八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题

八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题资料仅供参考文件编号：2022年4月八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：反比例函数知识点归纳和典型例题知识点归纳（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；

在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；

在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，

则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，

则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．例题分析

1．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．y=3xB．C．3xy=1D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．B．C．D．2．图象和性质

（1）已知函数是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．

②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图

象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不

经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，

则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（）．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．

A．B．C．D．7、已知，则函数和的图象大致是（）yyxOyxOyxOyxO（A）（B）（C）（D）3．函数的增减性

（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．

A．正数B．负数C．非正数D．非负数

（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

y随x的增大而减小的函数有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．5、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（）．A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜0，或x＞2D．x＜－1，或0＜x＜2AABOxy第4题2123－3－1－213－3－1－24．解析式的确定

（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．

A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定

（6）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

（7）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．

（8）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：

①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么5．面积计算

（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．

A．B．C．D．

第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)求△AOC的面积；(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．7．如图，已知反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象经过点A(－1，3)，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A和点C(0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B．(1)求这两个函数的解析式；OCAByOCAByx8、如图所示，一次函数和反比例函数的图象在第一象限内的交点为．⑴求的值及这两个函数的解析式；⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．6．综合应用

（1）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（2）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．4．如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．5．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．6．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．