0[]D0x=A起始时时物体体在X轴负负方向向的端端点465一一个质质点作作简谐谐振动动，已已知质质点由由平衡衡位置置运动动到二二分之之一最最大位位移处处所需需要的的最短短时间间为t0，则该该质点点的振振动周周期T应为为（A））4t0（B））12t0（C））6t0（D））8t0A/2x平衡位位置开开始，，=-/2，二分之之一最最大位位移处处取[]B方程为为477.一一简谐谐振动动的旋旋转矢矢量图图如图图所示示，设设图中中圆的的半径径为R，则则该简简谐振振动的的振动动方程程为0xt/4t=tt=0[]A488.已已知某某简谐谐振动动的振振动曲曲线如如图所所示，，位移移的单单位为为米，，时间间单位位为秒秒，则则此简简谐振振动的的振动动方程程为x(m)t(s)010–54[]C-A/2-2/3x493.已知简简谐振振动x=Acos(t+0)的周周期为为T，，在t=T/2时质质点的的速度度为____________;加速速度为为____________。505.一一简谐谐振动动的振振动曲曲线如如图所所示，，则由由图可可得其其振幅幅为__________，，其初初相位位_________，，其周周期为为________，其其振动动方程程为______________.x(cm)t(s)0–5–10102-A/22/3v>0，，取=-/2或=3/251由于五简简谐振动动的能量量以弹簧振振子为例例，当物物体处于于位移为为x的某点时时，其速速度为v，具有动能弹性势能能m0xx52弹簧振子子作简谐谐振动时时的总机机械能为为振动过程程中，振振幅A是是一恒量量，所以以谐振动动的机械械能为一一恒量，，即机械械能守恒恒。530EEkEpt能量变化化与时间间的关系系曲线尽管作谐谐振动的的物体的的动能和和势能分分别随时时间作周周期性变变化，但但谐振动动的总能能量保持持恒定不不随时间间变化。。在运动动过程中中，动能能和势能能相互转转化，而而总和保保持不变变，即符符合机械械能守恒恒与转化化定律。。对于作谐谐振动的的一定的的振动系系统，振振动的总总能量与与振幅的的平方成成正比，，这个规规律具有有普遍意意义。对对其它形形式的振振动及波波动也适适用。54考虑两简简谐振动动，其频频率相同同，但相相位不同同。其振振动方程程为显然在同同一时刻刻t，它们的的相位不不同，因因此它们们在同一一时刻的的运动状状态亦不不同，即即一个比比一个超超前或落落后一些些。这种种差异就就可以用用它们之之间的相相位差来来描述。。即在同频频率的条条件下，，它们的的相位差差等于它它们的初初相差。。七相位差差550PQN(2)M(1)12x假定两振振动的振振幅相同同，我们们用OM和ON分别代代表这两两个振动动的旋转转矢量，，它们的的长度相相等，初初角位置置分别是是1和2，并设2>1。由于频率率相同即即旋转角角速度相相同，所所以ON矢量的的运动始始终比OM矢量量的运动动超前一一个角度度2－1，相应地地端点N在x轴上的投投影点Q及端点点M在x轴上的投投影点P，在同同一直线线上作简简谐振动动，它们们的振幅幅和频率率相同，，但在步步调上有有先后之之分。利用参考考圆法可可进一步步理解相相位差56用两相位位来加以以比较知知，Q点点比P点点的振动动超前一一恒定的的相位差差2－1，在振动动的步调调上Q点点要比P点超前前一段时时间△tA-A1(P)2(Q)xt此两振动动的位移移与时间间关系曲曲线如下下图。如如果把红红线向左左方沿t轴移动t，两曲线线重迭。。这表明明振动2（Q点点）取某某一x值的时刻刻比振动动1（P点）取取同一x值的时刻刻提前t，也就是是Q点的的振动在在时间上上比P点点超前t，在相位位上就是是超前t·=2－1（当然也也可以说说振动1比振动动2落后后相位））。571122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)两振动相相位相差差半周期期，反向。相位差2－1可正可负负，相应应地常说说振动2比振动动1超前前或落后后。2=1两个振动动同相2－1=58实际问题题中，常常遇到一一质点同同时参与与两个或或几个振振动的情情况，例例如两列列声波传传到某处处，该处处的空气气质点就就同时参参与这两两个振动动，这就就需要讨讨论振动动的合成成问题。。设有物体体同时参参与两个个频率相相等，沿沿着同一一方向例例如X轴轴的谐振振动，它它们的振振动方程程分别是是下面求合合振动的的方程八两两同方向向同频率率简谐振振动的合合成59xx2x1p1pp1AA2A1210用参考圆圆法。振振幅矢量量A1和A2以同样的的角速度度绕原点点0转动动，在x轴上的投投影x1和x2分别是P1和P2点沿x轴作谐振振动的位位移。因因角速度度相同，，A1和A2在转动过过程中始始终保持持一定的的夹角2－1，且它们们的矢量量和A始终保持持一定的的大小，，又以同同样的角角速度绕原点点转动。。这表明明合成矢矢量A的端点在在x轴上的投投影点P也沿x轴作谐振振动，A的投影x就是P点作谐振振动的位位移，即即可知，两两同方向向同频率率谐振动动的合成成运动也也是一谐谐振动，，其振动动方程为为60xx2x1p1pp1AA2A1210如果用三三角函数数的方法法进行运运算同样样可以得得到上述述结果。。式中的初初相及合成成振幅A可从图图上直接接得出611、应用用解析法法令620AA2A1xt从上式中中可以看看出，合合振幅A除了与与分振幅幅A1、A2有关外，，还决定定于两个个振动的的位相差差。讨论论两种特特殊情况况。①即两分振振动的位位相差为为2的整数数倍。这这种情况况叫同位相，此时上式表明明，此时时合振幅幅为最大大，两个个分振动动的合成成效果使使振动加加强。63（1）相位差64②0AA2A1xt即两分振振动的位位相差等等于的奇数数倍时，，位相相相反。这表明此此种情况况下合振振幅最小小，两分分振动的的合成效效果使振振动减弱弱。65（2）相位差66AA2A1xt特别地，，若A1=A2，则A=0，，即物体体处于静静止状态态。一般地，，若=2－1为上述两两种特殊殊情况外外的任意意值时，，合振幅幅A在A1+A2和|A1－A2|之间。。6