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文档简介
2020年1月2020届清华中学生标准学术能力诊断性考试数学(文)试卷★祝考试顺利★本试卷共150分,考试时间120分钟。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合u=N,A={x|x=2n,nWN},B={x|l<xW6,nWN},则(/)IB二{2,3,4,5,6}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{3,5}2•复数z=(1—mi)2(i为虚数单位)为纯虚数,则实数血=A.土1B.—1C.1D.03.以双曲线#-x2=1的顶点为焦点,离心率为丰的椭圆的标准方程为B.x2y2+=134C.x2y2+=196D.x2y2+=169lnx4.函数f(x)=—1的部分图像是x3x3(冗)3sina+—=—,则cos2a+—13J5I6丿5.已知aW(O,n),25B.—242525D.—25B.—242525D.—7256.点P,Q在圆X2+y2+kx—4y+3=0上(kWR),且点P,Q关于直线2x+y=0对称,则该圆的半径为A.B.J2C.1D.2迂'7•已知函数f(x)=X3—x和点P(1,—1),则过点P与该函数图像相切的直线条数为
A.12348•某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是7C.—cm3D.7cm367A.12348•某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是7C.—cm3D.7cm367cm337A.—cm329•已知数列{a}是等比数列,前n项和为S,则“2a>a+a”是315B.nA.必要不充分条件nB.充分不必要条件S<0”的2n-1C.充要条件10.在△PAB中,D.既不充分也不必要条件uuruur已知OB=-J2,IbA=1,ZAOB=45°,点P满足uuruuuuruuuruuuruuruOP二九OAOB(入,卩WR),其中2入+卩=3满足,则|OP|的最小值为A.迈B.空5C.应D.鱼553211•边长为2的等边AABC和有一内角为30。的直角厶ABC所在半平面构成60°的1二面角,则下列不可能是线段CC的取值的是1TOC\o"1-5"\h\za<3010'10A.B.、10C.D.-一323已知不等式x+alnx+丄Mxa对xW(1,+g)恒成立,则实数a的最小值为exA.—yeB.——C.—eD.—2e2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。如图所示的程序框图的输出值ye(0,1],则输入值xw。u.Jdog;u.Jdog;u+l)JfSfr兀在△ABC中,2bsinA=acos(B-_),b=2,若满足条件的△ABC有且仅有一个,6则实数a的取值范围是15过点P(1,1)作直线'与双曲线x2-与八交于AB两点,若点P恰为线段AB的中点,则实数入的取值范围是。如图,正三角形ABC边长为2,D是线段BC上一点,过C点作直线AD的垂线,交线段AD的延长线于点E,则|AD|・|DE|的最大值为。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。17.(12分)根据某省的高考改革方案,考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试。根据以往统计资料,1位同学选择生物的概率为0.5,选择物理但不选择生物的概率为0.2,考生选择各门学科是相互独立的。(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率;
(2)某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率。(12分)设数列{a}是公差不为零的等差数列,其前n项和为S,a=1。若a,nn11a,a成等比数列。25(1)求a及S;1⑵设1⑵设bna2一1n+1(neN*),求数列{b}前n项和T。nn兀(12分)如图,四棱锥P—ABCD中,AP丄平面PCD,AD//BC,ZDAB=—,AP=2AB=BC=-AD,E为AD的中点,AC与BE相交于点0。2PP⑴求证:P0丄平面ABCD;(2)求AB与平面PBD所成角9的正弦值。(12分)已知f(x)=lnx,g(x)=Jx。⑴若f(x)+厶>g(x)在(0,1]恒成立,求实数a的取值范围;g(x)(2)若m,n>0,m+n=1,求证f(m)f(n)-[g(m)]2[g(n)]2<4(2)若m,n>0,m+n=1,(12分)如图,已知圆Q:(x+2)2+(y—2)2=1,抛物线C:y2=4x的焦点为F,(2)求AABC面积的取值范围。过F的直线I与抛物线过F的直线I与抛物线C交于A,B两点,过F且与I垂直的直线I'与圆Q有交点。卫O(1)求直线I'的斜率的取值范围;(第21题图)(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为1x=1+2cosay=一弋3+2sin(其中a为参数,aeR)。在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,曲线C2—丫兀'的极坐标方程为psin6-一=a。\6丿(1)求曲线C的普通方程和曲线C的直角坐标方程;12(2)若曲线C上恰有一个点到曲线C的距离为1,求曲线C的直角坐标方程。122[选修4-5:不等式选讲](10分)⑴解不等式|x+l|—|2x—5|+叮3—22>0;⑵求函数y=3J2x-4+2€3-x的最大值。
2020年1月2020届清华中学生标准学术能力诊断性考试中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试文科数学(一卷)答案一.逸捋题:本大题共口小题.每小题5分.共so分.在毎小题恰出的四个选项中「只有一项是符合题目要求的.12123456DADABB89101112BCBADC二壤空题:本大縣共山小超,毎小懸5分.共河分”15-[-1,0)11(0,1]14.(O:2]U{4)16.三、解答题:共兀分.烬答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”第题为必考题.毎个试题考生都疊须作客.第空、茁题为选考题.考生根据要求件答.<-)必考题:创分*解:记』表示事件:考生选择生物学科片表不事件:考牛选择物印怛不进择牛物学料;Q壺云事件:离生至少逸择生物-物理两门学科中的1门学科;口表示爭件:选择生辆但不选择物理E表示事件:冋时选择生辆、物理两门学科TOC\o"1-5"\h\z(1)P(A)-O.5fP(B)^02,USMCIS=02分戸©7(赳$)-』3卜巩占)=0一丁予分(2)由某榄高二段400名学生屮.选释生物但不选择物理的人数为144可知AZ?)=035…门佥因为DUET9分0.5-035-0.15□分
■3分12>1⑵因为直14斛⑴18,端;■3分12>1⑵因为直14斛⑴18,端;<1>说数列{碍]的仝差为de沖=0九所以碍=加一1,%=押由己知卫戸丄面尸°?可得HP丄PC.毘P丄QD,由越意箒A£CD^直角梯畛飙图所示.易得J?E打匚D,所以・AP丄EE.山邀总帘,■9廿4tj(h+J)4^mfl+1分9分2辰1112分在直角梯形启BCD中,AC=^AB=^AP,肿丄更分9分2辰1112分在直角梯形启BCD中,AC=^AB=^AP,肿丄更C,所以心匚为尊樱直角二角彬,0为斜边AC上的中点,所^PO_AC.(2^it--:比0为區点,分別収OEOC,OP两X轴,轴,畫轴的建立宜桶半标系,法一:f等体积扶求A到平面PBD的距离)V^l^BEiAC・所以BE丄丄而APC^.BFLPO-■.■BEr]AC=O,BE^W]ABCD.所HFO丄屮血貝月仞枝禅=(x,v,z)杲平面PBD的法向虽.满足v5=°馳n-BD=0—工-4-2=0/'■・测令工=1•解得A《*円'於一<第1赠不妨设£0=1A(Or-lrO).B(LO,O)rP(0A1).1X21,0)”LiB-w设AB=1*点胃到平面PBD的护离为h,计算可得PB=1,PD二馆-BD二廳S吨二半■9分+斗阳」4心如夕尸0気他丸FO二普1L分12分解得1L分12分11sin^=—=—75?AB1120.解(1)血兀4■了=王%^在(0,1]恒成立,得trX龙一J^ln天在(0,1]恒成立。•令h(jc)=x—VxIna*贝1|h'(a)—$丘___-2-Jx卷赵(i)—2-Jx-lux—2*则u(x)——-丄莖0在血1]恒成立,Jirx'所以在(0,1]上,试X)>«(!)=0,所以在(叩]±ft(x]>0r所UU(刃在(卽]上連増・所以在©】]上时x)兰占(1)=1.所以空之1(2)即证:In加沁+”他冲总{UJ)由("禺山兀亠十之石,即-hix£宁^当且仅肖工=1时联到等号,因为他丹芒@1),所以0<-]n?M--^―.0<-1iim21--Lt用以.liwln"V昉云\9WgPHIyfnV/i所以lnm■lnft—所以lnm■lnft—mri<5/111/1—run—+丄兰丄.即-g2(m)s2(rr)<444成立12^成立21,解:<1)显然』的斜率存在且下为0,设I:jc=+L®Zf:mx+y—m=Q,所以直线『斜率的取值范围为3_屈3所以直线『斜率的取值范围为3_屈3+希4'4■2分…斗分lx=my+\⑵设级闷,升)卫厲山)联立方程组彳,,得y—4xy—4my—4=0>即y^+y2~4用,”--4|AB|=|AB|=Jl+nF卜]-y2=vl+tn2J16m2+16=4(m2+1)O到直线AB的距离为一曲+1(二)选看题:共10分.墙考生在第22,23题中任选一题作售,如果名做,皿按所融的第一题计分一作答时请写淸題号一22,【选^4-4=坐标系与参数方程】解:(1)G的普通方程为(x—1『-(y+J?『=42分分分39分10分,-』4-2+2苗(2)由于圆G的半径为2’圆q上恰有一个点到岂^x-y/3y+2a=0的蹋离为I,所以/.曲线U]的直角坐标方程为工亠岛」十2二0或工」筋y~10=0L0分2乱【选修4-仝不等克选讲】(O解:原不等式化为x4-1~—5+10当c>-吋,原不等武为兀Z—(力一5)片返一心0得兀片BP-<jt<5+V2:22当一1乞工兰弓吋,原不锌式为耳十1+(2工一5)+Q—IaO得兀〉上乎当尤V—1时■.原不辱式为一(忑十1
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