张维忠教学讲解课件

张维忠

教育学博士，现为浙江省基础教育研究中心副主任，浙江师范大学教师教育学院教授，博士生导师，教育部“国培计划”数学学科专家。兼任全国数学教育研究会副理事长，西南大学兼职教授等。2022/12/13张维忠2022/12/121数学核心素养及其培养张维忠2022/12/13数学核心素养及其培养2022/12/1223一、如何认识和理解数学核心素养

进入21世纪，社会、科学技术和数学发展异常迅速，甚至超出想象，这势必会影响教育，影响基础教育，影响数学教育。20世纪学生应具备的基本能力与21世纪学生应具备的核心素养一致吗？哪些不一致？这是跨世纪的挑战，也是建立基于核心素养的课程体系的背景。大部分国家课程标准以8～10年为周期进行修订，这会成为“新常态”，但我国教师并不适应。2022/12/133一、如何认识和理解数学核心素养

进入21世纪，社会、科34一、如何认识和理解数学核心素养例如，中小学的每道数学题，借助网络信息检索技术都可以找到答案，这对教学中的重要环节—作业提出挑战，如何留作业，留什么样的作业，如何指导学生独立完成作业，如何提高作业效率…在数学教育中，数学运算仍是关注要点，是数学的核心素养，但随着计算机科学的发展，其要求应与时俱进，有所调整，更强调建立运算的思路，掌握解决问题的通性通法，减少对运算速度的要求。数学教师应置身于时代发展中，才能更好地认识和理解课程改革，直面挑战，创造性地推进教育发展。2022/12/134一、如何认识和理解数学核心素养例如，中小学的每道数学题，借45一、如何认识和理解数学核心素养核心素养被誉为当代基础教育的DNA。未来基础教育的顶层理念是强化学生的核心素养。近几年来，国际上兴起了有关核心素养研究的潮流，中国教育部也十分重视——“中国学生发展核心素养”2016年9月13日正式出炉。2022/12/135一、如何认识和理解数学核心素养核心素养被誉为当代基础教育的56一、如何认识和理解数学核心素养

2022/12/136一、如何认识和理解数学核心素养

2022/12/1267《中国学生发展核心素养》总体框架

2022/12/137《中国学生发展核心素养》总体框架2022/12/127学生发展核心素养是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力（中国学生发展核心素养（正式发布稿），2016年9月13日）

。其包含3个方面、6大素养、18个基本要点。我国核心素养的框架（正式发布稿）2022/12/13学生发展核心素养是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展89什么是核心素养？1.素养不只是知识与技能。它是在特定情境中，通过利用和调动心理社会资源（包括技能和态度）、以满足复杂需要的能力。例如，有效交往能力是一种素养，它可能利用一个人的语言知识、实用性信息技术技能、以及对其交往的对象的态度。2022/12/139什么是核心素养？1.素养不只是知识与技能。它是在特定情境中910什么是核心素养？2.核心素养需要满足的三个条件：对社会和个体产生有价值的结果，帮助个体在多样化情境中满足重要需要；不仅对学科专家重要，而且对所有人都重要（授人以鱼，不如授人以渔）。2022/12/1310什么是核心素养？2.核心素养需要满足的三个条件：对社会和1011什么是核心素养？3.核心素养与学科核心素养

核心素养居统领地位，高于各门学科的课程标准或教学大纲，对所有学科具有导向作用；其原意是关键能力，强调的是“关键”和“少数”，要避免“核心素养是个筐，青菜萝卜往里装”的大拼盘或大杂烩的倾向。（1）学科特色的核心素养：科学探究能力、数学建模能力（2）跨学科共同素养：创新、批判性思维、合作和交流（3）自我成长层面的素养：必备品格与价值观念（智者不惑，即上位判断力，掌握任何变化的规律；仁者不忧；勇者不惧，即浩然之气。）2022/12/1311什么是核心素养？3.核心素养与学科核心素养2022/11112为什么强调核心素养？对宏观的教育总体目标的具体化；解决当前课程标准过分关注学科内容的问题，转变育人模式；改变国家和地方测评过分依赖考纲的现状；符合当前的国际发展趋势。2022/12/1312为什么强调核心素养？对宏观的教育总体目标的具体化；20212视频资料

美女鉴宝/watch/07046430133616424425.html?frm=FuzzySearch&page=videoMultiNeed2022/12/13视频资料

2022/12/121314数学核心素养国内关于数学核心素养的研究，有一个较长的“孵化”期，大致经历了从数学素养到数学核心词，再到数学核心素养的过程。2022/12/1314数学核心素养国内关于数学核心素养的研究，有一个较长的1415数学素养

数学素养是当今社会公民必备的基本素养，与阅读素养、科学素养并列成为PISA测试的三大领域。21世纪的头十年间，我国多个版本的数学教学大纲、课程标准均有关于数学素养的表述。2022/12/1315数学素养

数学素养是当今社会公民必备的基本素养，与阅1516数学素养2000年版初中、高中数学教学大纲首次以国家文件的方式提出数学素养这一概念，并将“思维能力、运算能力、空间想象能力（空间观念）、解决实际问题的能力、创新意识、良好的个性品质和辩证唯物主义观点”纳入数学素养范畴。2022/12/1316数学素养2000年版初中、高中数学教学大纲首次以国家文件1617数学素养

2002年版《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出：“使学生在高中阶段继续受到教育，提高数学素养”，“努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断”。作为承前（教学大纲）启后（课程标准）的过渡性大纲，2002年版高中数学教学大纲在传统“三大能力”基础上新增了“直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明”等能力要素，并试图用思维能力涵盖这些数学素养。2022/12/1317数学素养2002年版《全日制普通高级中学数学教学大1718数学素养虽然2001年版《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》没有出现有关“数学素养”的表述，但2003年版《普通高中数学课程标准（实验）》、2004年版《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》均指出，高中数学课程的总目标是：在九年义务教育数学课程的基础上，使学生获得作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。2022/12/1318数学素养虽然2001年版《全日制义务教育数学1819数学核心词东北师范大学史宁中教授指出：“在原来课标《课标（2001年版）》）的基础上，（《课标（2011年版）》）更加明确并且界定了十个关键词，用现在的话语体系，就是明确提出并界定了十个核心素养。这十个关键词是数学基本思想（抽象、推理、模型）在义务教育阶段的具体体现，比如，数感、符号意识就是针对抽象的。数学核心素养根植于十大“核心词”，与之一脉相承，但二者又不能完全等同。数学核心素养是对十大核心词的进一步浓缩和概括。2022/12/1319数学核心词东北师范大学史宁中教授指出：“在原来课标《课1920数学核心素养21世纪，我国确定了“立德树人”“以人为本”的教育改革指导思想，强调以课程为载体来落实，进而以高中课程标准修订为突破，探索、积累经验，逐步推广。高中课程标准修订的主要步骤包括：研制、确定中国高中学生21世纪应具备核心素养；各个学科研制、确定学科核心素养；以此为基础，研制学科—数学课程标准。2022/12/1320数学核心素养21世纪，我国确定了“立德树人”“以人为本”2021数学核心素养要想更好地理解本次课程修订，需要了解我国课程的基本变化历程。它从“以知识立意课程体系”，逐步发展为“以能力立意课程体系”，进而开始探索建立“以素养立意课程体系”。“以素养立意课程体系”主要是将培养、提升学生的核心素养（通识）、学科核心素养作为课程基本目标，根据每一个学科的特点，把三维目标通过每一个学科的核心素养加以落实，把课程总目标与学科教育有机结合。2022/12/1321数学核心素养要想更好地理解本次课程修订，需要了解我国课程2122数学核心素养我国数学教育工作者也一直思考：数学教育应留给学生什么？新中国成立后，以华罗庚为代表的一批数学家提出要重视能力培养，明确指出：在数学教育中，计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力是三大基本能力，得到数学教育界的广泛认同。2003年，高中数学课程标准又将三大基本能力拓展到五大基本能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理。2022/12/1322数学核心素养我国数学教育工作者也一直思考：数学教育应留给2223“三维目标”到“核心素养”所谓“三维目标”即：知识与技能、过程与方法、情感态度价值观。这个标准理论设计很好，也算全面，但是在实际操作时，仍然有很大问题。一则很多老师常会将三维目标割裂开来；二则对情感态度价值观本身的定向不够具体现代，不能反映时代要求。鉴于此，我国在教育部2014年印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，第一次提出“核心素养”这个概念。2022/12/1323“三维目标”到“核心素养”所谓“三维目标”即：知识与技23关于核心素养课程标准中的数学核心素养

北师大研究小组定义为：学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。基于三个方面（文化基础、自主发展、社会参与）提出六大要素、十八个基本要点（9月13日在北师大颁布）。

2022/12/13关于核心素养课程标准中的数学核心素养北师大研究小组定24关于核心素养课程标准中的数学核心素养

参照世纪之交（1997—），经济合作与发展组织（OECD）、联合国教科文组织、欧盟、以及美国等国家提出“keycompetences”,是不是可以把核心素养理解为：

后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的、知识能力和态度（学识特征、能力特征、品质特征），涉及人与社会、人与自己、人与工具。2022/12/13关于核心素养课程标准中的数学核心素养2022/12/25课程标准中的数学核心素养高中数学课程标准定义数学核心素养为：学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质。数学教育的终极目标（与人的行为有关）：会用数学的眼光观察现实世界会用数学的思维思考现实世界会用数学的语言表达现实世界数学眼光：数学抽象、直观想象；数学特征：数学的一般性数学思维：逻辑推理、数学运算；数学特征：数学的严谨性数学语言：数学模型、数据分析；数学特征：应用的广泛性2022/12/13课程标准中的数学核心素养高中数学课程标准定义数学核心素养为：26数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。逻辑推理指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。数学建模对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。直观想象指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。数学运算指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数据分析指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。2022/12/13数学指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主27张淑梅，何雅涵，保继光.

高中数学核心素养的统计分析[J].

《课程.教材.教法》2017(10)学生对六个核心素养的掌握情况有一定差异，但素养之间均具有显著的相关性，其中逻辑推理和数学运算的相关性最大，并且数学运算对逻辑推理的影响比逻辑推理对数学运算的影响更大。数学建模与数据分析的素养对其他四种数学素养的依赖程度明显大于其他四种素养对它们的依赖程度，说明数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算是基本数学素养。可以将数学素养分为三类：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算（基本数学素养）数学建模数据分析2022/12/13张淑梅，何雅涵，保继光.

高中数学核心素养的统计分析[J].28

喻平:从PME视角看数学核心素养及其培养[J]

.教育研究与评论

中学教育教学／2017(2)

通过大样本调查、因素分析和聚类分析，我们提出了数学核心素养的七种成分：数学抽象、推理能力、运算能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格。与专家组提出的数学核心素养成分相比，增加了数学文化和问题解决要素，合并了数学建模与数据分析要素。2022/12/13

喻平:从PME视角看数学核心素养及其培养[J]

.教育研究29喻平:数学核心素养特别需要说明的是，虽然建模与数据处理也是问题解决，但是它们只是问题解决中的一小部分；而数学交流能力、数学阅读能力、数学变换能力、数学应用能力、数学解题能力等都与问题解决相关，它们的公共因素就是问题解决，这是前面六种数学核心素养成分无法涵盖的。2022/12/13喻平:数学核心素养特别需要说明的是，虽然建模与3031数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是《标准》提出的“四基”之一，也是义务教育阶段学生应当达到的重要目标之一。数学基本思想是数学科学本质特征的反映，是数学科学的基石。史宁中认为：数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想。”数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学、理解和掌握数学所应追求和达成的目标。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。”2022/12/1331数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是《标准》提出的3132数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是统领整个数学和数学教育的思想，对于研究数学和学习数学的人都有重要指导意义。同样，数学基本思想对数学核心素养也是上位的具有指导性的。或者可以理解数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现。数学思想方法则是体现如何从操作层面上实现数学核心素养和体现数学基本思想的方法或能力。2022/12/1332数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是统领整个数学和数32数学知识技能、思想方法和情感态度是数学核心素养发展的基础“四基”中的基础知识和基本技能对应着“三维目标”中的“知识与技能”维度；基本思想和基本活动经验对应着“三维目标”中的“过程与方法”维度。教师在“双基”教学基础上，通过融入基本思想和基本活动经验的教学，将更好地促进学生对基础知识和基本技能的理解、掌握和运用，更好感悟数学的基本思想，积累数学的基本活动经验，执迷数学的神奇与魅力，体会数学的价值，获得成功的体验，提高学习的兴趣，增强学习的信心，从而促进“三维目标”中“情感与态度”目标的达成而这几方面又密切联系、相互支撑，构成数学核心素养形成的物质基础和精神基础。2022/12/13数学知识技能、思想方法和情感态度是数学核心素养发展的基础2033

（一）培养学生的数学核心素养，必须依托素质为本的数学课程教材设计。

正在修订的高中数学课程标准已将教科书编写纳入其中，明确提出“感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养”等具体要求。二、数学核心素养的培养2022/12/13（一）培养学生的数学核心素养，必须依托素质为本的数34（二）培养学生的数学核心素养，需要教师帮助学生亲身经历数学化的过程，获得理解性掌握，在获知过程中提升数学核心素养。

学生只有亲身经历数学化活动，才能真正形成数学核心素养。“大胆猜想，小心论证”2022/12/13（二）培养学生的数学核心素养，需要教师帮助学生亲身经历数学化35数学思考是数学核心素养形成的关键

数学思考是促进数学知识技能、思想方法和情感态度进一步提升为数学素养的内因和必要条件。教师需要挖掘数学教学内容中的思维价值，尽可能在每一节课中，设计利于放大这些思维价值的数学活动，在数学教学过程中，通过学生的活动，将这种“思维形式”内化为自己的“思维习惯”。教师要善于设计好的问题作为活动进行的纽带，真正把学生的思维调动起来，从而达到通过数学教会学生思考的目的。2022/12/13数学思考是数学核心素养形成的关键

数学思考是促进数学知识技能36（三）知识教学与文化教学相结合第一，要正确认识知识与文化的关系。知识是部分，文化是整体，文化教育涵盖了知识教育，两者本身是没有矛盾的。第二，教育是以知识教育为核心的文化教育。数学史是体现数学文化的一个载体，教学中可以在适当的时候加入数学史的内容，表现数学事实发展的历程，彰显数学家的精神，揭示数学文化的内核。2022/12/13（三）知识教学与文化教学相结合第一，要正确认识知识与文化的37案例：椭圆的教学（汪晓勤）汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计:以椭圆为例[J].数学教育学报，2011(5)

王芳，汪晓勤.HPM视角下椭圆概念教学的意义[J].中学数学月刊，2012(4)

汪晓勤.椭圆方程之旅[J].数学通报，2013(4)

2022/12/13案例：椭圆的教学（汪晓勤）汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下38从历史上看，古希腊人先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆以及另两种圆锥曲线的。在阿波罗尼斯（Apollonius）之前，希腊人（如梅内克缪斯）利用垂直于母线的平面去截顶角分别为直角、钝角和锐角的圆锥，得直角圆锥曲线（即抛物线）、钝角圆锥曲线（双曲线）和锐角圆锥曲线（椭圆），圆锥曲线的基本性质是直接从圆锥上得到的。2022/12/13从历史上看，古希腊人先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆以及另两39阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中则将同一个斜圆锥被不同位置的平面所截得的曲线定义为圆锥曲线，阿波罗尼斯同样直接从斜圆锥上得到圆锥曲线的基本性质，其中椭圆的基本性质是：若从椭圆上任一点P向直径AB引垂线，垂足为Q，则为常数（如图）。2022/12/13阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中则将同一个斜圆锥被不同位置的平面所4017世纪，笛卡儿（Descartes）《几何学》对圆锥曲线方程的研究导致人们对圆锥曲线画法的探求．法国数学家舒腾（Schooten）给出了椭圆的3种作图工具，其中一种即利用了焦半径之和为常数的性质，如图所示。

2022/12/1317世纪，笛卡儿（Descartes）《几何学》对圆锥曲线41法国数学家洛必达（Hospital）在《圆锥曲线分析》中抛弃了古希腊人的定义方法，将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹，据此推导椭圆的方程．直到1822年，比利时数学家旦德林（Dandelin）在一篇论文中才利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上导出椭圆的焦半径性质，从而在古希腊的截线定义和17世纪的轨迹定义（现称椭圆的第一定义）之间架设起一座桥梁．根据上面的历史考察，椭圆的历史大致可以分成椭圆的发现——截线定义的形成——基本性质的推导——2022/12/13法国数学家洛必达（Hospital）在《圆锥曲线分析》中抛弃42焦半径性质的获得——机械作图的产生——轨迹定义的确立——椭圆方程的推导等7个重要环节。教材通常只截取了最后3个环节，尽管这样的处理方式相当简洁，但对照发生教学方法，它存在如下不足：（1）没有交待为什么我们要研究椭圆，因而未能让学生产生足够的学习动机；（2）没有将椭圆概念建立在学生已有的知识基础之上，椭圆的引入相当突兀，学生几乎未能感受到椭圆知识的形成过程；（3）没有体现数学文化元素，消解了文化色彩而呈现出数学冰冷的一面。2022/12/13焦半径性质的获得——机械作图的产生——轨迹定义的确立——椭圆43教学设计2022/12/13教学设计2022/12/12442022/12/132022/12/1245由于高中生已经有相当丰富的现实生活经验，可以设计几个现实生活中遇到的问题来引入椭圆概念。2022/12/132022/12/1246首先，让学生回顾切线长定理，并提出如下问题：（1）问题1：过球外一点，可作出球的多少条切线？切线长有什么关系？（用乒乓球与铅笔演示）（2）问题2：把乒乓球放在水平桌面上，问：球和桌子有几个公共点？他们有怎样的位置关系？问题3：把乒乓球放在透明圆柱里（球半径和圆柱底面半径相等），球与圆柱之间有怎样的位置关系？（用事先准备好的教具演示）接下来，在针对问题3所展示的透明圆柱内斜放入一个椭圆形硬纸片（调整倾斜角，使其恰好与圆柱面相合），并与乒乓球相切；再放入一个乒乓球，与圆柱和纸片同时相切。如图2022/12/13首先，让学生回顾切线长定理，并提出如下问题：（1）问题1：47问题4：分别记两个乒乓球与椭圆纸片的切点为F1

和F2，在椭圆上任取一点P，点P所在圆柱母线与两球分别切于点A和B。PF1+PF2=AB与线段AB有怎样的大小关系？在得出等式PF1+PF2=AB之后，引入椭圆焦点概念，总结椭圆焦半径性质，并据此给出圆柱的机械画法．然后给出椭圆的轨迹定义。2022/12/13问题4：分别记两个乒乓球与椭圆纸片的切点为F1和F2，482022/12/132022/12/1249（四）结果性知识与过程性知识相结合指向核心素养发展的教学，就是要摒弃单纯的知识结果教学格式，将知识的产生和发展过程嵌入教学的过程之中，过程与结果相互整合、相得益彰。完整的教学应当是：知识从何而来？知识是什么？知识往何而去？知识从何而来？知识往何而去？这个知识的本质是什么？2022/12/13（四）结果性知识与过程性知识相结合知识从何而来？知识往何而去50教师在作教学设计时，要思考一些问题：►为什么要学习这个新知识？►这个知识与以前学习过的哪些知识有联系？►这个知识与前面学习的知识是什么关系？►这个知识产生的过程有现实背景吗？►用什么方式把这个知识生成的过程表现出来？►这个知识蕴涵的数学思想方法是什么？►这个知识是否有应用背景？►这个知识会怎么发展？►这个知识与后面要学习的哪些知识有联系？2022/12/13教师在作教学设计时，要思考一些问题：2022/12/1251（五）学科性知识与实践性知识相结合把某一学科内部的知识称为学科性知识，与该学科知识相关的其他学科知识或与该学科相关的现实生产生活知识称为实践性知识。指向核心素养发展的教学，就是要走出学科性知识教学的围栏，将实践性知识融入教学的过程之中，学科性知识与实践性知识相互渗透、共同作用。2022/12/13（五）学科性知识与实践性知识相结合把某一学科内部的知识称为学52真实性数学问题:1.马丽有５个朋友，张华有６个朋友，他们想在一起举行一个生日聚会，他们都邀请了各自所有的朋友，并且他们这些朋友都参加了，请问参加聚会有多少个朋友？2022/12/132022/12/12532.小军买了４根2.5米长的木头，如果他用锯子锯，他可以得到多少根1米长的木头?3.如果你把１升80度的水和１升40度的水都倒入一个大容器中，请问大容器中水的温度是多少度？4.有450名新兵需要用汽车把他们运到训练场。每辆汽车只能运36名新兵，请问需要多少辆汽车？5.小华跑100米的最好成绩是17秒，问他跑1000米需要多少时间？6.小红和小亮到同一所学校上学，小红家离学校8千米，小亮家离学校3千米。请问小红家和小亮家相距多少千米？2022/12/132.小军买了４根2.5米长的木头，如果他用锯子锯，他可以得到542022/12/132022/12/1255（六）外显性知识与内隐性知识相结合

内隐性知识指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层的隐性知识。包括知识的文化元素、知识的过程元素、知识的逻辑元素、知识的背景元素等。内隐素性知识是一种客观存在的知识，它是被外显知识所包裹的知识内核。2022/12/13（六）外显性知识与内隐性知识相结合内隐性知识指不以文本形56学科材料背景知识学科文化学科逻辑知识外显的结果性知识过程性知识对知识产生的体验对知识发展的体验对知识结果的体验对知识应用的体验知识的引申与拓展2022/12/13学科材料背景知识学科文化学科逻辑知识外显的结果性知识过程性知57（七）证实性知识与证伪性知识相结合教学应当是一种由知识的不确定性到知识确定性的渐进过程。知识的不确定性阶段是指提出问题和判断问题，证伪在这一阶段伴演着重要角色；知识的确定性阶段是对知识的确认，证实在这一阶段起着重要作用。——设置探究性问题——增加适当的错题——介入开放性问题2022/12/13（七）证实性知识与证伪性知识相结合教学应当是一种由知识的不确58结语：一堂基于“数学核心素养”的好课

海派文化的数学课堂：海纳百川，教无定法。始终贯穿以学生发展为本的教育理念。把握数学知识的本质；创设合适的教学情境、提出合适的数学问题；启发学生思考，鼓励学生与教师交流、学生之间相互交流；让学生在思考和交流中在掌握知识技能的同时，理解知识的本质；感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养。2022/12/13结语：一堂基于“数学核心素养”的好课

海派文化的数学课堂：59欢迎提出宝贵意见张维忠博客:/zhangweizhong张维忠邮箱:E-mail:lzzwz@

谢谢！2022/12/13欢迎提出宝贵意见张维忠博客:2022/12/1260张维忠

教育学博士，现为浙江省基础教育研究中心副主任，浙江师范大学教师教育学院教授，博士生导师，教育部“国培计划”数学学科专家。兼任全国数学教育研究会副理事长，西南大学兼职教授等。2022/12/13张维忠2022/12/1261数学核心素养及其培养张维忠2022/12/13数学核心素养及其培养2022/12/126263一、如何认识和理解数学核心素养

进入21世纪，社会、科学技术和数学发展异常迅速，甚至超出想象，这势必会影响教育，影响基础教育，影响数学教育。20世纪学生应具备的基本能力与21世纪学生应具备的核心素养一致吗？哪些不一致？这是跨世纪的挑战，也是建立基于核心素养的课程体系的背景。大部分国家课程标准以8～10年为周期进行修订，这会成为“新常态”，但我国教师并不适应。2022/12/133一、如何认识和理解数学核心素养

进入21世纪，社会、科6364一、如何认识和理解数学核心素养例如，中小学的每道数学题，借助网络信息检索技术都可以找到答案，这对教学中的重要环节—作业提出挑战，如何留作业，留什么样的作业，如何指导学生独立完成作业，如何提高作业效率…在数学教育中，数学运算仍是关注要点，是数学的核心素养，但随着计算机科学的发展，其要求应与时俱进，有所调整，更强调建立运算的思路，掌握解决问题的通性通法，减少对运算速度的要求。数学教师应置身于时代发展中，才能更好地认识和理解课程改革，直面挑战，创造性地推进教育发展。2022/12/134一、如何认识和理解数学核心素养例如，中小学的每道数学题，借6465一、如何认识和理解数学核心素养核心素养被誉为当代基础教育的DNA。未来基础教育的顶层理念是强化学生的核心素养。近几年来，国际上兴起了有关核心素养研究的潮流，中国教育部也十分重视——“中国学生发展核心素养”2016年9月13日正式出炉。2022/12/135一、如何认识和理解数学核心素养核心素养被誉为当代基础教育的6566一、如何认识和理解数学核心素养

2022/12/136一、如何认识和理解数学核心素养

2022/12/126667《中国学生发展核心素养》总体框架

2022/12/137《中国学生发展核心素养》总体框架2022/12/1267学生发展核心素养是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力（中国学生发展核心素养（正式发布稿），2016年9月13日）

。其包含3个方面、6大素养、18个基本要点。我国核心素养的框架（正式发布稿）2022/12/13学生发展核心素养是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展6869什么是核心素养？1.素养不只是知识与技能。它是在特定情境中，通过利用和调动心理社会资源（包括技能和态度）、以满足复杂需要的能力。例如，有效交往能力是一种素养，它可能利用一个人的语言知识、实用性信息技术技能、以及对其交往的对象的态度。2022/12/139什么是核心素养？1.素养不只是知识与技能。它是在特定情境中6970什么是核心素养？2.核心素养需要满足的三个条件：对社会和个体产生有价值的结果，帮助个体在多样化情境中满足重要需要；不仅对学科专家重要，而且对所有人都重要（授人以鱼，不如授人以渔）。2022/12/1310什么是核心素养？2.核心素养需要满足的三个条件：对社会和7071什么是核心素养？3.核心素养与学科核心素养

核心素养居统领地位，高于各门学科的课程标准或教学大纲，对所有学科具有导向作用；其原意是关键能力，强调的是“关键”和“少数”，要避免“核心素养是个筐，青菜萝卜往里装”的大拼盘或大杂烩的倾向。（1）学科特色的核心素养：科学探究能力、数学建模能力（2）跨学科共同素养：创新、批判性思维、合作和交流（3）自我成长层面的素养：必备品格与价值观念（智者不惑，即上位判断力，掌握任何变化的规律；仁者不忧；勇者不惧，即浩然之气。）2022/12/1311什么是核心素养？3.核心素养与学科核心素养2022/17172为什么强调核心素养？对宏观的教育总体目标的具体化；解决当前课程标准过分关注学科内容的问题，转变育人模式；改变国家和地方测评过分依赖考纲的现状；符合当前的国际发展趋势。2022/12/1312为什么强调核心素养？对宏观的教育总体目标的具体化；20272视频资料

美女鉴宝/watch/07046430133616424425.html?frm=FuzzySearch&page=videoMultiNeed2022/12/13视频资料

2022/12/127374数学核心素养国内关于数学核心素养的研究，有一个较长的“孵化”期，大致经历了从数学素养到数学核心词，再到数学核心素养的过程。2022/12/1314数学核心素养国内关于数学核心素养的研究，有一个较长的7475数学素养

数学素养是当今社会公民必备的基本素养，与阅读素养、科学素养并列成为PISA测试的三大领域。21世纪的头十年间，我国多个版本的数学教学大纲、课程标准均有关于数学素养的表述。2022/12/1315数学素养

数学素养是当今社会公民必备的基本素养，与阅7576数学素养2000年版初中、高中数学教学大纲首次以国家文件的方式提出数学素养这一概念，并将“思维能力、运算能力、空间想象能力（空间观念）、解决实际问题的能力、创新意识、良好的个性品质和辩证唯物主义观点”纳入数学素养范畴。2022/12/1316数学素养2000年版初中、高中数学教学大纲首次以国家文件7677数学素养

2002年版《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出：“使学生在高中阶段继续受到教育，提高数学素养”，“努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断”。作为承前（教学大纲）启后（课程标准）的过渡性大纲，2002年版高中数学教学大纲在传统“三大能力”基础上新增了“直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明”等能力要素，并试图用思维能力涵盖这些数学素养。2022/12/1317数学素养2002年版《全日制普通高级中学数学教学大7778数学素养虽然2001年版《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》没有出现有关“数学素养”的表述，但2003年版《普通高中数学课程标准（实验）》、2004年版《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》均指出，高中数学课程的总目标是：在九年义务教育数学课程的基础上，使学生获得作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。2022/12/1318数学素养虽然2001年版《全日制义务教育数学7879数学核心词东北师范大学史宁中教授指出：“在原来课标《课标（2001年版）》）的基础上，（《课标（2011年版）》）更加明确并且界定了十个关键词，用现在的话语体系，就是明确提出并界定了十个核心素养。这十个关键词是数学基本思想（抽象、推理、模型）在义务教育阶段的具体体现，比如，数感、符号意识就是针对抽象的。数学核心素养根植于十大“核心词”，与之一脉相承，但二者又不能完全等同。数学核心素养是对十大核心词的进一步浓缩和概括。2022/12/1319数学核心词东北师范大学史宁中教授指出：“在原来课标《课7980数学核心素养21世纪，我国确定了“立德树人”“以人为本”的教育改革指导思想，强调以课程为载体来落实，进而以高中课程标准修订为突破，探索、积累经验，逐步推广。高中课程标准修订的主要步骤包括：研制、确定中国高中学生21世纪应具备核心素养；各个学科研制、确定学科核心素养；以此为基础，研制学科—数学课程标准。2022/12/1320数学核心素养21世纪，我国确定了“立德树人”“以人为本”8081数学核心素养要想更好地理解本次课程修订，需要了解我国课程的基本变化历程。它从“以知识立意课程体系”，逐步发展为“以能力立意课程体系”，进而开始探索建立“以素养立意课程体系”。“以素养立意课程体系”主要是将培养、提升学生的核心素养（通识）、学科核心素养作为课程基本目标，根据每一个学科的特点，把三维目标通过每一个学科的核心素养加以落实，把课程总目标与学科教育有机结合。2022/12/1321数学核心素养要想更好地理解本次课程修订，需要了解我国课程8182数学核心素养我国数学教育工作者也一直思考：数学教育应留给学生什么？新中国成立后，以华罗庚为代表的一批数学家提出要重视能力培养，明确指出：在数学教育中，计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力是三大基本能力，得到数学教育界的广泛认同。2003年，高中数学课程标准又将三大基本能力拓展到五大基本能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理。2022/12/1322数学核心素养我国数学教育工作者也一直思考：数学教育应留给8283“三维目标”到“核心素养”所谓“三维目标”即：知识与技能、过程与方法、情感态度价值观。这个标准理论设计很好，也算全面，但是在实际操作时，仍然有很大问题。一则很多老师常会将三维目标割裂开来；二则对情感态度价值观本身的定向不够具体现代，不能反映时代要求。鉴于此，我国在教育部2014年印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，第一次提出“核心素养”这个概念。2022/12/1323“三维目标”到“核心素养”所谓“三维目标”即：知识与技83关于核心素养课程标准中的数学核心素养

北师大研究小组定义为：学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。基于三个方面（文化基础、自主发展、社会参与）提出六大要素、十八个基本要点（9月13日在北师大颁布）。

2022/12/13关于核心素养课程标准中的数学核心素养北师大研究小组定84关于核心素养课程标准中的数学核心素养

参照世纪之交（1997—），经济合作与发展组织（OECD）、联合国教科文组织、欧盟、以及美国等国家提出“keycompetences”,是不是可以把核心素养理解为：

后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的、知识能力和态度（学识特征、能力特征、品质特征），涉及人与社会、人与自己、人与工具。2022/12/13关于核心素养课程标准中的数学核心素养2022/12/85课程标准中的数学核心素养高中数学课程标准定义数学核心素养为：学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质。数学教育的终极目标（与人的行为有关）：会用数学的眼光观察现实世界会用数学的思维思考现实世界会用数学的语言表达现实世界数学眼光：数学抽象、直观想象；数学特征：数学的一般性数学思维：逻辑推理、数学运算；数学特征：数学的严谨性数学语言：数学模型、数据分析；数学特征：应用的广泛性2022/12/13课程标准中的数学核心素养高中数学课程标准定义数学核心素养为：86数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。逻辑推理指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。数学建模对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。直观想象指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。数学运算指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数据分析指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。2022/12/13数学指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主87张淑梅，何雅涵，保继光.

高中数学核心素养的统计分析[J].

《课程.教材.教法》2017(10)学生对六个核心素养的掌握情况有一定差异，但素养之间均具有显著的相关性，其中逻辑推理和数学运算的相关性最大，并且数学运算对逻辑推理的影响比逻辑推理对数学运算的影响更大。数学建模与数据分析的素养对其他四种数学素养的依赖程度明显大于其他四种素养对它们的依赖程度，说明数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算是基本数学素养。可以将数学素养分为三类：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算（基本数学素养）数学建模数据分析2022/12/13张淑梅，何雅涵，保继光.

高中数学核心素养的统计分析[J].88

喻平:从PME视角看数学核心素养及其培养[J]

.教育研究与评论

中学教育教学／2017(2)

通过大样本调查、因素分析和聚类分析，我们提出了数学核心素养的七种成分：数学抽象、推理能力、运算能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格。与专家组提出的数学核心素养成分相比，增加了数学文化和问题解决要素，合并了数学建模与数据分析要素。2022/12/13

喻平:从PME视角看数学核心素养及其培养[J]

.教育研究89喻平:数学核心素养特别需要说明的是，虽然建模与数据处理也是问题解决，但是它们只是问题解决中的一小部分；而数学交流能力、数学阅读能力、数学变换能力、数学应用能力、数学解题能力等都与问题解决相关，它们的公共因素就是问题解决，这是前面六种数学核心素养成分无法涵盖的。2022/12/13喻平:数学核心素养特别需要说明的是，虽然建模与9091数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是《标准》提出的“四基”之一，也是义务教育阶段学生应当达到的重要目标之一。数学基本思想是数学科学本质特征的反映，是数学科学的基石。史宁中认为：数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想。”数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学、理解和掌握数学所应追求和达成的目标。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。”2022/12/1331数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是《标准》提出的9192数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是统领整个数学和数学教育的思想，对于研究数学和学习数学的人都有重要指导意义。同样，数学基本思想对数学核心素养也是上位的具有指导性的。或者可以理解数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现。数学思想方法则是体现如何从操作层面上实现数学核心素养和体现数学基本思想的方法或能力。2022/12/1332数学核心素养与数学基本思想数学基本思想是统领整个数学和数92数学知识技能、思想方法和情感态度是数学核心素养发展的基础“四基”中的基础知识和基本技能对应着“三维目标”中的“知识与技能”维度；基本思想和基本活动经验对应着“三维目标”中的“过程与方法”维度。教师在“双基”教学基础上，通过融入基本思想和基本活动经验的教学，将更好地促进学生对基础知识和基本技能的理解、掌握和运用，更好感悟数学的基本思想，积累数学的基本活动经验，执迷数学的神奇与魅力，体会数学的价值，获得成功的体验，提高学习的兴趣，增强学习的信心，从而促进“三维目标”中“情感与态度”目标的达成而这几方面又密切联系、相互支撑，构成数学核心素养形成的物质基础和精神基础。2022/12/13数学知识技能、思想方法和情感态度是数学核心素养发展的基础2093

（一）培养学生的数学核心素养，必须依托素质为本的数学课程教材设计。

正在修订的高中数学课程标准已将教科书编写纳入其中，明确提出“感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养”等具体要求。二、数学核心素养的培养2022/12/13（一）培养学生的数学核心素养，必须依托素质为本的数94（二）培养学生的数学核心素养，需要教师帮助学生亲身经历数学化的过程，获得理解性掌握，在获知过程中提升数学核心素养。

学生只有亲身经历数学化活动，才能真正形成数学核心素养。“大胆猜想，小心论证”2022/12/13（二）培养学生的数学核心素养，需要教师帮助学生亲身经历数学化95数学思考是数学核心素养形成的关键

数学思考是促进数学知识技能、思想方法和情感态度进一步提升为数学素养的内因和必要条件。教师需要挖掘数学教学内容中的思维价值，尽可能在每一节课中，设计利于放大这些思维价值的数学活动，在数学教学过程中，通过学生的活动，将这种“思维形式”内化为自己的“思维习惯”。教师要善于设计好的问题作为活动进行的纽带，真正把学生的思维调动起来，从而达到通过数学教会学生思考的目的。2022/12/13数学思考是数学核心素养形成的关键

数学思考是促进数学知识技能96（三）知识教学与文化教学相结合第一，要正确认识知识与文化的关系。知识是部分，文化是整体，文化教育涵盖了知识教育，两者本身是没有矛盾的。第二，教育是以知识教育为核心的文化教育。数学史是体现数学文化的一个载体，教学中可以在适当的时候加入数学史的内容，表现数学事实发展的历程，彰显数学家的精神，揭示数学文化的内核。2022/12/13（三）知识教学与文化教学相结合第一，要正确认识知识与文化的97案例：椭圆的教学（汪晓勤）汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计:以椭圆为例[J].数学教育学报，2011(5)

王芳，汪晓勤.HPM视角下椭圆概念教学的意义[J].中学数学月刊，2012(4)

汪晓勤.椭圆方程之旅[J].数学通报，2013(4)

2022/12/13案例：椭圆的教学（汪晓勤）汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下98从历史上看，古希腊人先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆以及另两种圆锥曲线的。在阿波罗尼斯（Apollonius）之前，希腊人（如梅内克缪斯）利用垂直于母线的平面去截顶角分别为直角、钝角和锐角的圆锥，得直角圆锥曲线（即抛物线）、钝角圆锥曲线（双曲线）和锐角圆锥曲线（椭圆），圆锥曲线的基本性质是直接从圆锥上得到的。2022/12/13从历史上看，古希腊人先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆以及另两99阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中则将同一个斜圆锥被不同位置的平面所截得的曲线定义为圆锥曲线，阿波罗尼斯同样直接从斜圆锥上得到圆锥曲线的基本性质，其中椭圆的基本性质是：若从椭圆上任一点P向直径AB引垂线，垂足为Q，则为常数（如图）。2022/12/13阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中则将同一个斜圆锥被不同位置的平面所10017世纪，笛卡儿（Descartes）《几何学》对圆锥曲线方程的研究导致人们对圆锥曲线画法的探求．法国数学家舒腾（Schooten）给出了椭圆的3种作图工具，其中一种即利用了焦半径之和为常数的性质，如图所示。

2022/12/1317世纪，笛卡儿（Descartes）《几何学》对圆锥曲线101法国数学家洛必达（Hospital）在《圆锥曲线分析》中抛弃了古希腊人的定义方法，将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹，据此推导椭圆的方程．直到1822年，比利时数学家旦德林（Dandelin）在一篇论文中才利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上导出椭圆的焦半径性质，从而在古希腊的截线定义和17世纪的轨迹定义（现称椭圆的第一定义）之间架设起一座桥梁．根据上面的历史考察，椭圆的历史大致可以分成椭圆的发现——截线定义的形成——基本性质的推导——2022/12/13法国数学家洛必达（Hospital）在《圆锥曲线分析》中抛弃102焦半径性质的获得——机械作图的产生——轨迹定义的确立——椭圆方程的推导等7个重要环节。教材通常只截取了最后3个环节，尽管这样的处理方式相当简洁，但对照发生教学方法，它存在如下不足：（1）没有交待为什么我们要研究椭圆，因而未能让学生产生足够的学习动机；（2）没有将椭圆概念建立在学生已有的知识基础之上，椭圆的引入相当突兀，学生几乎未能感受到椭圆知识的形成过程；（3）没有体现数学文化元素，消解了文化色彩而呈现出数学冰冷的一面。2022/12/13焦半径性质的获得——机械作图的产生——轨迹定义的确立——椭圆103教学设计2022/12/13教学设计2022/12/121042022/12/132022/12/12105由于高中生已经有相当丰富的现实生活经验，可以设计几个现实生活中遇到的问题来引入椭圆概念。2022/12/132022/12/12106首先，让学生回顾切线长定理，并提出如下问题：（1）问题1：过球外一点，可作出球的多少条切线？切线长有什么