第五章量子力学的矩阵形式和表象变换培训课件

第五章量子力学的表象变换与矩阵形式量子态的不同表象，幺正变换力学量的矩阵表示力学量的表象变换第五章量子力学的表象变换与矩阵形式量子态的不同表象，幺1通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.表象:量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即（1）平面上的任何一个矢量都可用它们来展开,（2）A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象，幺正变换通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.x1x2假设另一个x’1x’2直角坐标系，由原来的坐标系顺时针旋转θ角,其基矢为e’1e’2,满足（1’）在此坐标中，矢量A表示成（2’）（3）对上式分别用e’1,e’2点乘（4）假设另一个x’1x’2直角坐标系，由原来的坐标系顺时针旋转3写成矩阵的形式（5）R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为（6）x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO写成矩阵的形式（5）R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢4变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为因为R＊=R，（7）变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为因为R＊=R，（7）5

一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。将ψ(r,t)还可表示成在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。（11）（12）

一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,6显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。

如果已知ψ(r,t)就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。（13）（14）显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同7那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类8如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态在动量表象中，具有确定动量p’

的粒子波函数是函数。如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态在动量表9例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化求1）粒子动量的几率分布；2）粒子的平均动量例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波10解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.当Fmn=1,称为单位矩阵（unitmatrix）,表示为I＝(δmn).有非零解的条件是其系数行列式为零如果是势能为球对称势阱。称为声子数算符(phononnumberoperator),S与S+的积等于单位矩阵。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。1量子态的不同表象，幺正变换1）幺正变换不改变算符的本征值右矢(ket)>和左矢（bra）<矩阵Fpp’是动量空间。这是一个久期（secular）方程。坐标x的本征态矢正交归一的条件是，解法一：在动量表象中，x的算符表示为：我们注意到，从得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate11动量的几率分布为动量的平均值为动量的几率分布为动量的平均值为12

考虑任意力学量Q本征值为1,

2,…,

n…,对应的正交本征函数u1(x),u

2(x),…u

n(x)

…,则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x),并积分粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象考虑任意力学量Q本征值为1,2,…,13因为所以是对应力学量Q取不同能量本征值的几率因为所以是对应力学量Q取不同能量本征值的几率14可表示成一列矩阵的形式其共轭矩阵为一行矩阵因为波函数是归一化的，表示成可表示成一列矩阵的形式其共轭矩阵为一行矩阵因为波函数是归一化15例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数n=0:n=1:因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数n=0:162）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元如果一个算符本身不显含时间，即称为声子数算符(phononnumberoperator),算符â和â+相互共轭的.S与S+的积等于单位矩阵。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。矩阵Fpp’是动量空间。2）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。TheSchrödingerRepresentation在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。将F和a从A表象变换到B表象代入原方程，求解b1、b2若算符F的本征态矢是连续谱，右矢(ket)>和左矢（bra）<这种性质称为本征值n的封闭性。将有1，2….因为波函数是归一化的，表示成设算符B的正交归一的本征函数1(r)，2(r)，…n(r);第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，第二项积分则利用直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x),u2(x),…un(x),…看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系数决定。所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象总结2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元17例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动，运动范围限制在x0,试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。解：势能为V（x）＝Fx，总能量为在动量表象中，x的算符表示为例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运18定态的薛定谔方程E可由贝塞尔函数解出，基态能级为定态的薛定谔方程E可由贝塞尔函数解出，基态能级为19习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元解：Lx在动量表象中的矩阵元第一项习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元20第二项也可以导出，则Lx的矩阵元第二项也可以导出，则Lx的矩阵元214.2算符的矩阵表示设算符F有如下关系：在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…,对应的本征函数分别为u1(x),u2(x),…un(x),….将(x,t)和(x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开代入上式，4.2算符的矩阵表示设算符F有如下关系：在Q表象中，Q的22两边同乘以u*n(x),并在整个空间积分利用本征函数un(x)的正交性两边同乘以u*n(x),并在整个空间积分利用本征函数un(23引进记号这就是在Q表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：引进记号这就是在Q表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：24用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。TheSchrödingerRepresentation若算符F的本征组态矢是正交归一的，本征值分别为Fi,Fj,…坐标x的本征态矢正交归一的条件是，数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.这就是Ehrenfest’stheorem例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵实现。与势能V(r)对易。若算符F的本征态矢是连续谱，TheEigenvalueProblem那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为第五章量子力学的表象变换与矩阵形式例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonalmatrix）,时间导数用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。例题：一维粒子运动的状态是两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。我们知道谐振子的能量是等间隔的,ψn所具有的能量大于nħω,将该能量分成n份，一份称为声子(phonons),那么将ψn称为n声子态(n-phononstate),（23）矩阵Fnm的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，即将满足该式的矩阵称为厄米矩阵用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。（23）矩阵Fnm的25若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭矩阵Fnm的转置矩阵为根据厄米矩阵的定义所以例如例如若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来26例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元能量表象例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量27第五章量子力学的矩阵形式和表象变换培训课件28Q在自身表象中的矩阵元Qm为Q在自身空间中的的本征值如X在坐标空间中可表示为动量p在动量空间中表示为结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵Q在自身表象中的矩阵元Qm为Q在自身空间中的的本征值如X在坐29一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元一维谐振子能量表象中能量的矩阵元一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元一维谐振子能量表象中能量30

两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和

Cmn=Amn＋Bmn（42）两矩阵之积矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonalmatrix）,当Fmn=1,称为单位矩阵（unitmatrix）,表示为I＝(δmn).在动量空间中，算符F的矩阵元两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和两矩阵314.3量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式4.3量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式32写成矩阵形式（51）简写为写成矩阵形式（51）简写为33例题求一维无限深势阱中，当n=1和n=2时粒子坐标的平均值解：例题求一维无限深势阱中，当n=1和n=2时粒子坐标的平均342.TheEigenvalueProblem

在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符F的本征函数满足（54）（55）2.TheEigenvalueProblem35有非零解的条件是其系数行列式为零（60）这是一个线性齐次代数方程组这是一个久期（secular）方程。将有1，2….n

n个解,就是F的本征值。有非零解的条件是其系数行列式为零（60）这是一个线性齐次代数36例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间解：则例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间解37该行列式有解的条件是其系数行列式为零两个本征值分别为该行列式有解的条件是其系数行列式为零两个本征值分别为383.矩阵形式的薛定谔方程TheSchrödingerEquationinMatrixForm薛定谔方程（77）不显含时间的波函数的能量表象（78）波函数根据哈密顿本征函数展开（79）代入薛定谔方程（80）3.矩阵形式的薛定谔方程薛定谔方程（77）不显含时间的波函数39两边同乘以并积分（81）（82）简写为H，均为矩阵元。两边同乘以并积分（81）（82）简写为H，均为矩阵元。40例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的总能量为解法一：在动量表象中，x的算符表示为：则H算符表示为定态的薛定谔方程写为例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的总41c（p）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。解法二c（p）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方42当n＝0时，当n＝0时，43讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。设算符A的正交归一的本征函数ψ1(r)，ψ2(r)，…ψn(r);设算符B的正交归一的本征函数1(r)，

2(r)，…

n(r);（64）（66）1.UnitaryTransformation（幺正变换）（65）算符F在A表象中（67）算符F在B表象中讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。（64）（66）144c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零1量子态的不同表象，幺正变换显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。1）幺正变换不改变算符的本征值结论：平均值随时间的变化就等于的平均值。解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象称为声子数算符(phononnumberoperator),用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，第二项积分则利用称为投影算符或单位算符例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零与势能V(r)对易。直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。求1）粒子动量的几率分布；计算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］确定Fmn与F之间联系的转换矩阵。将算符B的本征函数(x)用算符A的本征函数n(x)展开。两边同乘以并积分得（69）（68）同理c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。确定45（70）（71）应用厄密共轭矩阵性质（70）（71）应用厄密共轭矩阵性质46得到算符在两个表象中的变换矩阵简写为这就是力学量F从A表象变换到B表象的变换公式。（72）得到算符在两个表象中的变换矩阵简写为这就是力学量F从A表象变47因为ψ和φ都是正交归一的波函数，（68）因为ψ和φ都是正交归一的波函数，（68）48S与S+的积等于单位矩阵。即SS+＝I,S+＝S-1（74）

将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.物理意义:在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态φn中的几率为1，在态ψn中的几率为Sμn2,那么,Sμ12,Sμ22,…,Sμn2,…给出粒子在态ψn中出现的几率分布。下面的式子必定成立。（75）S与S+的积等于单位矩阵。即SS+＝I,S+＝S-1（7449例题：求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵.解：设在A表象中B表象中特征矢为本征值为代入原方程，求解b1、b2

例题：求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵50当＝＝变换矩阵当＝＝变换矩阵51下面讨论态矢量u(x,t)从A表象变换到B表象的公式b=S+a下面讨论态矢量u(x,t)从A表象变换到B表象的公式b=S52总结：幺正变换的性质1）幺正变换不改变算符的本征值设算符F在A表项中的本征值方程为a为态矢将F和a从A表象变换到B表象在B表象中因为b=S+a＝S－1a总结：幺正变换的性质1）幺正变换不改变算符的本征值设算符F在532）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么TrFA=TrFB,矩阵的积不依赖于特别的表象。2）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。用TrF表示545.4狄喇克符号在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。这样一套符号称为狄喇克符号。5.4狄喇克符号在经典力学中，体系的运动规551.右矢

(ket)>和左矢（bra）<左矢<表示右矢的共轭，例如ψ

＊，表示为<ψ，是ψ>的共轭态矢。<x´是x´>的共轭态矢。

量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间，Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。<ψ

φ>＊＝<φ

ψ>2.标积在Hilbert空间中。一个标积(scalarproduct)定义为一对函数ψ和φ的乘积。标积记为<ψφ>

一个量子态用右矢>来表示。例如用

ψ>表示波函数ψ描述的状态。1.右矢(ket)>和左矢（bra）<左矢<表56标积运算规则：若<ψφ>＝0，则称<ψ与φ>正交。若<ψψ>＝1，则称ψ>为归一化态矢。表示态矢是正交归一的完备系标积运算规则：若<ψφ>＝0，则称<ψ与φ>正交。表57同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.称为投影算符或单位算符得到算符在两个表象中的变换矩阵有非零解的条件是其系数行列式为零c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。这种性质称为本征值n的封闭性。解法一：在动量表象中，x的算符表示为：称为算符F在Q表象中的矩阵元考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立S与S+的积等于单位矩阵。它们有同样的表观值、同样的谱。一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。PropertiesoftheOperatorsâandâ+R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元这样一套符号称为狄喇克符号。在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。若算符F的本征态矢是连续谱，1）幺正变换不改变算符的本征值常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零证明：设m为lz=的本征态，属于本征值状态为m因为对易关系同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。例题：轨道58类似地，利用对易关系可以证明类似地，利用对易关系可以证明59|A>在Q表象中的分量为a1(t),a2(t),..,<B|在Q表象中的分量为b1(t)＊,b2(t)＊,..,显然，若算符F的本征组态矢是正交归一的，本征值分别为Fi,Fj,…若算符F的本征态矢是连续谱，2.态矢在具体表象中的狄喇克表示方法|A>在Q表象中的分量为a1(t),a2(t),..,显然60坐标x的本征态矢正交归一的条件是，动量p的本征态矢正交归一的条件是，波函数的归一化性表示为因为波函数（x,t）可以用一组基矢展开坐标x的本征态矢正交归一的条件是，动量p的本征态矢正交归一的61因为这种性质称为本征值n的封闭性。用狄喇克形式表示为展开系数为因为这种性质称为本征值n的封闭性。用狄喇克形式表示为展开系数62将代入上式，得称为投影算符或单位算符在连续谱的情况下，求和应换为积分将代入上式，得称为投影算符或单位算符在连续谱的情况下，求和应63例题：两个态矢|A>和|B>在同一个表象Q中的标记例题：两个态矢|A>和|B>在同一个表象Q中的标记643.算符在具体表象中的狄喇克表示方法设算符F存在如下关系将态矢A、B分别在Q表象中展开用|m>左乘上式，再利用正交性3.算符在具体表象中的狄喇克表示方法设算符F存在如下关系将65则称为算符F在Q表象中的矩阵元则称为算符F在Q表象中的矩阵元66例题薛定谔方程表示为两边左乘以<k|,例题薛定谔方程表示为两边左乘以<k|,67例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(,),计算lx2ly2的平均值，对易关系解：例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(,),计算68例题：一维粒子运动的状态是3LawsofConservationR（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动，运动范围限制在x0,试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。算符â和â+相互共轭的.而力学量算符则不随时间变化，因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。谐振子波场中的量子正是声子.两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.1量子态的不同表象，幺正变换一个量子态用右矢>来表示。称为声子数算符(phononnumberoperator),算符â和â+相互共轭的.c（p）是动量表象中的本征函数那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为解：Lx在动量表象中的矩阵元动量p在动量空间中表示为由于例题：一维粒子运动的状态是由于69例题设算符F和G为任意算符，且证明，对于F的本征态，证明设为F的本征态，本征值为，则有两边取复共轭例题设算符F和G为任意算符，且证明，对于F的本征态，证明设705.5谐振子的升降算符一维谐振子的归一化本征函数为（43）（44）H多项式有如下关系存在5.5谐振子的升降算符一维谐振子的归一化本征函数为（43）71（46）（45）（47）得到减去（44）式（44）（44）与（47）式相加减，得（46）（45）（47）得到减去（44）式（44）（44）与72（48）做如下替代（49）(48)式变为（50）将â称为降幂算符(loweringoperator),将â+称为升幂算符.（48）做如下替代（49）(48)式变为（50）将â称为降幂73由于本征值n是谐振子波函数的指数因子,因而我们定义一个数算符N(numberoperator)（52）的本征值是n,本征函数是ψn,

（51）由于本征值n是谐振子波函数的指数因子,因而我们定义一个数算符742.PropertiesoftheOperatorsâandâ+算符â和â+相互共轭的.（51）

â和â+是实数,存在â=â*,â+=(â+)*（52）（53）用狄喇克算符表示为（54）2.PropertiesoftheOperators75通过进行â

+ψn运算,我们可以计算从基态开始的所有本征函数（56）对n＝0,（57）通过进行â+ψn运算,我们可以计算从基态开始的所有本征函数76两式相加、减两式相加、减77第五章量子力学的矩阵形式和表象变换培训课件78第五章量子力学的矩阵形式和表象变换培训课件79由此可计算出能量本征值由此可计算出能量本征值80例题对于谐振子的能量本征态|n>，计算x,p，x2，p2的平均值及x、p。解：因为利用正交性，同样得到例题对于谐振子的能量本征态|n>，计算x,p，x2，p81利用正交性，得到利用正交性，得到82对于基态，n=0，刚好是测不准关系的下限对于基态，n=0，刚好是测不准关系的下限834.Interpretationofâandâ+我们知道谐振子的能量是等间隔的,ψn所具有的能量大于nħω,将该能量分成n份，一份称为声子(phonons),那么将ψn称为n声子态(n-phononstate),中表示声子数,零声子态(zero-phononstate)，称为真空.（66）解释:如果â

作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.4.Interpretationofâandâ+我84由于称为声子数算符(phononnumberoperator),（67）谐振子波场中的量子正是声子.如果与光子相类比的话,就更清楚了.â|3>Annihilationofaphononâ+2|1>Creationoftwoohonons谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图En/ħω7/25/23/21/2x由于称为声子数算符(phononnumberoperat85计算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］计算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］865.6力学量随时间的演化厄米算符

L其平均值为（1）

因为波函数和算符都是时间相关的，则平均值也是时间相关的。（2）第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，第二项积分则利用（3）应用算符H的厄密性得到H=E5.6力学量随时间的演化厄米算符L其平均值为（1）87（4）简化为（5）结论：平均值随时间的变化就等于的平均值。若L不显含时间，即（6）如果则（4）简化为（5）结论：平均值随时间的变化就等于886.2Ehrenfest’sTheorem考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立对其它分量，有类似的成立。为了考察它们的对易性，我们考虑粒子在一个势垒中，其哈密顿量为6.2Ehrenfest’sTheorem考虑坐标、动量89位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。90形式与经典的牛顿方程相似。对三维的位置和动量，有这就是Ehrenfest’stheorem

形式与经典的牛顿方程相似。对三维的位置和动量，有这就是Ehr916.3LawsofConservation则该算符对时间的导数为零，其运动可视为常数,即匀速运动。如果一个算符本身不显含时间，即它又与H对易，算符H是总能量算符，显然H与它本身对易。即使它显含时间,其运动仍为常量，这就是能量守恒定律。匀速运动的算符对我们量子力学的进一步学习非常重要。1.守恒量6.3LawsofConservation则该算符对时92动量算符P不显含时间，如果V／x=0,则称为动量守恒定律.对中心力,势能只是半径r的函数,角动量算符与势能V(r)对易。整个哈密顿量为因此有角动量守恒定律成立。还可得出动量算符P不显含时间，如果V／x=0,则称为动量守恒定932.TheVirialTheorem

位力定律是从动能算符和势能的平均值得到的公式既在经典力学中成立，又在量子力学中成立。在经典力学中，的瞬时平均值在周期运动中为零。时间导数在量子力学中，我们考虑的表观值。最后一个等式证明如下2.TheVirialTheorem位力定律是94得到位力定律。我们注意到，从得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。如果是势能为球对称势阱。有位力定理得到对所有的n都成立,当然<|V|>的表观值存在.得到位力定律。我们注意到，从95The

SchrödingerRepresentation

前面我们应用了与时间相关的态函数ψ(r,t)描述物理系统的动力学演化，这样，我们将不显含时间的力学量的平均值及几率分布随时间的演化，完全归为波函数随之间的演化。而力学量算符则不随时间变化，因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。波函数和算符不是实际观测的对象，实际观测的对象为波函数的几率分布和平均值的变化。TheSchrödingerRepresentation96为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我们来看算符L的矩阵元在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。它们有同样的表观值、同样的谱。从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵实现。The

HeisenbergRepresentation

TheHeisenbergRepresentation(HeisenbergPicture)是薛定谔图像的逆过程。波函数不随时间变化，算符却随时间变化即由与时间相关的算符来描述物理系统的动力学演化过程。为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我97对波函数，我们写出它的能量表象定态的时间相关性与指数因子有关，将（93）代入到（92）（92）（93）（94）（95）在推导过程中矩阵元并没有发生变化，（92）和（95）只是时间相关性不同，（92）中式波函数与时间相关，而（95）是算符与时间相关。对波函数，我们写出它的能量表象定态的时间相关性与指数因子有关98第五章量子力学的表象变换与矩阵形式量子态的不同表象，幺正变换力学量的矩阵表示力学量的表象变换第五章量子力学的表象变换与矩阵形式量子态的不同表象，幺99通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.表象:量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即（1）平面上的任何一个矢量都可用它们来展开,（2）A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象，幺正变换通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.x1x100假设另一个x’1x’2直角坐标系，由原来的坐标系顺时针旋转θ角,其基矢为e’1e’2,满足（1’）在此坐标中，矢量A表示成（2’）（3）对上式分别用e’1,e’2点乘（4）假设另一个x’1x’2直角坐标系，由原来的坐标系顺时针旋转101写成矩阵的形式（5）R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为（6）x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO写成矩阵的形式（5）R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢102变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为因为R＊=R，（7）变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为因为R＊=R，（7）103

一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。将ψ(r,t)还可表示成在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。（11）（12）

一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,104显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。

如果已知ψ(r,t)就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。（13）（14）显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同105那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类106如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态在动量表象中，具有确定动量p’

的粒子波函数是函数。如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态在动量表107例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化求1）粒子动量的几率分布；2）粒子的平均动量例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波108解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.当Fmn=1,称为单位矩阵（unitmatrix）,表示为I＝(δmn).有非零解的条件是其系数行列式为零如果是势能为球对称势阱。称为声子数算符(phononnumberoperator),S与S+的积等于单位矩阵。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。1量子态的不同表象，幺正变换1）幺正变换不改变算符的本征值右矢(ket)>和左矢（bra）<矩阵Fpp’是动量空间。这是一个久期（secular）方程。坐标x的本征态矢正交归一的条件是，解法一：在动量表象中，x的算符表示为：我们注意到，从得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate109动量的几率分布为动量的平均值为动量的几率分布为动量的平均值为110

考虑任意力学量Q本征值为1,

2,…,

n…,对应的正交本征函数u1(x),u

2(x),…u

n(x)

…,则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x),并积分粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象考虑任意力学量Q本征值为1,2,…,111因为所以是对应力学量Q取不同能量本征值的几率因为所以是对应力学量Q取不同能量本征值的几率112可表示成一列矩阵的形式其共轭矩阵为一行矩阵因为波函数是归一化的，表示成可表示成一列矩阵的形式其共轭矩阵为一行矩阵因为波函数是归一化113例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数n=0:n=1:因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数n=0:1142）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元如果一个算符本身不显含时间，即称为声子数算符(phononnumberoperator),算符â和â+相互共轭的.S与S+的积等于单位矩阵。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。矩阵Fpp’是动量空间。2）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。TheSchrödingerRepresentation在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。将F和a从A表象变换到B表象代入原方程，求解b1、b2若算符F的本征态矢是连续谱，右矢(ket)>和左矢（bra）<这种性质称为本征值n的封闭性。将有1，2….因为波函数是归一化的，表示成设算符B的正交归一的本征函数1(r)，2(r)，…n(r);第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，第二项积分则利用直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x),u2(x),…un(x),…看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系数决定。所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象总结2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元115例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动，运动范围限制在x0,试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。解：势能为V（x）＝Fx，总能量为在动量表象中，x的算符表示为例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运116定态的薛定谔方程E可由贝塞尔函数解出，基态能级为定态的薛定谔方程E可由贝塞尔函数解出，基态能级为117习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元解：Lx在动量表象中的矩阵元第一项习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元118第二项也可以导出，则Lx的矩阵元第二项也可以导出，则Lx的矩阵元1194.2算符的矩阵表示设算符F有如下关系：在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…,对应的本征函数分别为u1(x),u2(x),…un(x),….将(x,t)和(x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开代入上式，4.2算符的矩阵表示设算符F有如下关系：在Q表象中，Q的120两边同乘以u*n(x),并在整个空间积分利用本征函数un(x)的正交性两边同乘以u*n(x),并在整个空间积分利用本征函数un(121引进记号这就是在Q表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：引进记号这就是在Q表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：122用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。TheSchrödingerRepresentation若算符F的本征组态矢是正交归一的，本征值分别为Fi,Fj,…坐标x的本征态矢正交归一的条件是，数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.这就是Ehrenfest’stheorem例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵实现。与势能V(r)对易。若算符F的本征态矢是连续谱，TheEigenvalueProblem那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为第五章量子力学的表象变换与矩阵形式例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonalmatrix）,时间导数用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。例题：一维粒子运动的状态是两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。我们知道谐振子的能量是等间隔的,ψn所具有的能量大于nħω,将该能量分成n份，一份称为声子(phonons),那么将ψn称为n声子态(n-phononstate),（23）矩阵Fnm的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，即将满足该式的矩阵称为厄米矩阵用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。（23）矩阵Fnm的123若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭矩阵Fnm的转置矩阵为根据厄米矩阵的定义所以例如例如若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来124例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元能量表象例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量125第五章量子力学的矩阵形式和表象变换培训课件126Q在自身表象中的矩阵元Qm为Q在自身空间中的的本征值如X在坐标空间中可表示为动量p在动量空间中表示为结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵Q在自身表象中的矩阵元Qm为Q在自身空间中的的本征值如X在坐127一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元一维谐振子能量表象中能量的矩阵元一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元一维谐振子能量表象中能量128

两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和

Cmn=Amn＋Bmn（42）两矩阵之积矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonalmatrix）,当Fmn=1,称为单位矩阵（unitmatrix）,表示为I＝(δmn).在动量空间中，算符F的矩阵元两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和两矩阵1294.3量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式4.3量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式130写成矩阵形式（51）简写为写成矩阵形式（51）简写为131例题求一维无限深势阱中，当n=1和n=2时粒子坐标的平均值解：例题求一维无限深势阱中，当n=1和n=2时粒子坐标的平均1322.TheEigenvalueProblem

在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符F的本征函数满足（54）（55）2.TheEigenvalueProblem133有非零解的条件是其系数行列式为零（60）这是一个线性齐次代数方程组这是一个久期（secular）方程。将有1，2….n

n个解,就是F的本征值。有非零解的条件是其系数行列式为零（60）这是一个线性齐次代数134例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间解：则例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间解135该行列式有解的条件是其系数行列式为零两个本征值分别为该行列式有解的条件是其系数行列式为零两个本征值分别为1363.矩阵形式的薛定谔方程TheSchrödingerEquationinMatrixForm薛定谔方程（77）不显含时间的波函数的能量表象（78）波函数根据哈密顿本征函数展开（79）代入薛定谔方程（80）3.矩阵形式的薛定谔方程薛定谔方程（77）不显含时间的波函数137两边同乘以并积分（81）（82）简写为H，均为矩阵元。两边同乘以并积分（81）（82）简写为H，均为矩阵元。138例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的总能量为解法一：在动量表象中，x的算符表示为：则H算符表示为定态的薛定谔方程写为例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的总139c（p）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。解法二c（p）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方140当n＝0时，当n＝0时，141讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。设算符A的正交归一的本征函数ψ1(r)，ψ2(r)，…ψn(r);设算符B的正交归一的本征函数1(r)，

2(r)，…

n(r);（64）（66）1.UnitaryTransformation（幺正变换）（65）算符F在A表象中（67）算符F在B表象中讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。（64）（66）1142c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零1量子态的不同表象，幺正变换显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。1）幺正变换不改变算符的本征值结论：平均值随时间的变化就等于的平均值。解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象称为声子数算符(phononnumberoperator),用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，第二项积分则利用称为投影算符或单位算符例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零与势能V(r)对易。直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。求1）粒子动量的几率分布；计算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］确定Fmn与F之间联系的转换矩阵。将算符B的本征函数(x)用算符A的本征函数n(x)展开。两边同乘以并积分得（69）（68）同理c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。确定143（70）（71）应用厄密共轭矩阵性质（70）（71）应用厄密共轭矩阵性质144得到算符在两个表象中的变换矩阵简写为这就是力学量F从A表象变换到B表象的变换公式。（72）得到算符在两个表象中的变换矩阵简写为这就是力学量F从A表象变145因为ψ和φ都是正交归一的波函数，（68）因为ψ和φ都是正交归一的波函数，（68）146S与S+的积等于单位矩阵。即SS+＝I,S+＝S-1（74）

将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.物理意义:在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态φn中的几率为1，在态ψn中的几率为Sμn2,那么,Sμ12,Sμ22,…,Sμn2,…给出粒子在态ψn中出现的几率分布。下面的式子必定成立。（75）S与S+的积等于单位矩阵。即SS+＝I,S+＝S-1（74147例题：求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵.解：设在A表象中B表象中特征矢为本征值为代入原方程，求解b1、b2

例题：求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵148当＝＝变换矩阵当＝＝变换矩阵149下面讨论态矢量u(x,t)从A表象变换到B表象的公式b=S+a下面讨论态矢量u(x,t)从A表象变换到B表象的公式b=S150总结：幺正变换的性质1）幺正变换不改变算符的本征值设算符F在A表项中的本征值方程为a为态矢将F和a从A表象变换到B表象在B表象中因为b=S+a＝S－1a总结：幺正变换的性质1）幺正变换不改变算符的本征值设算符F在1512）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么TrFA=TrFB,矩阵的积不依赖于特别的表象。2）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。用TrF表示1525.4狄喇克符号在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。这样一套符号称为狄喇克符号。5.4狄喇克符号在经典力学中，体系的运动规1531.右矢

(ket)>和左矢（bra）<左矢<表示右矢的共轭，例如ψ

＊，表示为<ψ，是ψ>的共轭态矢。<x´是x´>的共轭态矢。

量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间，Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。<ψ

φ>＊＝<φ

ψ>2.标积在Hilbert空间中。一个标积(scalarproduct)定义为一对函数ψ和φ的乘积。标积记为<ψφ>

一个量子态用右矢>来表示。例如用

ψ>表示波函数ψ描述的状态。1.右矢(ket)>和左矢（bra）<左矢<表154标积运算规则：若<ψφ>＝0，则称<ψ与φ>正交。若<ψψ>＝1，则称ψ>为归一化态矢。表示态矢是正交归一的完备系标积运算规则：若<ψφ>＝0，则称<ψ与φ>正交。表155同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.称为投影算符或单位算符得到算符在两个表象中的变换矩阵有非零解的条件是其系数行列式为零c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。这种性质称为本征值n的封闭性。解法一：在动量表象中，x的算符表示为：称为算符F在Q表象中的矩阵元考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立S与S+的积等于单位矩阵。它们有同样的表观值、同样的谱。一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。PropertiesoftheOperatorsâandâ+R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元这样一套符号称为狄喇克符号。在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。若算符F的本征态矢是连续谱，1）幺正变换不改变算符的本征值常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零证明：设m为lz=的本征态，属于本征值状态为m因为对易关系同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。例题：轨道156类似地，利用对易关系可以证明类似地，利用对易关系可以证明157|A>在Q表象中的分量为a1(t),a2(t),..,<B|在Q表象中的分量为b1(t)＊,b2(t)＊,..,显然，若算符F的本征组态矢是正交归一的，本征值分别为Fi,Fj,…若算符F的本征态矢是连续谱，2.态矢在具体表象中的狄喇克表示方法|A>在Q表象中的分量为a1(t),a2(t),..,显然158坐标x的本征态矢正交归一的条件是，动量p的本征态矢正交归一的条件是，波函数的归一化性表示为因为波函数（x,t）可以用一组基矢展开坐标x的本征态矢正交归一的条件是，动量p的本征态矢正交归一的159因为这种性质称为本征值n的封闭性。用狄喇克形式表示为展开系数为因为这种性质称为本征值n的封闭性。用狄喇克形式表示为展开系数160将代入上式，得称为投影算符或单位算符在连续谱的情况下，求和应换为积分将代入上式，得称为投影算符或单位算符在连续谱的情况下，求和应161例题：两个态矢|A>和|B>在同一个表象Q中的标记例题：两个态矢|A>和|B>在同一个表象Q中的标记1623.算符在具体表象中的狄喇克表示方法设算符F存在如下关系将态矢A、B分别在Q表象中展开用|m>左乘上式，再利用正交性3.算符在具体表象中的狄喇克表示方法设算符F存在如下关系将163则称为算符F在Q表象中的矩阵元则称为算符F在Q表象中的矩阵元164例题薛定谔方程表示为两边左乘以<k|,例题薛定谔方程表示为两边左乘以<k|,165例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(,),计算lx2ly2的平均值，对易关系解：例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(,),计算166例题：一维粒子运动的状态是3LawsofConservationR（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动，运动范围限制在x0,试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。算符â和â+相互共轭的.而力学量算符则不随时间变化，因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。谐振子波场中的量子正是声子.两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.1量子态的不同表象，幺正变换一个量子态用右矢>来表示。称为声子数算符(phononnumberoperator),算符â和â+相互共轭的.c（p）是动量表象中的本征函数那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为解：Lx在动量表象中的矩阵元动量p在动量空间中表示为由于例题：一维粒子运动的状态是由于167例题设算符F和G为任意算符，且证明，对于F的本征态，证明设为F的本征态，本征值为，则有两边取复共轭例题设算符F和G为任意算符，且证明，对于F的本征态，证明设1685.5谐振子的升降算符一维谐振子的归一化本征函数为（43）（44）H多项式有如下关系存在5.5谐振子的升降算符一维谐振子的归一化本征函数为（43）169（46）（45）（47）得到减去（44）式（44）（44）与（47）式相加减，得（46）（45）（47）得到减去（44）式（44）（44）与170（48）做如下替代（49）(48)式变为（50）将â称为降幂算符(loweringoperator),将â+称为升幂算符.（48）做如下替代（49）(48)式变为（50）将â称为降幂171由于本征值n是谐振子波函数的指数因子,因而我们定义一个数算符N(numberoperator)（52）的本征值是n,本征函数是ψn,

（51）由于本征值n是谐振子波函数的指数因子,因而我们定义一个数算符1722.PropertiesoftheOperatorsâandâ+算符â和â+相互共轭的.（51）

â和â+是实数,存在â=â*,â+=(â+)*（52）（53）用狄喇克算符表示为（54）2.PropertiesoftheOperators173通过进行â

+ψn运算,我们可以计算从基态开始的所有本征函数（56）对n＝0,（57）通过进行â+ψn运算,我们可以计算从基态开始的所有本征函数174两式相加、减两式相加、减175第五章量子力学的矩阵形式和表象变换培训课件176第五章量子力学的矩阵