线性代数笔记-不难版

考研线性代数复习笔记 版笔记作者：江于考研知识点均有涉及，因此看B版本之前必须搞懂A版本；而B版本只讲考研重要考点，你打开B版本会发现少了大量的公式、性本人复习心得B版本的作用就是用来“重点捕鱼”，将线性代数这部分考研重点内行列式（目的是计算特征值重点内容：上下三角、拉斯展开式、行列式展开定注：其余内容没说不考，只是考查概率低，本版本只归纳重要考1、上下三

.

.

.

.an

.

2、拉斯展开式（重中之重，务必先把这类题练好主对CO副对

OAm

B|Am||BnB|Am||BnO推论|AnBn||An||Bn3、行列式展开Dai1Ai1ai2Ai2...ainAinDaijA1ja2jA2j...anjAnj重要例题例1（拉斯0ab0a000ab0a00b0cd0c00d解：典型的拉斯多且不在同一行（列），拉斯的使用0ac0d000ac0d00b0a0bd0c0c00dcd00

(ad例2（拉斯xxxxxxxx2x2x2x2x3x3x4x3x4x5x4x解：三板斧“上下三角、拉斯、展开式定理”，本题肯要消元造0，“上下三角”需要的0比 斯多，所以选 x x A2x 13x x x

2x 3x x x

(x)(5x5)0.两个例3（展开式定理，补充知识点：差分方程 A

，求证|A|n 1 提示：本题诸位同学一定是见过的，A版中用的是李永乐老师的解法，也是一种常见的解法，数学归纳法。但是本题方浩，然后用差分方补充知识点“差分方程”：anpan1qan2 1 2 1 得：An2aAn11(1)12a2An2

aa

两根均为aAnC1anC2nanan(C1C2n)中定C、C，A2a、

13a22aa(C1C2

3a2a2

2C 得：C1C21Ann1)an|A|n是08年本题已经涉及，就默认你应该知道了，且数一、数二用这个方法是不会例4（展开式定理 求行列 的第四行各元 式之 解：式联系代数式，代数式在与展开式定理联M41M42M43M44A41A42A43此时就一个新行列式的值，新行列式前3行与原行列式3040222200011新行列式3040222200011不理解的，建议再去看看展开式定理，应该能够明白矩阵（目的是初等变换求逆、秩、方程重点内容：矩阵乘法、逆、转1、矩阵 21(a,a,a 21323 b1 232 32 其结果就是：第1列扩b1倍第2列扩b2倍第3列扩b3b1a11b2a12b3a13 b b 1 2 3234、矩阵矩阵与矩阵向量一样，只不过是乘了多次向量 即：1表示左边12两列相加构成新的一列 0表示左边13两列相加构成新的一列 1表示左边23两列相加构成新的一列 5最终结果 11，即：分块乘，速度更快，不要按同 的公 15 特列：AEEAA注：A

O

O C Cn 1 (1):

)，设A，求2解：A

1

11 1

1

,

, ,32

332

2 1

311 n1 1

2结合律

)23

2

)

n1 23

2

3

33 （2）：B

解：拆：B2E

Bn(2ED)n，因为这里是E，有可交换的特点，即ED与DE一样故：Bn(2ED)nC0D0(2E)nC1D1(2E)n1C2D2(2E)n2 此时：D2 ，D3Dn0，可以直接由分块乘法得 也可以套用A版本中的

n(n1) 1

2nn3n(n2n2nE2n1

2n3n(n

2n1 2 22、特殊运算(kA)T TBT 重要，用于二次型）An)TATT(A |AT|逆（重要定义：ABEA1|A| k 1B1相似用到，重要）An1( 性质A1)1|

|A求逆矩1、构造法（重要）：构造B，使得ABEA1例1：n阶方阵A满足2AAEA3，证明EA可逆，求(EA)1解：已知A32A22A0，即求(EA)(未知利用已知求未（注：方法：用EAA32A22A，求商，干掉余数即可（步骤（草稿纸上完成A2AA2AEA32A22AE就是小学除法运算而已由题干得(EA)(A2AEE0EAA2AE(EA)1A2AA|E换[E|A|B换[E|加法求逆为乘法求逆（乘法有公式，加法没有 例：A

，设E为4阶单位矩阵，且B(EA)1(E 7 7 则(EB)1解：EBEEA)1(EA)(EA)1(EA)(EA)1(E(EA)12E2(E 原式2(EA)1]1

(EA) 4 4(Aji(Aji定义：Aaij)nA*A*AAA*|A|E（重要(kA)*kn1(AB)*B*(An)*(性质A*)*|A|n2 |A||A ，（重要

|A

，（重要

，则A*1 A*110A1)1

A1

例2：设A为3阶非零矩阵，已知Aij2aij0，求|A、考虑：A*Aij解：Aij、考虑ai1Ai1ainAin|AA0，不妨设a110，由题干得Aij2[aijA*T2|A*|2)3|A||A|28|A|，由于A0得|A|3、三大Eij(k)：第j行的k第i行，或第i列的k倍第jEi(k)：第i行（列）乘以k 性质1(kE(k1 1 (k)Ei(kP1AP P(,,， Q(,2,)，求Q1

解：PQ为列变换，第1列的2倍到第2列，记E12Q1AQ[PE(2)]1A[PE(2)]E1(2)P1 E

E 行列

41、乘法不能扩大秩（常用r(A)0A0；r(A)1Ar(kA)r(r(A)r(AT)r(AAT)r(ATrABrAr()重要r( rAr(B{m,n,}重要 mrAQr)重要 AB0rAr(B)n（必考 r(

)1，r(A)n0，r(A)n矩阵等价rA)n维向量向量默认为列向线性表线性相关的性质1、含0向量的向量组必定相2、至少一个向量可以由其它向量线性4、部分相关整体必相关（重要线性无关的性质1、任何一个向量都不能由其余向量线性3、整体无关部分必无关（重要向量组的等价向量组(I)与向量组(II)等价r(I)r(II)r(I|向量等价矩阵等价（反之不对

r(I)r(I||II)r(II)(I|II) 1 1 a | 1 2 1 1 a | 1 (I|II) a a 1 a a a 2a 4a首先，r(I3a1)(2aa20a1或2当a1，r(I1，r(II3，r(I|II3，满足题意当a2，r(I)2，r(II)2，r(I|II)3，排除有数量关系 0 0

1，令B 1

123

k1 01 k1，r(，，r(B3B k 0线性方程组（重点，大题求基础解系系数矩阵行变换，化为行最简找其中的E，除去E的部分为自由变.知道你看不明白，后面有例子做讲解，先看下去）先写nrA)m然后写出基础解系m个解向量的框架 )T.......m 然后给自由变量，分别进行"01"赋值。看完下面例子你就A110240 0 3 取相反数为(1,0)填入1(1,1,0,0,0)T2，此时为1的自由变量是第4列，而第4列原本是取相反数为(2,-3)填入2(2,0,-3，此时为1的自由变量是第5列，而第5列原本是取相反数为(4,5)填入3形式形式如103系数矩阵A2121已经是阶梯型，往下化行最简0013rA3,故nrA53找自由变量，方法：本题秩3，就找3阶行列式不为0组合（答案不唯一）例如24列，行列式不0，此时余下的35列就是自由变量令x31,x50由第3行(0,0,0,1,3)得0x10x20x31x43x50x4同理利用第21行得：x1，x 令x0,x1,同理得：x3，x5，x 1 T故基础解系：T

T；5

155 非齐次方程组——下面内容选自李永乐老师的Axb有解rAr唯一解：rArA无穷多解：rArA

Axb无解rA1rArAbb不能由A的列向量线性表1、1,2为Axb的解，则12为Ax02、为Axb的解,为Ax0的解,则是AxbrArAn,则Axb的通解k11k22knrnr为Ax0基础解系，不唯一A

55nrA422，写框架k1k20而基础解系部分，第24位分别进行1,0赋值，如下： kk， 1 2 而基础解系余下的空用前面所讲，自由变量1

-0kk

1

231 重要例题（掌握下面例题就算是过关了，例题来自方浩老师k

为何值时，方

1 无解，有唯一解，无穷多？有解求出全

2 12x3 2解A k k 2 k k

k2

(k1)(2

k)

k(k1、无解：rArA)由上面可知，rA2，欲满足无解，只能rArA3k1)(2k0，且k(k40k22、唯一解：rArA3，只需(k1)(2k0即可k1且k2，第由增广矩阵变换后第三行x2k x，第 k

k22kk第一行x1

k22kk13、无穷多解：rArA3rArA得：k4A

4

l1 1设A 1 ，

，已知Ax a1 a1 a( ：（I）A

1 2a

(A)(A) 2a arA32aa20且a20a（II）：A

0，AA 2，A 1 2 ATA ATA

1

0 通解：2k1 0 （II）：(1,1,a3)T，(0,2,1a)T，(1,3,a2 已知（I）与（II）等价，求a，并将3用（I）解：即r(I)r(II)r(I|11|1011a11|1011a2||0a212a2若a210，且a11aa21，则a此时r(I)r(II)r(I|II)2

若a210，此时r(I)r(II)r(I|II)3(I|)

a2 a2 a2 a2若a2 a210x3a211，x21，x11312若a1 3

2，非齐次通解：2k

0

0

0

1 k (2k3)(k2)2 已知A1,2,3,4)是4阶矩阵，若方程组Ax通解(1,2,2,1)Tk(1,2,4,0)T，B(,,,)，求 解：由题干中解的结构 22 24 4r(,,,) 由基础解系：k(1,2,4,0)T可知,,其中1个均可由剩余2个线性表 故Bx0的基础解系有4r(B)2个解，因此只需从题干中找到2个满足Bx0线性无关的解，由122430，可x14,x22,x31,x40得解[4,2,1,0]，再令x30,x41，结合12243x12,x2 4例5（矩阵方程：步骤和非齐次方程一样，等同于1次解多个非齐次方程矩阵A矩阵A 解：AXA A

A的基础解系：k[1,2,3,1]T,

0

1 k k 2k 2k 2kX ，kX 3k 3k 3k

6（同解Ax0与Bx0rATr(BTrAT|BT x1bx2cx3）2x3x5x0与

2xbx(c1)xxxax

解：即：r(ATr(BTr(AT|BT得 (AT|BT)

b

b24b a cb cb2bcb1cb210，a2 bc1或c 若b1,c0a2时r(ATr(BTr(AT|BT2，满足综上：b1c0a2若1,,n为非齐次方程的解，则：k11knnk 特征值与特征向量（重点是相似，大题特征值与特征向量一般都是|AE|0解特征值AiE)x0解特征向除此之外，对于抽象型矩阵或简单的数字型矩阵，可用观A

即0，、

，0 A2[1,1,1]6A2[1,1,1]6

22

26，2

k，k

1 |A的和矩阵特征向量特征值的特征向量线性组合仍是的特征向传递原理保向运算（保持特征向量不变AmkA 此外A1 |A是重(AE)A(P1AP)(P1)(P1)另外：AATbb例：A

1b

bbb求A的特征值与特征1 解：A

b b(1b)Eb

1 1(1

b11

b

1

是秩为1的矩阵，则n（对角线之和），... 1 则n对应特征向量为k11k1则0对应特征向量为k22knnk2kn不全为故最终A的特征值为1nb1b，2n0b1b1则nb1b对应特征向量为k11k1则1b对应特征向量为k22knnk2kn不全为定义：P1APBA~A~BA，B对应多项式也相似，如A100~A~B，B~CA~A~Br(A)条件：特征向量1,...,n构成的矩阵可逆r(1,...,nn判断方法（常考三阶矩阵1 2 3 1 2 3 rAE1 例：A

5

4a

35

(1)aa4a

26825(2)(283a18) 此时(A2E) 3r(A2E)1，则2 33rA2E)22、2，2283a180 (A4E)

3，显然rA4E)1，故不存在两个线12应用：P1AP 2

1、AnPn2、A~，B~A~

a

求 b值，求可逆矩阵P，使P1AP为对角矩B

A的迹

a3b2a4,b22a3 A

4 A

3E，对于秩1的矩阵，一个特征值迹，其余 3，迹4，0，对应的特征向量11，

0

加上E后，A的特征值为：15，231，特征向量保持P

1

例：设A为三阶矩阵，1,2,3是线性无关的三维列向量，且求矩阵A的特征值（II）A能否相似对角化，写出变换矩阵P和(,,

(,,)

3

2

1

1

由于,,线性无关，则C可逆C1ACBA~ 即本题求B的特征值，以及B是否可以相似对|BE

111

21

23

31，由于A~B故A的特征值1 求B的特征向114的一个特征向量1 1

0

0 0 0

， 0

1令Q,,

1

代入：Q1(C1AC)QCQ)1A(CQ

PCQ

,,2)P1AP

二次型矩阵是对称矩：只有平方二次型矩阵是对称矩：只有平方 的方51、配方法（消除混合项5例：f2x25xx6x2一2[x2

xx

2

x2 1 21 (4x2) 2(x5x)223 f2x25xx6x2二6[x25xx5x)225x2 1 61 12 24 5x)223 12 24注：可以不唯规范型（形式为一定义：x2x2...x2 ,1- 正惯性指数：p，负惯性指数：q，npq0pqr(例：f(xxxx2x22axx4xx的负惯性指数为 1 2解：配方法：fx22axxax)2ax)2x24x 1 2xax)2x24xx2x)24a2x2，题干要求负惯性指数为 2 则(4a202a正交变换目标：QTAQ正交矩阵 要求Q1、两两正交,,,2||||||实对称矩阵实对称矩阵AT1、必可对角2、不同特征值对应的特征向量相互 3，且已经确定，则任意找一个2使得1 0即31特技

向量积存在正交矩阵Q使得QTAQ1、，[,,化Q

,3