物理奥赛(力学守恒律)课件

奥赛典型例题分析(力学守恒律)1奥赛典型例题分析(力学守恒律)1图1F1.如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆环，此圆环的内外半径几乎相同，现把这圆环固定在竖直平面，一小球原来位于环中最低处，小球在拉力F作用下以匀速率v沿圆环从最低点运动到最高点，拉力F的方向始终沿圆环的切线方向，若小球与管内外壁的摩擦因数为μ，管内内壁光滑，试求小球沿圆环从最低点到最高点过程中，拉力F所做的功.（小球的质量为m，拉力F的大小未知）2图1F1.如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆2.如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h=2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.图2QP32.如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为3.足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁下沿飞进球门.设横梁下沿离地面的高度h=2.5m，足球的质量为m=0.5kg，不计空气阻力，那么运动员必须传递给这个足球的最小能量是多少？43.足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁4.如图3所示，四个质量都是m的质点，用同样长的不可伸长的细线连结成一菱形ABCD，静止地放在水平光滑的桌面上，若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束时刻，质点A的速度为v，其它质点也同时获得一定的速度，试求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量.图3vDCBA●●●●54.如图3所示，四个质量都是m的质点，用同样长的不可伸长5.如图4所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上下运动，物体正下方放置一个轻弹簧，物体与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是,现在物体在距离弹簧为d高度处由静止开始下落，试求：（1）物体下落达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系.（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系.图4BAdm65.如图4所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上6.如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动，以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦系数为μ，求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.θS0v0图576.如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚7.如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木板，A的左端与B的右端相接触，两板的质量都是M＝2kg，长度都是l=1m，C是一质量为m=1kg的小物体，现给它一初速度v0＝2m/s，使它从B板的左端开始向右滑动，已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数都是μ＝0.1，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动，取g＝10m/s2.图6CABv087.如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木8.如图7所示，在长为l=1m，质量为mB=30kg的车厢B内的右壁处，放一质量为mA=20kg的小物块A（可视为质点）.向右的水平力F＝120N作用于车厢B，使之从静止开始运动，测得车厢B在最初2s内移动的距离为S=5m，且在这段时间内小物块A未与车厢壁发生过碰撞.假定车厢与地面的摩擦可忽略不计，小物块A与车厢壁的碰撞是弹性碰撞，求车厢开始运动后4s时车厢和小物块的速度.ABF图798.如图7所示，在长为l=1m，质量为mB=30kg的车厢9.如图8所示，长为l、线密度为λ的链条由图示位置（底端距离地面为h）从静止开始下落，试求链条落下过程中地面对链条的支持力.假设落到地面处的那部分链条速度马上变为零.lh图8109.如图8所示，长为l、线密度为λ的链条由图示位置（底端距图9●aH10.质量足够大的长木板从t＝0时刻开始在水平方向上自静止出发朝右作匀加速运动，加速度大小为a，在板上方H高度处有一静止小球，如图9所示.在t＝0时刻小球自由落下，而后与板发生碰撞.设小球与平板接触时的滑动摩擦系数μ＝0.1，小球反弹高度也是H，将小球反弹离开平板时相对地面参考系的速度方向与朝右的水平方向的夹角记为β，试求tgβ与a的关系，并作tgβ－a曲线.11图9●aH10.质量足够大的长木板从t＝0时刻开始在水平方11.质量都是m的两质点A和B用长为2l的不可伸长的轻绳连接，开始时A、B位于同一竖直线上，且离地足够远，B在A的下方l处，在给A以一水平速度v0的同时，由静止释放B，问经过多长时间后，A与B第一次恰好位于同一水平线上?1211.质量都是m的两质点A和B用长为2l的不可伸长的轻绳连接12.在水平地面上一质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速度v0沿与水平面成α角的方向向前跳跃，为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出，物块抛出时相对运动员的速度大小u是给定的，物块和运动员都在同一竖直平面内运动.(1)若运动员在跳远全过程中的某一时刻t0，沿与水平向后方向成某θ角的方向抛出物块，试求运动员从起跳到落地所经历的时间.(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿水平向后方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，那么在什么条件下可跳得更远？并求出运动员跳的最大距离.1312.在水平地面上一质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以13.长为2l的轻绳两端各系有一质量为m的弹性小球，中点处系有质量为M的弹性小球，三球成一直线静止于光滑水平面上，绳处于伸直状态，现对小球M施加一水平冲力，使其获得与绳垂直的初速度v0，（1）试求两小球m相碰时绳中的张力T；（2）若从小球M开始运动到两小球m相碰历时为t，求在此期间小球M经过的距离SM；（3）试求当三小球再次在同一直线上时，绳子的张力；（4）试求运动过程中，小球m的最大动能和这时两段绳子的夹角.1413.长为2l的轻绳两端各系有一质量为m的弹性小球，中点处系14.如图10所示，一柔软绳子总长度为l，它从静止出发由高度为H的光滑平台沿光滑的斜面滑下，全部进入光滑水平面后，再经一半径为R的固定在竖直平面内的光滑圆环，l>2πR，欲使绳子能全部通过圆环，平台的高度H至少多高？图10RH1514.如图10所示，一柔软绳子总长度为l，它从静止出发由高15.质量都是m的三个小球置于光滑的水平桌面上，并用长度都为l的轻刚性杆连接，如图11所示，整个系统以速度v沿AB方向运动，运动方向与BC成α角，当小球C与桌上垂直AB的竖直、光滑完全非弹性固定壁相碰撞时，试求此壁所受到冲量的大小.图11αABClv●●●l1615.质量都是m的三个小球置于光滑的水平桌面上，并用长度都为16.如图12所示，A是一个质量为M、半径为R的均匀球体，O是其球心.在离球心O很远的O′点附近有一质点，它以v0的初速度沿与O′O平行的方向射向球A，以l表示质点与O′O线的垂直距离，要使这质点能够与球A的表面相碰，试求l的最大值.图12m

OM·v0AO′l1716.如图12所示，A是一个质量为M、半径为R的均匀球体，O17.从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径Rm是地球轨道半径Re的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球的引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上.问：（1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星，必须加速探测器，使之在地球附近获得多大的速度（相对地球）？（2）当探测器脱离并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60º(火星在前，探测器在后)，那么应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器刚好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日）已知地球半径为R=6.4×106m，重力加速度取g=9.8m/s2.

1817.从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平19.利用天文望远镜作长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以作孤立系统处理.现根据某一双星系统的光度学测量，该系统的每个星体的质量都是M，两者的距离为L，它们正在绕系统的质心做圆周运动.(1)试计算双星系统的运动周期T1.(2)若实际上观测到运动周期为T2，且T2∶T1＝1∶（N>1），为了解释T2与T1的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假设在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果，确定该星系间暗物质的密度.

1919.利用天文望远镜作长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双例1解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功.但可利用动能定理来求.图1FAB对于小球从A→B过程，据动能定理得故其中重力的功为因为摩擦力是变力，所以，本题的关键是如何求出摩擦力的功Af.下面利用对称性来求.O如图所示，当小球运动到θ角位置时，有20例1解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功.但可利O图1FAB故当N>0时，表示小球与环外壁接触，且受到环外壁的支持力作用,因外壁粗糙，那么此时小球就会受到摩擦力的作用；而N<0时，表示小球与环内壁接触，且受到环内壁的支持力作用,但内壁光滑，那么此时小球就没有摩擦力的作用.显然，当θ是钝角时，就有可能使得N<0.下面就此进行一些讨论.(1)若，则当时，N>0，小球与环外壁接触，且受到受到摩擦力的作用.21O图1FAB故当N>0时，表示小球与环外壁接触，且受到环外壁O图1FAB是临界角.如图1所示，小球从A运动到C的过程，与环外壁接触，有摩擦力作用；从C运动到B的过程，小球与环内壁接触，无摩擦力作用.在C点处，N＝0.为计算摩擦力的功，考察一微小过程（如图2所示）.图2此过程摩擦力的功为22O图1FAB是临界角.如图1所示，小球从A运动到C的过程，与图2O图1FAB因为C点到y轴的距离为所以，从A→C过程有从C→B过程没有摩擦力.所以，从A→B过程拉力F的功为23图2O图1FAB因为C点到y轴的距离为所以，从A→C过程有从(2)若，则不存在N＝0的临界点，小球始终与环外壁接触，且始终受到摩擦力的作用.故有图1FAB于是，从A到B过程，拉力F做的功为24(2)若，则不存在N＝0的临界例2解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:图1QPhPQTPTQ图2人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移∆L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元∆L从P点移到Q点，链条的势能减少了.据功能原理有又所以25例2解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称例3解：xyohL图1如图1所示，据勾股定理得经整理得因为是一正恒量当时，有最小值.26例3解：xyohL图1如图1所示，据勾股定理得经整理得因所以，运动员传递给这个足球的最小能量为27所以，运动员传递给这个足球的最小能量为27v●●●●ABDC图2例4解：图1v●●●●ABDC由对称性可知，B、C、D质点的速度有如下规律(如图2所示)：C的速度必沿CA方向，vB1=vD1,vB2=vD2.因为绳子不可伸长，所以必有各对应质点沿相连的绳子方向的速度必须相等.又设各条绳子给质点的冲量如图2所示.那么据动量定理有28v●●●●ABDC图2例4解：图1v●●●●ABDC由对由以上5个方程可解得v●●●●ABDC图229由以上5个方程可解得v●●●●ABDC图229于是系统的总动量大小为方向沿CA方向系统的总动能为v●●●●ABDC图230于是系统的总动量大小为方向沿CA方向系统的总动能为v●●●●例5解：图1BAdm物体m的运动可分为三个过程：加速下落距离d→压缩弹簧变加速下落至停止→反弹向上运动.由于弹簧的k值未知，所以，物体m到达最低位置后的运动存在以下三种可能性：第一种：不能弹回；第二种：弹回后弹簧仍被压缩；第三种：弹回后能脱离弹簧.下面就这三种可能性来讨论k的取值范围:设m运动到最低位置时，弹簧的压缩量为s，则据功能原理有31例5解：图1BAdm物体m的运动可分为三个过程：加速下落图1BAdm图2BAdms由此解得显然，m下落停止后回弹的条件是即故讨论:(1)当时，m不能弹回.此时，代入(2)式可得：→m不能弹回的条件.32图1BAdm图2BAdms由此解得显然，m下落停止后m不能弹回(2)显然，当时，m可以回弹.图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1①若m反弹至速度为零时，弹簧仍被压缩.设此时压缩量为s1(如图3所示),由功能关系得33m不能弹回(2)显然，当时图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1把(2)式代入可得34图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1把(2)式代入图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1反弹高度为这时应满足s1≥0，否则m将脱离弹簧.35图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1反弹高度为这时由s1≥0可得m不能弹回由此可知，当时，m反弹，且反弹结束时，弹簧的压缩量为s1.m回弹后弹簧仍有的压缩量②当时，s1<0，弹簧被拉长，不合理.这其实表示在这条件下，弹簧恢复原长后，m将脱离弹簧继续向上运动.设m上升到距离弹簧自由端为s2时才静止，如图4所示.于是据功能关系有36由s1≥0可得m不能弹回由此可知，当图1BAdm图2BAdms由此式及(1)式可得把(2)代入得m的反弹高度h2为图4ds2BAmh237图1BAdm图2BAdms由此式及(1)式可得把(2)代入得图1BAdm图2BAdms图4ds2BAmh2当时，反弹高度当时，反弹高度（此时）38图1BAdm图2BAdms图4ds2BAmh2当例6解：θv0S0xyo建立xoy坐标系，如图所示.B人以θ起跳，经时间t，其重心由O到达B，此时速度为v.则有重心升高为在B处用脚蹬墙，利用最大静摩擦力的冲量可使人的向上动量增加：而正压力的冲量恰好使人的水平分动量变为零.39例6解：θv0S0xyo建立xoy坐标系，如图所示.B人xyoθv0S0B由(2)、(3)式可得蹬墙结束时，人的重心的竖直向上的速度为于是，人以此为初速度继续升高40xyoθv0S0B由(2)、(3)式可得蹬墙结束时，人的重心整个过程，人的重心的总升高为因为从O到B，所用时间t为故在B点处有41整个过程，人的重心的总升高为因为从O到B，所用时间t为故在B由以上两式可得令可得42由以上两式可得令可得42显然，当时，H最大，因此起跳角为43显然，当时，H最大例7解：图1CABv0小物块m最终有三种可能性：停在B板上，停在A板上，从A板右端滑出.(1)设m最终停在B板上，其在B板上滑行距离为x，最后A、B、C三者的共同速度为v.据动量守恒定律及功能关系得解得x=1.6m>l=1.0m由此可知，m不可能停在B板上.44例7解：图1CABv0小物块m最终有三种可能性：停在B板(2)设m刚好滑到A板时的速度为v1，A、B板的共同速度为v2.据动量守恒定律及功能关系得由这两式并代入数据可得由此可见，m进入A板后，将继续在A板上滑行.45(2)设m刚好滑到A板时的速度为v1，A、B板的共同速度为v(3)设m最终停在A板上，它在A板上滑行距离为y,A、C的共同速度为v3.据动量守恒定律及功能关系得由这两式并代入数据可得所以，物块C最终停在A板上，与A板一起向前滑行，两者的共同速度约为0.563m/s，而B板向前滑行的速度约为0.155m/s.46(3)设m最终停在A板上，它在A板上滑行距离为y,A、C的例8解：ABF图1先判断A与B之间是否存在摩擦.依题意，在T0=2s内A与B未发生过碰撞，因此不论A与B之间是否有相对运动，不论A与B是否有摩擦，B总是作初速度为零的匀加速直线运动（因为即使有摩擦力存在，也是恒力）.设B的加速度为aB1,有由此得若A与B无摩擦，则车B向右运动5m的过程中，A应该保持静止，从而A与B必发生碰撞，但这不符合题意.又若A与B之间的摩擦力足够大，使得A与B之间无相对运动，则B的加速度应为47例8解：ABF图1先判断A与B之间是否存在摩擦.依题意，ABF图1但这与(1)式矛盾.故A与B之间有摩擦，但又存在相对运动.以f表示A与B之间的摩擦力大小,则对车B有代入数据可求得物块A会不断地与车壁相碰.(1)A相对B向左滑动时，A的加速度大小为方向向右48ABF图1但这与(1)式矛盾.故A与B之间有摩擦，ABF图1B的加速度大小为方向向右A相对B的加速度大小为方向向左(2)A相对B向右滑动时，A的加速度大小为方向向左B的加速度大小为方向向右A相对B的加速度大小为方向向左49ABF图1B的加速度大小为方向向右A相对B的加速度大小为方向以B为参考系，A的运动如图2所形象表示.ABF图1…l1234图2A先由初速度为零，向车B左壁做加速度为a1的匀加速运动，并与左壁发生第一次碰撞.由于碰撞是弹性的，故碰后A以原来的速率弹回，并以加速度a2向右做匀减速运动，速度减为零后，又接着以以加速度a1向左做匀加速运动，从而与B左壁作第二次碰撞，余此类推，以后A相对B做类似的运动.由于a2>a1,所以A每次与B左壁碰撞后，离开左壁的最大距离呈递减变化,故A不会与B的右壁相碰.50以B为参考系，A的运动如图2所形象表示.ABF图1…l123…l1234图2设A第1、2、3…n次与B左壁相碰后相对B的速度大小分别为v1、v2、v3…vn，则有又设A与B左壁第1次碰撞后，离开左壁的最大距离为d1,则有由此解得同法可求得51…l1234图2设A第1、2、3…n次与B左壁相…l1234图2从理论上讲，A将与B左壁发生无限多次碰撞，最终A将停在B的左壁处.A从开始运动到最终停在B的左壁处所用的时间为52…l1234图2从理论上讲，A将与B左壁发生无限多次…l1234图2把代入可求得这表明t=4s时，A与B已具有相同速度，设这共同速度为v，则由动量定理得代入数据可求得53…l1234图2把代入可求得这表明t=4s时，A与B例9解：lh图1用密舍尔斯基方程求解设时间t时链条上端的坐标为x，如图2所示.图2xOx此时，空中那部分链条的速度为以已落在地面上的那部分链条为主体，它将在∆t时间内俘获∆m的质量.地面上的那部分链条的质量为，它受到重力、地面支持力N的作用，忽略∆m的重力.因为地面那部分链条始终静止。没有加速度和速度.据密舍尔斯基方程得54例9解：lh图1用密舍尔斯基方程求解设时间t时链条上端的图2xOx由以上三式可解得显然，当全部链条刚落到地面时，x=0，此时N最大.55图2xOx由以上三式可解得显然，当全部链条刚落到地面时，x=方法2：用质心运动定理图2xOx以整条链条为研究对象，其总长为l，质量为m.因t时刻，地面上链条的质量为，坐标为0.空中那部分链条的质量为

,质心坐标为所以整条链条的质心坐标为于是，质心速度为56方法2：用质心运动定理图2xOx以整条链条为研究对象，其总长图2xOx质心加速度为因为故据质心运动定理有由以上两式可解得57图2xOx质心加速度为因为故据质心运动定理有由以上两式可解得图1●aH例10解：小球在时刻以速度与平板相碰，此时平板向右的水平速度为在小球与平板接触过程中，平板对小球的平均支持力为，平均摩擦力为,平均支持力作用时间为∆tN，平均摩擦力力作用时间为∆tf.因反弹后小球的反弹高度仍为H，故碰撞后小球竖直方向的速度大小为,设碰撞后小球的水平速度为v//，则有58图1●aH例10解：小球在(1)设，则有由(1)、(3)式可得因为成立的条件是，即或那么，此时有图259(1)设，则有(2)设显然当时，若仍假定,这就必然会导致，这是不合理的，因此当时,必然有，而且有此时，综上所述，本题的解为60(2)设显然当例11解：xyoABA1B1A2A被水平抛出后做平抛运动，B释放后做自由落体运动.当连接两质点的绳刚拉直时，设绳与竖直方向成θ角，如图所示.因在绳子拉直前，A、B两质点在竖直方向运动的距离是相等的，故A2B1=l，因此θ＝60°.在绳子拉紧过程中，A、B之间发生相互作用，系统动量守恒.由于在绳子拉直前，A、B两质点在竖直方向的速度相等，故在以此速度运动的参考系中，A的速度为v0,B则静止.设相对这一参考系，绳子拉紧后A、B的速度分别为和，据动量守恒得式中方向沿绳子，这因为绳子对B的作用力沿绳子，而方向未知.61例11解：xyoABA1B1A2A被水平抛出后做平抛运动把上式沿绳子方向和垂直绳子方向的投影式分别为xyoABA1B1A2因绳子不可伸长，故由以上三式可解得绳子拉紧后，A相对B做圆周运动，速度为，角速度为62把上式沿绳子方向和垂直绳子方向的投影式分别为xyoABA1BxyoABA1B1A2当直线AB转过∆θ＝30°时，A、B位于同一水平线，所经历时间为设自释放B到绳子拉直经历时间为t1,有由此得由释放B到A、B位于同一水平线上共经历的时间为63xyoABA1B1A2当直线AB转过∆θ＝30°时，A、B位例12解：系统质心C做斜抛运动,如图所示，当运动员M落地时即落到x轴上时，若无大地，则系统质心C和小物块m分别落到图中所示位置.MxyS0αθv0OmCP设在t0时刻运动员在P处抛出物块，以运动员为参考系，物块做匀速直线运动，相对速度大小为u.又设运动员落地时，运动员与物块的连线长度为S0，与x轴的夹角为θ.那么质心C与运动员之间的距离为设运动员从起跳到落地所经历的时间为t，由相对运动速度可得64例12解：系统质心C做斜抛运动,如图所示，当运动员M落地MxyS0αθv0OmCP对质心C，据斜抛运动规律得运动员落地处x坐标为由(1)、(2)式得此方程的解为65MxyS0αθv0OmCP对质心C，据斜抛运动规律得运动员落下面讨论应取哪一个解.设在刚抛出物块后瞬间，运动员的速度v的竖直分量的大小为vPy，物块相对运动员的速度u的竖直分量的大小为uy=usinθ,方向沿y轴负方向.据动量守恒定律得解得于是可求出运动员从起跳到最高点所需时间为因为必然有66下面讨论应取哪一个解.设在刚抛出物块后瞬间，运动员的速度v的所以t的解应为由(1)、(3)式可解得所以，当t0=0时，xM有最大值.把t值代入可得此最大值为67所以t的解应为由(1)、(3)式可解得所以，当t0=0时，x若即时，xM有最大值这表明运动员应沿与x轴成45°方向起跳，且跳起后立刻沿与x轴成45°斜向下方向抛出物块，则运动员跳的距离最大，为68若即例13解：MmmACB(1)设两小球m碰撞前小球M的速度为vy,由于绳子长度不变，因此小球m沿绳方向的速度分量也为vy,而垂直绳子方向的速度分量设为vx,由动量守恒和机械能守恒可得由这两式可解得设这时M相对桌面的加速度为aM，则有图1aM的方向与y轴的正方向相反.69例13解：MmmACB(1)设两小球m碰撞前小球M的速度为以小球M为参考系，小球m以速度vx绕M做圆周运动.由于小球m除了受绳子拉力T作用外，还受与T同向的惯性力maM的作用，，故有把(3)、(4)式代入可解得：(2)由于系统沿水平方向不受外力作用，故其质心沿M运动方向做匀速直线运动，初速度为vC70以小球M为参考系，小球m以速度vx绕M做圆周运动.在时间t内质心经过的距离为设两小球m相碰时质心与M的距离为yC,则有在时间t内小球M经过的距离为71在时间t内质心经过的距离为设两小球m相碰时质心与M的距离为y(3)如图2所示，当三个小球再次位于同一水平线上时，据动量守恒得MmmACB图2又据机械能守恒得由上面两式可解得72(3)如图2所示，当三个小球再次位于同一水平线上时，据动量守因这时小球M的加速度为零，以M为参考系(惯性系)，小球m相对小球M的速度为；那么这时绳子的张力F为(4)显然，当小球M的速度为零时，小球m的速度最大，动能也就最大.此时有图3由此可解得小球m的速度最大动能及两绳子之间的夹角θ分别为73因这时小球M的加速度为零，以M为参考系(惯性系)，小球m相对H图1R例14解因为,所以软绳能充满整个圆形轨道.这时软绳的重力势能为式中M表示软绳的总质量.设这时软绳的速率为v.则由机械能守恒定律得TT图2取圆形轨道顶点附近的一软绳微元段，如图2所示，考虑轨道对它无压力这一临界情况,这微元受力情况如图2所示.由向心力公式得74H图1R例14解因为,所以TT图2因很小，所以，于是有T图3如图3所示，选图中所示的一段软绳作研究对象，设前面软绳对它的拉力为T.设想力T使它移动了一很小的距离，那么T的功等于这段软绳的重力势能的增加.于是有由以上各式可解得75TT图2因很小，所以，于是有T图3如例15解图1αlABCv●●●lx方向：y方向：因杆不可伸长，所以有因为墙壁对系统(即对C)的冲力过C点，所以对C轴，系统角动量守恒.故有由以上四个方程可解得墙壁对系统(即对C)的冲量为据牛顿第三定律可知墙壁受到的冲量大小也是此值.设碰后瞬间三个小球的速度如图所示,据动量定理得xyI76例15解图1αlABCv●●●lx方向：y方向：因杆不可图1m

v0lOM·A例16解：质点的速度v的方向刚好与球面相切(如图2所示)，由于质点所受球A的万有引力既是保守力，也是有心力，所以质点在运动中，质点和球A组成的系统机械能守恒，设质点的质量为m，有：所求的l的最大值lmax

对应于ml

v0OA图2由以上两式可得：77图1mv0lOM·A例16解：质点的速度v的方向刚好与球例17解：(1)设地球的质量为Me,探测器及其附加装置的质量为m，则探测器在地球表面处时的动能和引力势能分别是当探测器脱离地球的引力作用成为沿地球轨道运动的人造行星时，可以认为探测器的引力势能为零，相对地球的速度为零,即相对地球动能为零.据机械能守恒定律可得由此解得78例17解：(1)设地球的质量为Me,探测器及其附加装置的探测器火星日图1(2)为了使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的火箭发动机，使探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点，如图1所示，而且火星这时也恰好也到达这一点.为此，必须首先确定点燃探测器上的火箭发动机时探测器与火星的相对位置，已知探测器在地球公转轨道上运行周期与地球公转周期相同，为据开普勒第三定律可得火星的公转周期为79探测器火星日图1(2)为了使探测器落到火星上，必须选择适当探测器火星日图1探测器的椭圆轨道的半长轴为所以由开普勒第三定律可得探测器的运行周期为因此，探测器由点燃发动机到抵达火星需时间为探测器在点燃发动机前绕太阳转动的角速度为80探测器火星日图1探测器的椭圆轨道的半长轴为所以由开普火星绕太阳转动的角速度为由于探测器运行至火星需时间t=255d,那么火星在这期间运行的角距离为这表明探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点前137°，亦即点燃火箭发动机时，探测器与火星的角距离为θ＝43°，如图2所示.图中A点表示火箭点火时探测器所在位置，B点表示火箭点火时火星所在位置，C点表示探测器与火星同时到达的位置.图2探测器火星日ABC81火星绕太阳转动的角速度为由于探测器运行至火星需时间日火星探测器图3已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为60°，如图3所示，火星在前，探测器在后，为使其角距离变为43°，必须等待两者在各自轨道上运行到某个合适的时日.设两者到达合适位置，探测器又经历的天数为，则由此解得故点燃发动机的时刻应为当年的3月1日之后38天，即同年的4月7日.82日火星探测器图3已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为6例18解：MO•L/2L/2M图1(1)双星绕它们的质心O做圆周运动，如图1所示.设运动速率都为v1,则有故周期为(2)根据观察结果，星体运动周期为83例18解：MO•L/2L/2M图1(1)双星绕它们的质心这说明双星系统中受到的向心力大于本身引力，所以一定还受到其他指向中心的作用力.按题意这一作用力来源于均匀分布的暗物质.均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用，与一质量等于球内暗物质的总质量位于球心处的质点相同.考虑暗物质作用后，双星的速度即为观察到的速度，则有由此得因轨道一定时，周期与速度成反比，故有84这说明双星系统中受到的向心力大于本身引力，所以一定还受到其他把(2)、(6)式代入(7)式得设所求暗物质的密度为ρ，则有由此解得85把(2)、(6)式代入(7)式得设所求暗物质的密度为ρ，则有奥赛典型例题分析(力学守恒律)86奥赛典型例题分析(力学守恒律)1图1F1.如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆环，此圆环的内外半径几乎相同，现把这圆环固定在竖直平面，一小球原来位于环中最低处，小球在拉力F作用下以匀速率v沿圆环从最低点运动到最高点，拉力F的方向始终沿圆环的切线方向，若小球与管内外壁的摩擦因数为μ，管内内壁光滑，试求小球沿圆环从最低点到最高点过程中，拉力F所做的功.（小球的质量为m，拉力F的大小未知）87图1F1.如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆2.如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h=2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.图2QP882.如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为3.足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁下沿飞进球门.设横梁下沿离地面的高度h=2.5m，足球的质量为m=0.5kg，不计空气阻力，那么运动员必须传递给这个足球的最小能量是多少？893.足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁4.如图3所示，四个质量都是m的质点，用同样长的不可伸长的细线连结成一菱形ABCD，静止地放在水平光滑的桌面上，若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束时刻，质点A的速度为v，其它质点也同时获得一定的速度，试求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量.图3vDCBA●●●●904.如图3所示，四个质量都是m的质点，用同样长的不可伸长5.如图4所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上下运动，物体正下方放置一个轻弹簧，物体与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是,现在物体在距离弹簧为d高度处由静止开始下落，试求：（1）物体下落达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系.（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系.图4BAdm915.如图4所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上6.如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动，以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦系数为μ，求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.θS0v0图5926.如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚7.如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木板，A的左端与B的右端相接触，两板的质量都是M＝2kg，长度都是l=1m，C是一质量为m=1kg的小物体，现给它一初速度v0＝2m/s，使它从B板的左端开始向右滑动，已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数都是μ＝0.1，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动，取g＝10m/s2.图6CABv0937.如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木8.如图7所示，在长为l=1m，质量为mB=30kg的车厢B内的右壁处，放一质量为mA=20kg的小物块A（可视为质点）.向右的水平力F＝120N作用于车厢B，使之从静止开始运动，测得车厢B在最初2s内移动的距离为S=5m，且在这段时间内小物块A未与车厢壁发生过碰撞.假定车厢与地面的摩擦可忽略不计，小物块A与车厢壁的碰撞是弹性碰撞，求车厢开始运动后4s时车厢和小物块的速度.ABF图7948.如图7所示，在长为l=1m，质量为mB=30kg的车厢9.如图8所示，长为l、线密度为λ的链条由图示位置（底端距离地面为h）从静止开始下落，试求链条落下过程中地面对链条的支持力.假设落到地面处的那部分链条速度马上变为零.lh图8959.如图8所示，长为l、线密度为λ的链条由图示位置（底端距图9●aH10.质量足够大的长木板从t＝0时刻开始在水平方向上自静止出发朝右作匀加速运动，加速度大小为a，在板上方H高度处有一静止小球，如图9所示.在t＝0时刻小球自由落下，而后与板发生碰撞.设小球与平板接触时的滑动摩擦系数μ＝0.1，小球反弹高度也是H，将小球反弹离开平板时相对地面参考系的速度方向与朝右的水平方向的夹角记为β，试求tgβ与a的关系，并作tgβ－a曲线.96图9●aH10.质量足够大的长木板从t＝0时刻开始在水平方11.质量都是m的两质点A和B用长为2l的不可伸长的轻绳连接，开始时A、B位于同一竖直线上，且离地足够远，B在A的下方l处，在给A以一水平速度v0的同时，由静止释放B，问经过多长时间后，A与B第一次恰好位于同一水平线上?9711.质量都是m的两质点A和B用长为2l的不可伸长的轻绳连接12.在水平地面上一质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速度v0沿与水平面成α角的方向向前跳跃，为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出，物块抛出时相对运动员的速度大小u是给定的，物块和运动员都在同一竖直平面内运动.(1)若运动员在跳远全过程中的某一时刻t0，沿与水平向后方向成某θ角的方向抛出物块，试求运动员从起跳到落地所经历的时间.(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿水平向后方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，那么在什么条件下可跳得更远？并求出运动员跳的最大距离.9812.在水平地面上一质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以13.长为2l的轻绳两端各系有一质量为m的弹性小球，中点处系有质量为M的弹性小球，三球成一直线静止于光滑水平面上，绳处于伸直状态，现对小球M施加一水平冲力，使其获得与绳垂直的初速度v0，（1）试求两小球m相碰时绳中的张力T；（2）若从小球M开始运动到两小球m相碰历时为t，求在此期间小球M经过的距离SM；（3）试求当三小球再次在同一直线上时，绳子的张力；（4）试求运动过程中，小球m的最大动能和这时两段绳子的夹角.9913.长为2l的轻绳两端各系有一质量为m的弹性小球，中点处系14.如图10所示，一柔软绳子总长度为l，它从静止出发由高度为H的光滑平台沿光滑的斜面滑下，全部进入光滑水平面后，再经一半径为R的固定在竖直平面内的光滑圆环，l>2πR，欲使绳子能全部通过圆环，平台的高度H至少多高？图10RH10014.如图10所示，一柔软绳子总长度为l，它从静止出发由高15.质量都是m的三个小球置于光滑的水平桌面上，并用长度都为l的轻刚性杆连接，如图11所示，整个系统以速度v沿AB方向运动，运动方向与BC成α角，当小球C与桌上垂直AB的竖直、光滑完全非弹性固定壁相碰撞时，试求此壁所受到冲量的大小.图11αABClv●●●l10115.质量都是m的三个小球置于光滑的水平桌面上，并用长度都为16.如图12所示，A是一个质量为M、半径为R的均匀球体，O是其球心.在离球心O很远的O′点附近有一质点，它以v0的初速度沿与O′O平行的方向射向球A，以l表示质点与O′O线的垂直距离，要使这质点能够与球A的表面相碰，试求l的最大值.图12m

OM·v0AO′l10216.如图12所示，A是一个质量为M、半径为R的均匀球体，O17.从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径Rm是地球轨道半径Re的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球的引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上.问：（1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星，必须加速探测器，使之在地球附近获得多大的速度（相对地球）？（2）当探测器脱离并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60º(火星在前，探测器在后)，那么应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器刚好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日）已知地球半径为R=6.4×106m，重力加速度取g=9.8m/s2.

10317.从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平19.利用天文望远镜作长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以作孤立系统处理.现根据某一双星系统的光度学测量，该系统的每个星体的质量都是M，两者的距离为L，它们正在绕系统的质心做圆周运动.(1)试计算双星系统的运动周期T1.(2)若实际上观测到运动周期为T2，且T2∶T1＝1∶（N>1），为了解释T2与T1的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假设在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果，确定该星系间暗物质的密度.

10419.利用天文望远镜作长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双例1解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功.但可利用动能定理来求.图1FAB对于小球从A→B过程，据动能定理得故其中重力的功为因为摩擦力是变力，所以，本题的关键是如何求出摩擦力的功Af.下面利用对称性来求.O如图所示，当小球运动到θ角位置时，有105例1解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功.但可利O图1FAB故当N>0时，表示小球与环外壁接触，且受到环外壁的支持力作用,因外壁粗糙，那么此时小球就会受到摩擦力的作用；而N<0时，表示小球与环内壁接触，且受到环内壁的支持力作用,但内壁光滑，那么此时小球就没有摩擦力的作用.显然，当θ是钝角时，就有可能使得N<0.下面就此进行一些讨论.(1)若，则当时，N>0，小球与环外壁接触，且受到受到摩擦力的作用.106O图1FAB故当N>0时，表示小球与环外壁接触，且受到环外壁O图1FAB是临界角.如图1所示，小球从A运动到C的过程，与环外壁接触，有摩擦力作用；从C运动到B的过程，小球与环内壁接触，无摩擦力作用.在C点处，N＝0.为计算摩擦力的功，考察一微小过程（如图2所示）.图2此过程摩擦力的功为107O图1FAB是临界角.如图1所示，小球从A运动到C的过程，与图2O图1FAB因为C点到y轴的距离为所以，从A→C过程有从C→B过程没有摩擦力.所以，从A→B过程拉力F的功为108图2O图1FAB因为C点到y轴的距离为所以，从A→C过程有从(2)若，则不存在N＝0的临界点，小球始终与环外壁接触，且始终受到摩擦力的作用.故有图1FAB于是，从A到B过程，拉力F做的功为109(2)若，则不存在N＝0的临界例2解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:图1QPhPQTPTQ图2人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移∆L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元∆L从P点移到Q点，链条的势能减少了.据功能原理有又所以110例2解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称例3解：xyohL图1如图1所示，据勾股定理得经整理得因为是一正恒量当时，有最小值.111例3解：xyohL图1如图1所示，据勾股定理得经整理得因所以，运动员传递给这个足球的最小能量为112所以，运动员传递给这个足球的最小能量为27v●●●●ABDC图2例4解：图1v●●●●ABDC由对称性可知，B、C、D质点的速度有如下规律(如图2所示)：C的速度必沿CA方向，vB1=vD1,vB2=vD2.因为绳子不可伸长，所以必有各对应质点沿相连的绳子方向的速度必须相等.又设各条绳子给质点的冲量如图2所示.那么据动量定理有113v●●●●ABDC图2例4解：图1v●●●●ABDC由对由以上5个方程可解得v●●●●ABDC图2114由以上5个方程可解得v●●●●ABDC图229于是系统的总动量大小为方向沿CA方向系统的总动能为v●●●●ABDC图2115于是系统的总动量大小为方向沿CA方向系统的总动能为v●●●●例5解：图1BAdm物体m的运动可分为三个过程：加速下落距离d→压缩弹簧变加速下落至停止→反弹向上运动.由于弹簧的k值未知，所以，物体m到达最低位置后的运动存在以下三种可能性：第一种：不能弹回；第二种：弹回后弹簧仍被压缩；第三种：弹回后能脱离弹簧.下面就这三种可能性来讨论k的取值范围:设m运动到最低位置时，弹簧的压缩量为s，则据功能原理有116例5解：图1BAdm物体m的运动可分为三个过程：加速下落图1BAdm图2BAdms由此解得显然，m下落停止后回弹的条件是即故讨论:(1)当时，m不能弹回.此时，代入(2)式可得：→m不能弹回的条件.117图1BAdm图2BAdms由此解得显然，m下落停止后m不能弹回(2)显然，当时，m可以回弹.图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1①若m反弹至速度为零时，弹簧仍被压缩.设此时压缩量为s1(如图3所示),由功能关系得118m不能弹回(2)显然，当时图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1把(2)式代入可得119图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1把(2)式代入图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1反弹高度为这时应满足s1≥0，否则m将脱离弹簧.120图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1反弹高度为这时由s1≥0可得m不能弹回由此可知，当时，m反弹，且反弹结束时，弹簧的压缩量为s1.m回弹后弹簧仍有的压缩量②当时，s1<0，弹簧被拉长，不合理.这其实表示在这条件下，弹簧恢复原长后，m将脱离弹簧继续向上运动.设m上升到距离弹簧自由端为s2时才静止，如图4所示.于是据功能关系有121由s1≥0可得m不能弹回由此可知，当图1BAdm图2BAdms由此式及(1)式可得把(2)代入得m的反弹高度h2为图4ds2BAmh2122图1BAdm图2BAdms由此式及(1)式可得把(2)代入得图1BAdm图2BAdms图4ds2BAmh2当时，反弹高度当时，反弹高度（此时）123图1BAdm图2BAdms图4ds2BAmh2当例6解：θv0S0xyo建立xoy坐标系，如图所示.B人以θ起跳，经时间t，其重心由O到达B，此时速度为v.则有重心升高为在B处用脚蹬墙，利用最大静摩擦力的冲量可使人的向上动量增加：而正压力的冲量恰好使人的水平分动量变为零.124例6解：θv0S0xyo建立xoy坐标系，如图所示.B人xyoθv0S0B由(2)、(3)式可得蹬墙结束时，人的重心的竖直向上的速度为于是，人以此为初速度继续升高125xyoθv0S0B由(2)、(3)式可得蹬墙结束时，人的重心整个过程，人的重心的总升高为因为从O到B，所用时间t为故在B点处有126整个过程，人的重心的总升高为因为从O到B，所用时间t为故在B由以上两式可得令可得127由以上两式可得令可得42显然，当时，H最大，因此起跳角为128显然，当时，H最大例7解：图1CABv0小物块m最终有三种可能性：停在B板上，停在A板上，从A板右端滑出.(1)设m最终停在B板上，其在B板上滑行距离为x，最后A、B、C三者的共同速度为v.据动量守恒定律及功能关系得解得x=1.6m>l=1.0m由此可知，m不可能停在B板上.129例7解：图1CABv0小物块m最终有三种可能性：停在B板(2)设m刚好滑到A板时的速度为v1，A、B板的共同速度为v2.据动量守恒定律及功能关系得由这两式并代入数据可得由此可见，m进入A板后，将继续在A板上滑行.130(2)设m刚好滑到A板时的速度为v1，A、B板的共同速度为v(3)设m最终停在A板上，它在A板上滑行距离为y,A、C的共同速度为v3.据动量守恒定律及功能关系得由这两式并代入数据可得所以，物块C最终停在A板上，与A板一起向前滑行，两者的共同速度约为0.563m/s，而B板向前滑行的速度约为0.155m/s.131(3)设m最终停在A板上，它在A板上滑行距离为y,A、C的例8解：ABF图1先判断A与B之间是否存在摩擦.依题意，在T0=2s内A与B未发生过碰撞，因此不论A与B之间是否有相对运动，不论A与B是否有摩擦，B总是作初速度为零的匀加速直线运动（因为即使有摩擦力存在，也是恒力）.设B的加速度为aB1,有由此得若A与B无摩擦，则车B向右运动5m的过程中，A应该保持静止，从而A与B必发生碰撞，但这不符合题意.又若A与B之间的摩擦力足够大，使得A与B之间无相对运动，则B的加速度应为132例8解：ABF图1先判断A与B之间是否存在摩擦.依题意，ABF图1但这与(1)式矛盾.故A与B之间有摩擦，但又存在相对运动.以f表示A与B之间的摩擦力大小,则对车B有代入数据可求得物块A会不断地与车壁相碰.(1)A相对B向左滑动时，A的加速度大小为方向向右133ABF图1但这与(1)式矛盾.故A与B之间有摩擦，ABF图1B的加速度大小为方向向右A相对B的加速度大小为方向向左(2)A相对B向右滑动时，A的加速度大小为方向向左B的加速度大小为方向向右A相对B的加速度大小为方向向左134ABF图1B的加速度大小为方向向右A相对B的加速度大小为方向以B为参考系，A的运动如图2所形象表示.ABF图1…l1234图2A先由初速度为零，向车B左壁做加速度为a1的匀加速运动，并与左壁发生第一次碰撞.由于碰撞是弹性的，故碰后A以原来的速率弹回，并以加速度a2向右做匀减速运动，速度减为零后，又接着以以加速度a1向左做匀加速运动，从而与B左壁作第二次碰撞，余此类推，以后A相对B做类似的运动.由于a2>a1,所以A每次与B左壁碰撞后，离开左壁的最大距离呈递减变化,故A不会与B的右壁相碰.135以B为参考系，A的运动如图2所形象表示.ABF图1…l123…l1234图2设A第1、2、3…n次与B左壁相碰后相对B的速度大小分别为v1、v2、v3…vn，则有又设A与B左壁第1次碰撞后，离开左壁的最大距离为d1,则有由此解得同法可求得136…l1234图2设A第1、2、3…n次与B左壁相…l1234图2从理论上讲，A将与B左壁发生无限多次碰撞，最终A将停在B的左壁处.A从开始运动到最终停在B的左壁处所用的时间为137…l1234图2从理论上讲，A将与B左壁发生无限多次…l1234图2把代入可求得这表明t=4s时，A与B已具有相同速度，设这共同速度为v，则由动量定理得代入数据可求得138…l1234图2把代入可求得这表明t=4s时，A与B例9解：lh图1用密舍尔斯基方程求解设时间t时链条上端的坐标为x，如图2所示.图2xOx此时，空中那部分链条的速度为以已落在地面上的那部分链条为主体，它将在∆t时间内俘获∆m的质量.地面上的那部分链条的质量为，它受到重力、地面支持力N的作用，忽略∆m的重力.因为地面那部分链条始终静止。没有加速度和速度.据密舍尔斯基方程得139例9解：lh图1用密舍尔斯基方程求解设时间t时链条上端的图2xOx由以上三式可解得显然，当全部链条刚落到地面时，x=0，此时N最大.140图2xOx由以上三式可解得显然，当全部链条刚落到地面时，x=方法2：用质心运动定理图2xOx以整条链条为研究对象，其总长为l，质量为m.因t时刻，地面上链条的质量为，坐标为0.空中那部分链条的质量为

,质心坐标为所以整条链条的质心坐标为于是，质心速度为141方法2：用质心运动定理图2xOx以整条链条为研究对象，其总长图2xOx质心加速度为因为故据质心运动定理有由以上两式可解得142图2xOx质心加速度为因为故据质心运动定理有由以上两式可解得图1●aH例10解：小球在时刻以速度与平板相碰，此时平板向右的水平速度为在小球与平板接触过程中，平板对小球的平均支持力为，平均摩擦力为,平均支持力作用时间为∆tN，平均摩擦力力作用时间为∆tf.因反弹后小球的反弹高度仍为H，故碰撞后小球竖直方向的速度大小为,设碰撞后小球的水平速度为v//，则有143图1●aH例10解：小球在(1)设，则有由(1)、(3)式可得因为成立的条件是，即或那么，此时有图2144(1)设，则有(2)设显然当时，若仍假定,这就必然会导致，这是不合理的，因此当时,必然有，而且有此时，综上所述，本题的解为145(2)设显然当例11解：xyoABA1B1A2A被水平抛出后做平抛运动，B释放后做自由落体运动.当连接两质点的绳刚拉直时，设绳与竖直方向成θ角，如图所示.因在绳子拉直前，A、B两质点在竖直方向运动的距离是相等的，故A2B1=l，因此θ＝60°.在绳子拉紧过程中，A、B之间发生相互作用，系统动量守恒.由于在绳子拉直前，A、B两质点在竖直方向的速度相等，故在以此速度运动的参考系中，A的速度为v0,B则静止.设相对这一参考系，绳子拉紧后A、B的速度分别为和，据动量守恒得式中方向沿绳子，这因为绳子对B的作用力沿绳子，而方向未知.146例11解：xyoABA1B1A2A被水平抛出后做平抛运动把上式沿绳子方向和垂直绳子方向的投影式分别为xyoABA1B1A2因绳子不可伸长，故由以上三式可解得绳子拉紧后，A相对B做圆周运动，速度为，角速度为147把上式沿绳子方向和垂直绳子方向的投影式分别为xyoABA1BxyoABA1B1A2当直线AB转过∆θ＝30°时，A、B位于同一水平线，所经历时间为设自释放B到绳子拉直经历时间为t1,有由此得由释放B到A、B位于同一水平线上共经历的时间为148xyoABA1B1A2当直线AB转过∆θ＝30°时，A、B位例12解：系统质心C做斜抛运动,如图所示，当运动员M落地时即落到x轴上时，若无大地，则系统质心C和小物块m分别落到图中所示位置.MxyS0αθv0OmCP设在t0时刻运动员在P处抛出物块，以运动员为参考系，物块做匀速直线运动，相对速度大小为u.又设运动员落地时，运动员与物块的连线长度为S0，与x轴的夹角为θ.那么质心C与运动员之间的距离为设运动员从起跳到落地所经历的时间为t，由相对运动速度可得149例12解：系统质心C做斜抛运动,如图所示，当运动员M落地MxyS0αθv0OmCP对质心C，据斜抛运动规律得运动员落地处x坐标为由(1)、(2)式得此方程的解为150MxyS0αθv0OmCP对质心C，据斜抛运动规律得运动员落下面讨论应取哪一个解.设在刚抛出物块后瞬间，运动员的速度v的竖直分量的大小为vPy，物块相对运动员的速度u的竖直分量的大小为uy=usinθ,方向沿y轴负方向.据动量守恒定律得解得于是可求出运动员从起跳到最高点所需时间为因为必然有151下面讨论应取哪一个解.设在刚抛出物块后瞬间，运动员的速度v的所以t的解应为由(1)、(3)式可解得所以，当t0=0时，xM有最大值.把t值代入可得此最大值为152所以t的解应为由(1)、(3)式可解得所以，当t0=0时，x若即时，xM有最大值这表明运动员应沿与x轴成45°方向起跳，且跳起后立刻沿与x轴成45°斜向下方向抛出物块，则运动员跳的距离最大，为