晶体的对称性和分类课件

23晶体的对称性和分类26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。27、自信是人格的核心。28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。--查士德斐尔爵士。29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。23晶体的对称性和分类23晶体的对称性和分类26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。27、自信是人格的核心。28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。--查士德斐尔爵士。29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作三、群和晶体结构的分类物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对称性对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且能大大简化某些计算工作量。我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵)的对称性(symmetryoflattice).一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作相对城市学生来说，农村学生相对淳朴，价值观单一，在很多方面不成熟，随着时间的流逝，人与人之间的差异显现出来，特别是心理差异很大，部分学生出现学习或生活中的困难，具体表现如下：一是自卑心理出现。随着年龄的增长，部分学生逐渐注意到彼此之间的物质条件差异，家庭条件不好者容易出现不合群现象。还有一部分学生因为成绩、思想品德评价方面比其他学生弱，常常表现为孤独、沉闷。二是人际交往能力弱。许多学生在与同学相处中表现出弱势，不能妥善处理同学之间的关系，一些很小的事情就会引起大的争执。同时一小部分孩子在家里是小太阳，在班级中表现为以自我为中心，造成相对偏执，容易被孤立。三是学习适应能力相对弱。孩子从小学过渡到初中，接触到与小学不同的教学体系，不能很快适应，从而产生一系列问题。上述问题不是单一的存在，而是联系在一起，一个孩子身上往往有多个问题，同时非典型症状很多，新问题不断出现。因此，教师如何及时发现问题，妥善解决问题，是值得我们认真思考的问题。一、细心观察，努力了解学生某某是一位学困生在平常教学中，我总是努力观察她的课堂表现，发现她上课不是很积极，特别喜欢做小动作，而且对教学重难点不愿意记录。课堂上布置小练习，总是拖拖拉拉，不能完成，人显得比较沉默。不过在上音体美这些课程的时候，又变得非常活跃开朗，能够跟同学打成一片。在课间，总是在跟同学聊天，显得很高兴。我抽空与这几个同学交流，结果同学给我的反馈是她特喜欢上网、新奇的、好吃的、好玩的。导致每次课堂作业一如既往地拖拖拉拉，很难及时交上。二、客观辩证地看待问题，认识其“本我”如果给她下个主观判断，就是这个学生不追求上进，畏惧困难，贪图玩乐，是个坏学生。粗暴对待，教育效果可想而知。没有感动的教育使受教育者有些许改变，但她还是她；而教育一旦有了感动，受教育者就会变成另外一个人。学生有很多毛病，我们不能忽视，但是更不能忽视学生的闪光点。首先，虽然每次作业都有很多错误，作业拖拉，但是把她喊过来订正，也能订正对，说明她的智力没有问题。其次，虽然她跟我交流的时候很沉闷，但是跟同学交流很活跃，说明她的性格并不是真的内向。再次，她总是与同学谈论上网、玩乐这些事情，反映出她懂的东西多。同学们都很崇拜她的知识广博，只要善于引导，她未尝不能转化。因此，只有客观辩证地看待问题，才能找准问题所在，认识其“本我”，最终选择科学合理的策略解决问题。三、循序渐进，积极科学地处理问题跟她交流时又和以前一样，在《学习的革命》中我看这样一段话：如果你的孩子生活在鼓励之中，那么他学到的是自信；如果你的孩子生活在表扬之中，那么他学到的是感激；如果你的孩子生活在接受之中，那么他学到的是爱。对待孩子的犯错，我们要认真对待，当孩子克服了错误，就是一种成长。我又跟她进行了交流，这次我跟她谈了我的学习生涯，讲述了我小时候的梦想，我在学习中也犯了很多错误，多亏老师提点我，我才意识到要实现自己的梦想必须每天都努力，“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”。如果你也有自己的梦想，那么就要为此付出努力，就从现在开始。她沉默了，好像要哭了。看来有了共鸣，之后她改变了许多。在后面的教育教学过程中，我始终关注她，并加以鞭策。教育不是一个人能完成的事情，而是社会、家庭、学校合力做的事。在之后的日子里，我经常与她的父母交流，指出家庭教育非常重要，多关爱孩子才行，父母深表同感，于是经常忙里偷闲看孩子。而在学校这个小环境里，我动员全班同学行动起来，开展关于责任、人生观、价值观、感恩、互助合作等方面的主题班会，通过班会激励学生树立正确的三观。只有积极向上、和谐友爱的班集体才能解决学生的各种问题。常怀感恩之心，报恩于行，是促进德育的好方法。跟这个学生交流了几个月，看到她的成长，心里很是欣慰。她的家庭条件好，什么都不缺，父母只在物质上满足孩子，而忽视情感交融。孩子心中的那份爱被埋藏了起来，造成孩子学习没有动力。有句话是这样说的：人生的杠杆是精神，精神的支点是感恩，只有有了感恩的思想，人才能形成感恩的心态、品质和责任，进而显示为感恩的行为，才能焕发无穷力量。因此，教师要真正走进学生内心，唤醒学生的感恩之情，自然会喜欢这个人，才会把这份感恩之情迁移到所教学的学科上。让学生学习有动力，才能带动学生全方面进步，“育人”这个主题才能顺利实现。随着时代的发展，农村学生存在的问题必然会不断发展变化，对于新问题，我们无需畏惧。苏霍姆林斯基说过：“教育的最高目标是让人懂得幸福和获得幸福……”把每个学生都培养成幸福的人，让每个学生都抬起头来走路。一、本院英语教学的现状（一）学生入校的英语水平越来越差随着扩招计划的开展，高职高专的学生除了高中生外还有绝大部分来自中专，技校和职高的学生?学生入校的英语水平可能只相当于初中水平，有些甚至连音标都不会读。以前每年入学的新生英语平均分基本能达到60分以上，而现在学生的英语平均分越来越低。上述情况就给英语教师提出了一个难题：教师既要有教授大学英语的水平还得有小学教师的耐心和经验。（二）学生对英语缺乏兴趣，学习积极性不高高职高专学生普遍存在的问题只学专业课，文化课知识特别薄弱。他们把大部分时间都花在专业课学习上，她们重视专业课的程度远远超过了文化课程，花在英语学习上的时间更是少之又少。另外，这些学生英语基础差，从心理上讲他们惧怕英语，即使想学也没信心学好，有些甚至厌恶英语。因此她们的英语水平远远达不到大学阶段的要求。二、根据英语教学要“以实用为主”的趋势，做出了以下三方面的改进1.教材改革：研究各个版本的高职高专英语教材，最后我们筛选出适合本院学生英语基础的教材，由大连理工大学出版的点击职业英语基础模块，本教材注重听说读写语言基本技能与功能，语法，词汇等语言基础能力的全面培养，强调学习真实而自然的语言，尤其是日常英语。2.教师教学方式的改变：高职英语教学不再是传统的以教师为主导和讲授语法知识为主体的教学，而是以学生为中心的学生培养听说读写能力的一个过程。每个英语教师在教学过程中都充分给予学生机会大胆的用英语表达自己的想法，训练学生的听说能力。3.教学手段的改变：教学手段不再是以前的黑板+粉笔，而是运用多媒体进行教学，更直观的给学生展示教学内容，让学生能更深刻的理解并掌握教学知识。通过多媒体给学生播放英文视频，还大大的提高了学生学习英语的兴趣。三、遇到困难的情况下，一种新生事物孕育而生――微课“微课”是按照新课程标准及教学实践要求，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或教学环节而开展的精彩的教与学全过程。“微课”的教学时间短，一般5-10分钟，最少的1-2分钟，最长的不超过20分钟;教学内容也比较少，主要是突出讲解某个知识点;制作比较简便实用，它是真实，具体，典型的情景化教学，类似于一对一的辅导，能提供给学生更直观的视频教学，让学生能更自主的学习课堂上未听懂的内容。微课常用的教学方法是讲授法，谈话法，讨论法，演示法，表演法等，它以一种新的形式辅助着课堂教学，不仅适合于移动学习时代知识的传播、也适合学习者个性化、深度学习的需求，是传统课堂教学必不可少的组成部分。四、本院教师积极参与微课的学习研究与初探为了能更好地提高本院学生的英语水平，掌握基本的英语技能，本院教师积极参与微课的学习与制作。1.学院先后三次派出一部分教师前往成都重庆等地的优秀高职院校学习微课的制作，而英语教师积极申请并前往学习，参与学习的教师积极与其他教师分享微课教学资源，共同提高整个英语教师队伍的微课制作水平。2.学院投入大量资金筹建微课录播教室，购买摄像机，微课录制软件等，在全院范围内掀起一股微课热，而英语教师队伍也精心选题，利用一系列的资源录制微课。3.学院积极参与全国微课比赛，目前学院正组织教师精心制作微课，而英语教师也积极参与到微课的制作团体当中，并借鉴其他高职院校优秀的微课，共同创作出更多优秀的微课，以便学生能更好地掌握基础知识，并且通过视频教学进一步提高学生学习英语的积极性。五、微课辅助传统课堂教学取得的成效。本院英语教学自从学习研究以及制作微课以来取得了以下效果：1.提高了本院学生自主学习的积极性，更好地满足了学生对知识点的个性化需求。微课的内容是可以被永久的保存，查阅和修正，所以通过微课学生既可以查漏补缺又可以强化知识，补充和拓展了传统的课堂学习。2.促进了本院教师专业水平的发展。教师在选题时教学目标清楚，可以对难点进行突破，也可以是对教学内容的拓展延伸，这就加深了教师对教材知识的进一步理解。教学过程中语言要简明扼要，易于理解，这就提高了教师知识讲解与总结的能力。为了使教学内容丰富，能吸引学生注意力，教师就得查阅更多的资料，这就开拓了教师的视野，更快的促进了教师掌握现代信息技术，赶上时代发展的步伐。总之，无论对本院学生还是对本院教师而言，微课都是一次思想改革，它促成了一种自主学习模式，同时还给教师提供了自我提升的机会。它是一种符合教学模式创新发展需要的新型教学资源，广大师生应充分认识其独特优势，将微课教学资源开发作为混合学习与自主学习等教学模式创新实践的有效途径。从有利于增强学习效果出发，以学为本，面向学生，网络共享，在教学实践中逐步加以提高和完善，使微课真正成为实用高效、广泛应用的教学资源。23晶体的对称性和分类26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和1第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作三、群和晶体结构的分类第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对称性对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且能大大简化某些计算工作量。我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵)的对称性(symmetryoflattice).一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对

晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称操作.晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对称元素（简称对称素）.这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观对称性.

晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映出来,如sc、b一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作

1.概念解释

晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点阵结构的对称性.晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性，相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作。晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为晶体的微观对称性.一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作1.概念解释由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应的对称操作又称为点对称操作.

2.对称操作的变换矩阵从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点写成矩阵形式，则有由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏观对称操作时,晶其中：A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的距离,所以易证A是一个正交矩阵.亦即满足两点间的距离不变,即用矩阵表示即得证.其中：A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的距离,所以易以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.（1）绕某一轴的旋转(rotationaboutanaxis)三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合.点对称操作对应的变换矩阵A的具体形式比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：且矩阵行列式均为：同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵所以，绕x轴旋转的变换矩阵为（2）中心反演(inversionthroughapoint)如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操作.对原点的反演使得(x,y,z)→(-x,-y,-z)，即：（2）中心反演(inversionthroughapo(3)镜面反映(Reflectionacrossaplane)一个镜面反映对称操作(symmetryoperationofmirrorimage)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x,y,z)→(x,y,-z)。用矩阵形式表示，则有(3)镜面反映(Reflectionacrossap当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于-1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动来实现。

3.宏观对称操作和宏观对称元素

绕固定轴的转动(rotationaboutanaxis)、中心反演(inversionthroughapoint)和镜面反映

(Reflectionacrossaplane)是晶体中的三种基本的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对称中心、对称面。当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高.但是,由于晶体的宏观对称性是受到微观周期性的制约和影响,所以,晶体的宏观对称元素不是任意的.对于旋转对称操作(rotationalsymmetryoperation)来说，由于晶体周期性的限制，转角θ只能是2π/n，n=1、2、3、4和6。晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺

如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律

一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高.但是,由于晶体的对称性定律的证明

如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B

格点转到位置,则由于转动对称操作不改变格子,在处必定原来就有一个格点。因为B

和A

完全等价,所有旋转同样可以绕B进行.如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与平行的格点之间的距离一定是的整数倍。由此可设想绕B

转角，这将使A格点转到的位置。同样处原来也必定有一个格点晶体的对称性定律的证明如果绕A转角,晶格保持不亦即：而且,m必须为整数,所以,m只能取-1,0,1,2,3由于组成等腰梯形,m为整数因此与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:亦即：而且,m必须为整数,所以,m只能取-1,0,1,2,通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主轴(但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴.晶体的对称操作除了旋转、中心反演和镜面反映3种基本对称操作外，在某些晶体中还存在着等价于相继进行两个基本对称操作(乘法)而得到的独立对称操作，称为组合操作，从而出现新的对称元素

上述操作称为非纯旋转操作。如果一个晶体先绕某轴旋转2π/n，再进行中心反演后，晶体保持不变，称该轴为n次（或n度）旋转反演轴，记为。由于晶体周期性的限制，旋转反演轴也必须遵循晶体的对称性定律，即：通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。12123456121次旋转反演轴就等价于对称中心i

2次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面m

3次旋转反演轴就等价于3次纯旋转轴加上对称中心,记为旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。12123456ABDCEFGH只有具有4次旋转反演轴的晶体,既没有4次纯旋转轴,也没有对称中心i，但包括一个与4次旋转反演轴重合的2次轴.6=3+m1234566'6次旋转反演轴等价于3次纯旋转轴加上垂直于该轴的对称镜面m，记为所以旋转反演轴中只有是独立的对称素ABDCEFGH只有具有4次旋转反演轴的晶体,既没有4次纯旋旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对称操作是独立的

晶体中独立的宏观对称操作(或对称元素)只有8种,即：1、2、3、4、6、i、m、。其中数字n(1、2、3、4、6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。1234还有一些其它的组合操作，如旋转+镜面反映，但不再给出新的对称元素。

这种表示方法属于国际符号(Internationalnotation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对称操作是独立的晶还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记，是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利符号(Schoenfliesnotation).熊夫利符号中Cn表示旋转轴；Sn表示旋转反演轴；Ci表示中心反演；Cs表示镜面反映。总之，晶体的所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。晶体中8种独立的宏观对称元素（或对称操作）用熊夫利符号标记则为C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4。

还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记，是熊夫利(Sch例如立方对称有三条4次轴<100>，绕每个4次轴旋转π/2、π、3π/2都是对称操作，这样对于三条4次轴，共有9个对称操作；还有四条3次轴<111>（空间对角线），绕每个3次轴旋转2π/3、4π/3都是对称操作，这样对于四条3次轴，共有8个对称操作；再就是六条2次轴<110>（面对角线），绕每个2次轴旋转π都是对称操作，这样对于六条2次轴，共有6个对称操作；不动（旋转2π）本身也是1个对称操作。所以纯旋转操作加起来共24个，由于立方对称有对称中心，所以纯旋转操作加上中心反演的组合操作，即非纯旋转操作共24个，合起来48个。例如立方对称有三条4次轴<100>，绕每个4次轴旋转π/2、由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构成了正四面体，所以，正四面体所有对称素和对称操作包含于立方体中。由于正四面体没有对称中心，立方对称的三条4次轴<100>和对称中心退化为四次旋转反演轴【6个非纯转动（转动π/2或3π/2）加上3个纯转动（转动π）】。同理，四条3次轴<111>和对称中心退化为三次旋转反演轴（等价于8个纯转动），六条2次轴<110>和对称中心退化为二次旋转反演轴（6个非纯转动），加上不动，共24个对称操作。它保留了立方体的12个纯旋转操作和12个非纯旋转操作。由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构成了正四面体，所

4.宏观对称操作和物理性质对于一个具体的晶体材料，如果知道了它的点对称性，那么它的某种物理性质就可以确定，这称为Neumann原理。(1).一个晶体如果具有镜像反映对称性,则该对称操作变矢量左旋为右旋,因而该晶体无旋光性；(2).一个晶体如果具有中心反演对称性，则该对称操作使矢量改变符号，因而该晶体无固有偶极矩。4.宏观对称操作和物理性质对于一个具体的晶体材料，如

(3).宏观对称操作和晶体的介电常数

介电常数的一般表达式为介电常数通常它是一个二阶张量。但是，对于具有立方对称和正四面体对称的晶体材料，介电常数退化为一个标量.对于六角对称的晶体，介电常数为(3).宏观对称操作和晶体的介电常数介电常数的一般表为了证明上述关系，首先我们给出介电常数在点对称操作后的形式

电位移矢量D与电场强度矢量E满足

其中ε为介电常数,设晶体有点对称操作(变换矩阵)A，现在对晶体实施该对称操作，则有所以从而所以介电常数在点对称操作后的形式为由于A是点对称操作，所以介电常数在操作前后不变。因而有:为了证明上述关系，首先我们给出介电常数在点对称操作后的形对于具有立方对称的晶体,有三条4次轴,设某一条沿着z轴,由于转180度晶体复原,所以：对于具有立方对称的晶体,有三条4次轴,设某一条沿着z轴,由于类似沿着x轴,转180度晶体复原,所以：代入可得：类似沿着x轴,转180度晶体复原,所以：代入可得：进一步选择沿着<111>方向转120度晶体复原,所以以<111>轴为坐标系的变换矩阵为：代入可得：进一步选择可得：进一步选择沿着<111>方向转120度晶体复原,所以以<11令：则有：亦即对于具有立方对称的晶体,介电常数退化为一个标量.对于具有正四面体对称的晶体,证明方法相同,可在上面的证明中指出所选对称操作完全适用于正四面体.对于具有六角对称的晶体：对六角晶系，绕x(即a)轴旋180度和绕z(即c)轴旋转120度都是对称操作．令：则有：亦即对于具有立方对称的晶体,介电常数退代入可证.注意有的题解上写成,则矩阵A需要转置.代入可证.注意有的题解上写成二、晶体的微观对称性和微观对称操作上面我们主要讨论了晶体的宏观对称性和宏观对称操作。因为不包含平移,所以宏观对称操作又称为点对称操作。由于晶体可以抽象为无限大的空间点阵,所以,晶体又具有平移对称性。考虑平移后的对称性称为晶体的微观对称性。对于晶体的微观对称性而言，除了前面所讲的宏观对称操作完全适用于微观对称来说，微观对称操作中还应包含三种新的对称操作，即:平移、螺旋旋转和滑移反映。对应三种新的对称元素，即:平移轴、螺旋轴和滑移面。二、晶体的微观对称性和微观对称操作上面我们主要讨论了晶体的宏(1)空间点阵中各点按一矢量进行移动的操作称为平移，进行平移所凭借的直线称为平移轴。显然，空间点阵应是无限的情形，才会有平移对称性。有限的晶体从微观来看满足无限的空间点阵的要求。所以含有平移的对称操作都是晶体的微观对称操作所特有的。(2)由螺旋和平移构成的复合操作称为螺旋旋转。若将晶体绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴，相应的对称操作称为螺旋旋转对称操作。其中T是轴方向的周期，l是小于n的整数。n只能取1、2、3、4、6。(1)空间点阵中各点按一矢量进行移动的操作称为平移，进行平(3)由平移和反映构成的复合操作称为滑移反映，进行此操作所凭借的平面称为滑移面。若经过某面进行镜象操作后,再沿平行于该面的某个方向平移T/n后,晶体能自身重合,则称此面为滑移反映面,相应的操作称为滑移反映对称操作。T是平移方向的周期,n可取2或4。4度螺旋轴滑移反映面总之,平移、螺旋旋转和滑移反映对称操作无需凭借一个保持不动的点来完成,它们都包含平移操作,适用于无限大点阵.无限大点阵和晶体的微观结构一致,所以上述操作称为微观对称操作.

(3)由平移和反映构成的复合操作称为滑移反映，进行此操作所凭三、群和晶体结构的分类定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。群论作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的有力工具。它可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体系的许多性质作出定性的了解。群及其表示理论是物理类专业研究生的一门重要基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不打算在这里讲过多的群论的知识，只是简单介绍一下群的概念。并在此基础上直接给出布拉维格子和晶体结构按照点群和空间群的分类结果

1.群的定义所谓群(group)就是一些元素(elements)或操作的集合，常用符号

G来表示。三、群和晶体结构的分类定量研究对称操作集合的性质要用群论的构成群的元素要满足以下条件：设等表示群G中所包含的元素或操作

即：必须满足下列条件：1).封闭性(closureproperty)

按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素相乘，得到的还是该群的一个元素。构成群的元素要满足以下条件：设等2).群中一定包含一个不变元素(单位元素)E3).存在逆元素4).满足组合定则在晶体的几何对称性的研究中，每一个能使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的群叫对称操作群(symmetrygroup),包括点群(pointgroup)和空间群(spacegroup)2).群中一定包含一个不变元素(单位元素)E3).存在对称操作群中：乘法规则就是连续操作；单位元素E为不动操作；逆元素为转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作；中心反演的逆元素还是中心反演；由于都是对称操作，每一个操作之后晶体都能够复原，所以组合定则显然成立。

2.点群和七个晶系

晶体中独立的宏观对称操作(或对称元素)只有8种,即：1、2、3、4、6、i、m、。宏观对称操作也称为点对称操作，在点对称操作基础上构成的对称操作群称为点群。

对称操作群中：乘法规则就是连续操作；单位元素E为不动操作；逆如果一些晶体具有相同的一组群元素，那么从对称性来说，这些晶体属于同一类晶体。理论和实验证明,在点对称操作基础上,如果忽略基元的对称性,也就是仅仅从三维空间点阵（或布拉维格子）角度来说,只存在7种不同的点群,称为7个晶系。

用熊夫利符号表示的话，7个晶系隶属的点群从低到高排序分别是三斜晶系属Ci(或S1)群、单斜晶系属C2h群、正交晶系属D2h群、三角晶系属D3d群、四方晶系属D4h群、六角晶系属D6h群、立方晶系属Oh群。

我们知道晶体结构等于布拉维格子加上基元,为此,晶体结构的分类可以考虑基元的对称性(晶体结构),

也可以忽略基元的对称性(布拉维格子).

如果一些晶体具有相同的一组群元素，那么从对称性来说，这些晶体为了便于大家看懂晶体学点群，下面简单给出符号的说明表示n次旋转轴n=1,2,3,4,6表示n次旋转-反演轴n=1,2,3,4,6表示n个垂直于主轴的2次旋转轴n=2,3,4,6表示中心反演T四个3次轴、三个2次轴，按四面体型分布熊夫利符号表示镜面反映为了便于大家看懂晶体学点群，下面简单给出符号的说明表示n次旋O四个3次轴、三个4次轴，按八面体型分布为了表明对称面相对于旋转轴的位置，还有如下附加指标：下角标h(水平)表示垂直于旋转轴下角标v(铅直)表示平行于旋转轴下角标d(对角)表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角国际符号熊夫利符号

国际符号以不超过三个几何上的从优方向来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对称轴或垂直于对称面O四个3次轴、三个4次轴，按八面体型分布为了表明对称面相对于国际符号n1,2,3,4,6n次旋转轴旋转-反演轴

镜面反映表示中心反演I垂直于镜面的n次旋转轴平行于镜面的n次旋转轴垂直于一个或多个2次轴的n次主轴垂直于一个或多个2次轴的旋转反演轴平行于镜面的n次旋转反演轴国际符号n1,2,3,4,6n次旋转轴旋转-反演轴总之,在不考虑基元的对称性时,以上的操作构成7大晶系。垂直于一个镜面但平行于其它反映面的n次旋转轴7个晶系(crystalsystem)相应的点群如果考虑基元的对称性，则同一个晶系，可能会出现若干种不同的结构。如A1型fcc结构和B3型立方ZnS结构,按照点阵来说,都属于立方晶系Oh群。但是ZnS结构,由于基元中两种原子不同,当考虑基元的对称性时,它的对称性降低,属于正四面体Td群。总之,在不考虑基元的对称性时,以上的操作构成7大晶系。垂通常晶体结构的对称性低于它所对应的点阵的对称性,从而导致新的群的产生.可以证明7个晶系,考虑基元的对称性后,在点对称操作基础上,可以另外衍生出25种新点群.也就是说,晶体结构的宏观对称性,可概括为32种晶体点群.另外，7个晶系也可以从几何图形上来考虑晶体的三维周期性结构可由a、b、c三个基矢的方向(夹角)和长度来决定。规定a,b间的夹角为γ；b,c间的夹角为α；c,a间的夹角为β.按照a,b,c三个基矢的大小和夹角之间的关系,在点阵对称性的制约下,存在7类不同的组合,即7个晶系.通常晶体结构的对称性低于它所对应的点阵的对称性,从而导致新的7个晶系的名称和特征(1)三斜晶系(TriclinicSystem)：a≠b≠c,α≠β≠γ

;Ci群,无任何对称轴,不过由于中心反演i是点阵的属性,所以有2个群元素不动E和i.(2)单斜晶系(MonoclinicSystem):a≠b≠c,α＝γ＝90°≠β;C2h群，具有一条2次轴和i，所以有4个群元素。因为它只有a和c互相不垂直，所以称为单斜晶系

(3)正交晶系(OrthorhombicSystem):a≠b≠c,α＝β＝γ＝90;D2h群，具有三条2次轴和i，所以有8个群元素。正交晶系又称斜方晶系

(4)三角晶系(TrigonalSystem)：a＝b＝c,α＝β＝γ≠90°<120°;D3d群，具有一条3次轴、三条与3次轴垂直的2次轴和i，所以有12个群元素。三角晶系又称三方晶系。7个晶系的名称和特征(1)三斜晶系(Triclinic(5)四方晶系(TetragonalSystem)：a＝b≠c,α＝β＝γ＝90°。D4h群，具有一条4次轴、四条2次轴和i，所以有16个群元素。四方晶系又称正方晶系或四角晶系。

(6)六角晶系(HexagonalSystem)：a＝b≠c,α＝β＝90°,γ＝120°;D6h群，具有一条6次轴、六条与6次轴垂直的2次轴和i，所以有24个群元素。六角晶系又称六方晶系。(7)立方晶系(CubicSystem)：a＝b＝c,α＝β＝γ＝90°;

Oh群，具有三条4次轴、四条3次轴、六条2次轴和i，所以有48个群元素(5)四方晶系(TetragonalSystem)：a＝7.立方晶系：5.三角晶系：6.六角晶系：3.正交晶系：4.四方晶系2.单斜晶系：1.三斜晶系：

从几何结构划分7个晶系7.立方晶系：5.三角晶系：6.六角晶系：3.正交晶系：4.3.空间群和14种布拉维格子严格的群理论证明，如果忽略基元的对称性，也就是仅仅从点阵角度来说，仅仅存在14种不同的空间群，称为14种布拉维格子。考虑基元的对称性后，全部晶体结构的宏观对称操作和微观对称操作可以构成230种空间群，即有230种对称类型。从晶体的宏观对称操作出发给出了7种布拉维格子，也就是7个晶系；晶体结构对应32种晶体点群。把微观对称操作也考虑进来，进一步讨论点阵和晶体结构的对称类型。点对称操作加上平移操作构成空间群。3.空间群和14种布拉维格子严格的群理论证明，如果忽略基元的

7个晶系对应的格点都在晶胞的顶角上.

点阵晶胞通常是一个扩大了的原胞。晶胞的体心和面心上都可以有格点

.例如sc、bcc、fcc点阵,从宏观对称性（点群）来看,都属于立方晶系（Oh群）.但是,三者的原胞基矢不同,所以sc、bcc、fcc点阵具有不同的平移对称性，也就是说属于不同的空间群

.我们可以通过对7个晶系采取加心（体心、面心、底心）的方法得到新的点阵类型。7个晶系对应的格点都在晶胞的顶角上.点阵晶胞通常是一个

布拉维格子要求每一个格点周围的环境必须一致，也就是格点必须完全等同，所以7个晶系加心方式受到限制，有些点阵加心后没有形成新格子，还有一些根本不属于布拉维格子

.把不加心的格子记为P（简单格子）;加体心记为I（体心格子）;加面心记为F（面心格子）;在a和b形成的底面加心记为底心C;在a和c形成的底面加心记为底心B;在c和b形成的底面加心记为底心A.加心后7大晶系构成14种布拉维格子布拉维格子要求每一个格点周围的环境必须一致，也就是格1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)三角(4)4.正交晶系：简单正交(5)，底心正交(6)体心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)简单四角(9)，体心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：简立方(12)，体心立方(13)，面心立方(14)1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：简单三斜(1)简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)1）.三斜晶系：2）.单斜晶系：3）.三角晶系：三角(4)简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)1）.三斜晶系：4）.正交晶系：简单正交(5)底心正交(6)体心正交(7)面心正交(8)5）.四方晶系体心四方(10)简单四方(9)4）.正交晶系：简单正交(5)底心正交(6)体心正交(7)面6）.六角晶系：六角(11)7）.立方晶系：简立方(12)体心立方(13)面心立方(14)6）.六角晶系：六角(11)7）.立方晶系：简立方(12)体从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以增加一些体心、面心或底心格子。但实际上，这样做所得的格子仍是14种之一，或者不是布拉维格子。如四方晶系只有简单四角和体心四角；如果增加一个面心四角，结果仍是体心四角。从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以增加一些体心、面晶体的对称性和分类课件总之，布拉维格子按照点群来分有7类，按空间群来分有14类；晶体结构按照点群来分有32类，按空间群来分有230类。

空间格子与晶体结构这两个概念含义并不相同，“格子”纯属几何概念，是晶体结构的数学抽象；而“晶体结构”则具有物理意义。3.230种空间群国际符号说明：空间群国际符号的第一个字母表示布拉维格子的类型。总之，布拉维格子按照点群来分有7类，按空间群来分有14类；晶P—简单格子；I—体心格子；F—面心格子；C—底心(a和b形成的底面);B—底心(a和c形成的底面);A—底心(b和c形成的底面);R—三角格子其余符号与点群相同。空间群国际符号第一个字母如：Pm3m空间群，对应的布拉维格子是简立方(CsCIandcubicperovskite)；Fm3m空间群，对应的布拉维格子是面心立方(NaCIandCaF2)；Fd3m复杂空间群(diamond)；F3m(Zincblende)简单空间群，两个fcc晶格套构；(hexagonalclosepacked)。P—简单格子；其余符号与点群相同。空间群国际符号第一个字母如晶体结构的群表示符号的用处：1942年美国材料试验协会出版了一套卡片，约1300张，通常称为ASTM卡片，用来标记人们已经发现的材料的晶体学性质，以后，逐步增加和修改。1969年改由粉末衍射标准联合委员会(JCPDS)负责卡片的编辑出版，改称PDF卡片。到1977年止，已有4万余张卡片，其中无机物3万余张。每张卡片的第4栏标明材料晶系、空间群、晶格常数等。卡片的第4栏的这些标记，很方便人们查找得到的新的材料的大体结构。因为，毕竟只有14种布拉维格子。つづき晶体结构的群表示符号的用处：1942年美国材料试验协会出面心立方点阵为八面体群的说明面心立方点阵为八面体群的说明谢谢骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷箩侣郎虫林森-消化系统疾病的症状体征与检查林森-消化系统疾病的症状体征与检查11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓

12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰

13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子

14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德

15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利谢谢骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷6023晶体的对称性和分类26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。27、自信是人格的核心。28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。--查士德斐尔爵士。29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。23晶体的对称性和分类23晶体的对称性和分类26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。27、自信是人格的核心。28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。--查士德斐尔爵士。29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作三、群和晶体结构的分类物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对称性对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且能大大简化某些计算工作量。我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵)的对称性(symmetryoflattice).一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作相对城市学生来说，农村学生相对淳朴，价值观单一，在很多方面不成熟，随着时间的流逝，人与人之间的差异显现出来，特别是心理差异很大，部分学生出现学习或生活中的困难，具体表现如下：一是自卑心理出现。随着年龄的增长，部分学生逐渐注意到彼此之间的物质条件差异，家庭条件不好者容易出现不合群现象。还有一部分学生因为成绩、思想品德评价方面比其他学生弱，常常表现为孤独、沉闷。二是人际交往能力弱。许多学生在与同学相处中表现出弱势，不能妥善处理同学之间的关系，一些很小的事情就会引起大的争执。同时一小部分孩子在家里是小太阳，在班级中表现为以自我为中心，造成相对偏执，容易被孤立。三是学习适应能力相对弱。孩子从小学过渡到初中，接触到与小学不同的教学体系，不能很快适应，从而产生一系列问题。上述问题不是单一的存在，而是联系在一起，一个孩子身上往往有多个问题，同时非典型症状很多，新问题不断出现。因此，教师如何及时发现问题，妥善解决问题，是值得我们认真思考的问题。一、细心观察，努力了解学生某某是一位学困生在平常教学中，我总是努力观察她的课堂表现，发现她上课不是很积极，特别喜欢做小动作，而且对教学重难点不愿意记录。课堂上布置小练习，总是拖拖拉拉，不能完成，人显得比较沉默。不过在上音体美这些课程的时候，又变得非常活跃开朗，能够跟同学打成一片。在课间，总是在跟同学聊天，显得很高兴。我抽空与这几个同学交流，结果同学给我的反馈是她特喜欢上网、新奇的、好吃的、好玩的。导致每次课堂作业一如既往地拖拖拉拉，很难及时交上。二、客观辩证地看待问题，认识其“本我”如果给她下个主观判断，就是这个学生不追求上进，畏惧困难，贪图玩乐，是个坏学生。粗暴对待，教育效果可想而知。没有感动的教育使受教育者有些许改变，但她还是她；而教育一旦有了感动，受教育者就会变成另外一个人。学生有很多毛病，我们不能忽视，但是更不能忽视学生的闪光点。首先，虽然每次作业都有很多错误，作业拖拉，但是把她喊过来订正，也能订正对，说明她的智力没有问题。其次，虽然她跟我交流的时候很沉闷，但是跟同学交流很活跃，说明她的性格并不是真的内向。再次，她总是与同学谈论上网、玩乐这些事情，反映出她懂的东西多。同学们都很崇拜她的知识广博，只要善于引导，她未尝不能转化。因此，只有客观辩证地看待问题，才能找准问题所在，认识其“本我”，最终选择科学合理的策略解决问题。三、循序渐进，积极科学地处理问题跟她交流时又和以前一样，在《学习的革命》中我看这样一段话：如果你的孩子生活在鼓励之中，那么他学到的是自信；如果你的孩子生活在表扬之中，那么他学到的是感激；如果你的孩子生活在接受之中，那么他学到的是爱。对待孩子的犯错，我们要认真对待，当孩子克服了错误，就是一种成长。我又跟她进行了交流，这次我跟她谈了我的学习生涯，讲述了我小时候的梦想，我在学习中也犯了很多错误，多亏老师提点我，我才意识到要实现自己的梦想必须每天都努力，“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”。如果你也有自己的梦想，那么就要为此付出努力，就从现在开始。她沉默了，好像要哭了。看来有了共鸣，之后她改变了许多。在后面的教育教学过程中，我始终关注她，并加以鞭策。教育不是一个人能完成的事情，而是社会、家庭、学校合力做的事。在之后的日子里，我经常与她的父母交流，指出家庭教育非常重要，多关爱孩子才行，父母深表同感，于是经常忙里偷闲看孩子。而在学校这个小环境里，我动员全班同学行动起来，开展关于责任、人生观、价值观、感恩、互助合作等方面的主题班会，通过班会激励学生树立正确的三观。只有积极向上、和谐友爱的班集体才能解决学生的各种问题。常怀感恩之心，报恩于行，是促进德育的好方法。跟这个学生交流了几个月，看到她的成长，心里很是欣慰。她的家庭条件好，什么都不缺，父母只在物质上满足孩子，而忽视情感交融。孩子心中的那份爱被埋藏了起来，造成孩子学习没有动力。有句话是这样说的：人生的杠杆是精神，精神的支点是感恩，只有有了感恩的思想，人才能形成感恩的心态、品质和责任，进而显示为感恩的行为，才能焕发无穷力量。因此，教师要真正走进学生内心，唤醒学生的感恩之情，自然会喜欢这个人，才会把这份感恩之情迁移到所教学的学科上。让学生学习有动力，才能带动学生全方面进步，“育人”这个主题才能顺利实现。随着时代的发展，农村学生存在的问题必然会不断发展变化，对于新问题，我们无需畏惧。苏霍姆林斯基说过：“教育的最高目标是让人懂得幸福和获得幸福……”把每个学生都培养成幸福的人，让每个学生都抬起头来走路。一、本院英语教学的现状（一）学生入校的英语水平越来越差随着扩招计划的开展，高职高专的学生除了高中生外还有绝大部分来自中专，技校和职高的学生?学生入校的英语水平可能只相当于初中水平，有些甚至连音标都不会读。以前每年入学的新生英语平均分基本能达到60分以上，而现在学生的英语平均分越来越低。上述情况就给英语教师提出了一个难题：教师既要有教授大学英语的水平还得有小学教师的耐心和经验。（二）学生对英语缺乏兴趣，学习积极性不高高职高专学生普遍存在的问题只学专业课，文化课知识特别薄弱。他们把大部分时间都花在专业课学习上，她们重视专业课的程度远远超过了文化课程，花在英语学习上的时间更是少之又少。另外，这些学生英语基础差，从心理上讲他们惧怕英语，即使想学也没信心学好，有些甚至厌恶英语。因此她们的英语水平远远达不到大学阶段的要求。二、根据英语教学要“以实用为主”的趋势，做出了以下三方面的改进1.教材改革：研究各个版本的高职高专英语教材，最后我们筛选出适合本院学生英语基础的教材，由大连理工大学出版的点击职业英语基础模块，本教材注重听说读写语言基本技能与功能，语法，词汇等语言基础能力的全面培养，强调学习真实而自然的语言，尤其是日常英语。2.教师教学方式的改变：高职英语教学不再是传统的以教师为主导和讲授语法知识为主体的教学，而是以学生为中心的学生培养听说读写能力的一个过程。每个英语教师在教学过程中都充分给予学生机会大胆的用英语表达自己的想法，训练学生的听说能力。3.教学手段的改变：教学手段不再是以前的黑板+粉笔，而是运用多媒体进行教学，更直观的给学生展示教学内容，让学生能更深刻的理解并掌握教学知识。通过多媒体给学生播放英文视频，还大大的提高了学生学习英语的兴趣。三、遇到困难的情况下，一种新生事物孕育而生――微课“微课”是按照新课程标准及教学实践要求，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或教学环节而开展的精彩的教与学全过程。“微课”的教学时间短，一般5-10分钟，最少的1-2分钟，最长的不超过20分钟;教学内容也比较少，主要是突出讲解某个知识点;制作比较简便实用，它是真实，具体，典型的情景化教学，类似于一对一的辅导，能提供给学生更直观的视频教学，让学生能更自主的学习课堂上未听懂的内容。微课常用的教学方法是讲授法，谈话法，讨论法，演示法，表演法等，它以一种新的形式辅助着课堂教学，不仅适合于移动学习时代知识的传播、也适合学习者个性化、深度学习的需求，是传统课堂教学必不可少的组成部分。四、本院教师积极参与微课的学习研究与初探为了能更好地提高本院学生的英语水平，掌握基本的英语技能，本院教师积极参与微课的学习与制作。1.学院先后三次派出一部分教师前往成都重庆等地的优秀高职院校学习微课的制作，而英语教师积极申请并前往学习，参与学习的教师积极与其他教师分享微课教学资源，共同提高整个英语教师队伍的微课制作水平。2.学院投入大量资金筹建微课录播教室，购买摄像机，微课录制软件等，在全院范围内掀起一股微课热，而英语教师队伍也精心选题，利用一系列的资源录制微课。3.学院积极参与全国微课比赛，目前学院正组织教师精心制作微课，而英语教师也积极参与到微课的制作团体当中，并借鉴其他高职院校优秀的微课，共同创作出更多优秀的微课，以便学生能更好地掌握基础知识，并且通过视频教学进一步提高学生学习英语的积极性。五、微课辅助传统课堂教学取得的成效。本院英语教学自从学习研究以及制作微课以来取得了以下效果：1.提高了本院学生自主学习的积极性，更好地满足了学生对知识点的个性化需求。微课的内容是可以被永久的保存，查阅和修正，所以通过微课学生既可以查漏补缺又可以强化知识，补充和拓展了传统的课堂学习。2.促进了本院教师专业水平的发展。教师在选题时教学目标清楚，可以对难点进行突破，也可以是对教学内容的拓展延伸，这就加深了教师对教材知识的进一步理解。教学过程中语言要简明扼要，易于理解，这就提高了教师知识讲解与总结的能力。为了使教学内容丰富，能吸引学生注意力，教师就得查阅更多的资料，这就开拓了教师的视野，更快的促进了教师掌握现代信息技术，赶上时代发展的步伐。总之，无论对本院学生还是对本院教师而言，微课都是一次思想改革，它促成了一种自主学习模式，同时还给教师提供了自我提升的机会。它是一种符合教学模式创新发展需要的新型教学资源，广大师生应充分认识其独特优势，将微课教学资源开发作为混合学习与自主学习等教学模式创新实践的有效途径。从有利于增强学习效果出发，以学为本，面向学生，网络共享，在教学实践中逐步加以提高和完善，使微课真正成为实用高效、广泛应用的教学资源。23晶体的对称性和分类26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和61第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作三、群和晶体结构的分类第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对称性对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且能大大简化某些计算工作量。我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵)的对称性(symmetryoflattice).一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对

晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称操作.晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对称元素（简称对称素）.这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观对称性.

晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映出来,如sc、b一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作

1.概念解释

晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点阵结构的对称性.晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性，相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作。晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为晶体的微观对称性.一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作1.概念解释由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应的对称操作又称为点对称操作.

2.对称操作的变换矩阵从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点写成矩阵形式，则有由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏观对称操作时,晶其中：A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的距离,所以易证A是一个正交矩阵.亦即满足两点间的距离不变,即用矩阵表示即得证.其中：A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的距离,所以易以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.（1）绕某一轴的旋转(rotationaboutanaxis)三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合.点对称操作对应的变换矩阵A的具体形式比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：且矩阵行列式均为：同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵所以，绕x轴旋转的变换矩阵为（2）中心反演(inversionthroughapoint)如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操作.对原点的反演使得(x,y,z)→(-x,-y,-z)，即：（2）中心反演(inversionthroughapo(3)镜面反映(Reflectionacrossaplane)一个镜面反映对称操作(symmetryoperationofmirrorimage)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x,y,z)→(x,y,-z)。用矩阵形式表示，则有(3)镜面反映(Reflectionacrossap当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于-1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动来实现。

3.宏观对称操作和宏观对称元素

绕固定轴的转动(rotationaboutanaxis)、中心反演(inversionthroughapoint)和镜面反映

(Reflectionacrossaplane)是晶体中的三种基本的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对称中心、对称面。当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高.但是,由于晶体的宏观对称性是受到微观周期性的制约和影响,所以,晶体的宏观对称元素不是任意的.对于旋转对称操作(rotationalsymmetryoperation)来说，由于晶体周期性的限制，转角θ只能是2π/n，n=1、2、3、4和6。晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺

如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律

一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高.但是,由于晶体的对称性定律的证明

如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B

格点转到位置,则由于转动对称操作不改变格子,在处必定原来就有一个格点。因为B

和A

完全等价,所有旋转同样可以绕B进行.如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与平行的格点之间的距离一定是的整数倍。由此可设想绕B

转角，这将使A格点转到的位置。同样处原来也必定有一个格点晶体的对称性定律的证明如果绕A转角,晶格保持不亦即：而且,m必须为整数,所以,m只能取-1,0,1,2,3由于组成等腰梯形,m为整数因此与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:亦即：而且,m必须为整数,所以,m只能取-1,0,1,2,通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主轴(但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴.晶体的对称操作除了旋转、中心反演和镜面反映3种基本对称操作外，在某些晶体中还存在着等价于相继进行两个基本对称操作(乘法)而得到的独立对称操作，称为组合操作，从而出现新的对称元素

上述操作称为非纯旋转操作。如果一个晶体先绕某轴旋转2π/n，再进行中心反演后，晶体保持不变，称该轴为n次（或n度）旋转反演轴，记为。由于晶体周期性的限制，旋转反演轴也必须遵循晶体的对称性定律，即：通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。12123456121次旋转反演轴就等价于对称中心i

2次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面m

3次旋转反演轴就等价于3次纯旋转轴加上对称中心,记为旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。12123456ABDCEFGH只有具有4次旋转反演轴的晶体,既没有4次纯旋转轴,也没有对称中心i，但包括一个与4次旋转反演轴重合的2次轴.6=3+m1234566'6次旋转反演轴等价于3次纯旋转轴加上垂直于该轴的对称镜面m，记为所以旋转反演轴中只有是独立的对称素ABDCEFGH只有具有4次旋转反演轴的晶体,既没有4次纯旋旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对称操作是独立的

晶体中独立的宏观对称操作(或对称元素)只有8种,即：1、2、3、4、6、i、m、。其中数字n(1、2、3、4、6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。1234还有一些其它的组合操作，如旋转+镜面反映，但不再给出新的对称元素。

这种表示方法属于国际符号(Internationalnotation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对称操作是独立的晶还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记，是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利符号(Schoenfliesnotation).熊夫利符号中Cn表示旋转轴；Sn表示旋转反演轴；Ci表示中心反演；Cs表示镜面反映。总之，晶体的所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。晶体中8种独立的宏观对称元素（或对称操作）用熊夫利符号标记则为C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4。

还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记，是熊夫利(Sch例如立方对称有三条4次轴<100>，绕每个4次轴旋转π/2、π、3π/2都是对称操作，这样对于三条4次轴，共有9个对称操作；还有四条3次轴<111>（空间对角线），绕每个3次轴旋转2π/3、4π/3都是对称操作，这样对于四条3次轴，共有8个对称操作；再就是六条2次轴<110>（面对角线），