高一数学 2.4.1平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积编辑ppt

引入:我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ

其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。编辑ppt

两个非零向量a和b，作，,则叫做向量a

和b

的夹角．OABabOABba若，a

与b

同向OABba若a

与b

反向OABab若，a

与b

垂直，记作1.向量的夹角编辑ppt练习1、如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC

通过平移变成共起点！编辑ppt2.平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即编辑ppt注意：

(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定(2)a·b不能写成a×b

(3)向量的数量积与实数积的区别:2）对于实数a、b、c（b≠0），若a·b=b·c，则a=c,对于向量a，b，c,此式是否仍成立呢？1)对实数a≠0,若a·b=0，则b=0，但对向量a≠0时，若a·b=0,能不能推出b是零向量？3）对于实数a、b、c，有（a·b）·c=a·（b·c）但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？编辑ppt

解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10。1）已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。2）

已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°=

2例1:编辑ppt

物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab编辑ppt我们得到a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。编辑ppt例2、已知与的夹角为60°，求：（1）在方向上的投影；

（2）在方向上的投影；

=2=3编辑ppt3.平面向量的数量积的重要性质:a·b|a||b|（4）cosθ=（5）|a·b|≤|a||b|（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|当a与b反向时，a·b=－|a||b|特别地，a·a=|a|2或|a|=√a·a。（2）a⊥ba·b=0

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则（1）e·a=a·e=|a|cosθ编辑ppt1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=02．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠03.若a≠0，a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为05.若a≠0，a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c)8.对任一向量a,有a2=|a|2

练习：判断正误(√

）(×

）(×

）(×

）(×

）(×

）(×

）(√

）编辑ppt4、平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）注意：