空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的观点及其运算与平面向量近似，向量加、减法的平行四边形法例，三角形法例以及有关的运算律仍旧成立．空间向量的数目积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推行，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推行．2、当、为非零向量时．是数形联合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的重点，往常能够与向量的运算法例、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式是应用空间向量求空间中各样角的基础，用这个公式能够求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的差别），再联合平面的法向量，能够求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描绘空间中直线和平面的相对地点的重要观点，经过研究方向向量与法向量之间的关系，能够确立直线与直线、直线与平面、平面与平面等的地点关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的地点关系的常用方法1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即．3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判断定理转变为线线垂直问题．5）面面平行①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；②转变为线面平行、线线平行问题．6）面面垂直①证明两个平面的法向量相互垂直；②转变为线面垂直、线线垂直问题．6、运用空间向量求空间角1）求两异面直线所成角利用公式，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是，故实质上应有：．2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，经过数目积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，而后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转变为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各样距离一般都能够转变为求点与点、点与线、点与面的距离．1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，所以也就是这两点对应向量的模．2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数目积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推行到空间，运用空间向量解决有关直线、平面地点关系的问题，应领会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵巧选择运用向量方法与综合方法，从不一样角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特色是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到详细、化难为易的作用．所以，应娴熟掌握平面法向量的求法和用法．4、增强运算能力的培育，提升运算的速度和正确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关观点1、空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数目的差别．数目是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量同样，也能够用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量对应的有向线段的起点是A，终点是B，则向量能够记为，其模长为或．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为．零向量的方向不确立，是随意的．因为零向量的这一特别性，在解题中必定要看清题目中所指向量是“零向量”仍是“非零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在此后的学习中还要常常用到．5、相等向量长度相等且方向同样的空间向量叫做相等向量．若向量与向量相等，记为=.零向量与零向量相等，随意两个相等的非零向量都能够用空间中的同一条有向线段来表示，而且与有向线段的起点没关．6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．的相反向量记为－二、共面向量1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量．2、共面向量定理若两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使得=。3、空间平面的表达式空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使或对空间任必定点O,有或（此中）这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件．三、空间向量基本定理1、定理假如三个向量、、不共面，那么对空间任一直量，存在独一的有序实数组x、y、z，使=2、注意以下问题1）空间随意三个不共面的向量都能够作为空间向量的一个基底．2）因为可视为与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是。3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是有关系的不一样观点．由空间向量的基本定理知，若三个向量、、不共面。那么全部空间向量所构成的会合就是,这个会合可看做是由向量、、生成的，所以我们把称为空间的一个基底。、、叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．、向量的坐标表示1）单位正交基底假如空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用表示．（2）空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以、、的方向为正方向成立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．则成立了一个空间直角坐标系O－xyz,点O叫原点，向量、、都叫坐标向量．（3）空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量,且设、、为坐标向量，存在独一有序数组（x，y，z）使，有序数组（x，y，z）叫做在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记为=。对坐标系中任一点A，对应一个向量，则=。在单位正交基底、、中与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z）.四、空间向量的运算1、空间向量的加法三角形法例（注意首尾相连）、平行四边形法例，加法的运算律：互换律联合律2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O，作，则，即从的终点指向的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．3、空间向量的数乘运算1）定义实数与的积是一个向量，记为，它的模与方向规定以下：①②当时，与同向；当时，与异向；当时．注意：①对于实数与空间向量的积的理解：我们能够把的模扩大（当>1时），也能够减小（<1时），同时，我们能够不改变向量的方向（当时），也能够改变向量的方向（当时）。.②注意实数与向量的积的特别状况，当时，；当，若时，有。③注意实数与向量能够求积，可是不可以进行加减运算．比方，没法运算。2）实数与空间向量的积知足的运算律设λ、μ是实数，则有（联合律）（第一分派律）（第二分派律）实数与向量的积也叫数乘向量．4、共线向量（1）共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。若与是共线向量，则记为性质假如非零向量，是与方向同样的单位向量，θ是的夹角，则1）2）3）若同向，则；若反向，则；特别地：4）若θ为5）运算律1）联合律2）互换律3）分派律不知足消去律和联合律即：【典型例题】例1.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求证：E、F、G、H四点共面。证明：分别延伸PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心M、N、Q、R为所在边的中点，按序连接MNQR所得四边形为平行四边形，且有∵MNQR为平行四边形，则∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面。例2.以下图，在平行六面体中，，，，P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C'D'的中点，点Q是CA'上的点，且CQ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：1）；（2）；（3）；（4）。解：连接AC、AD'1）；2）；3）4）评论：本例是空间向量基本定理的推论的应用．此推论意在用分解定理确立点的地点，它对于此后用向量方法解几何问题很实用，选定空间不共面的三个向量作基向量．并用它们表示出指定的向量，是用向量解决几何问题的一项基本功．例3.已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC。M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证：OG⊥BC。证明：连接ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ又设，，，则。又∴OG⊥BC例4.已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。1）求认为邻边的平行四边形面积；2）若，且垂直，求向量的坐标。解：（1）由题中条件可知∴∴认为邻边的平行四边形面积：（2）设由题意得解得∴第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，明显一条直线的方向向量能够有无数个．、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，能够确立空间中的直线和平面．（1）如有直线于直线l上随意一点

l,点A是直线lP，必定存在实数

上一点，向量是l的方向向量，在直线lt，使得，这样，点A和向量不单能够确立

上取，则对l的地点，还可详细表示出l上的随意点．（2）空间中平面α的地点能够由α上两条订交直线确立，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是和，P为平面α上随意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得，这样，点O与方向向量、不单能够确立平面α的地点，还能够详细表示出α上的随意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，明显一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A和一个向量，那么以向量为法向量且经过点A的平面是独一确立的．三、直线方向向量与平面法向量在确立直线、平面地点关系中的应用1、若两直线l1、l2的方向向量分别是、，则有l1（2）依据线面平行的判断定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也能够在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．3）依据共面向量定理可知，假如一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确立的平面必然平行，所以要证明一条直线和一个平面平行，只需证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行1）由面面平行的判断定理，要证明面面平行，只需转变为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量、，则要证明α设分别是直线l1、l2的方向向量，依据以下条件判断l1与l2的地点关系。（1）=（2，3，－1），=（－6，－9，3）；（2）=（5，0，2），=（0，4，0）；（3）=（－2，1，4），=（6，3，3）解：（1）∵，=（－6，－9，3）∴，∴，∴l1设分别是平面α、β的法向量，依据以下条件判断α、β的地点关系：1）=（1，－1，2），=（3，2，）；2）=（0，3，0），=（0，－5，0）；3）=（2，－3，4），=（4，－2，1）。解：（1）∵=（1，－1，2），=（3，2，）∴∴α⊥β（2）∵=（0，3，0），=（0，－5，0）∴3）∵=（2，－3，4），=（4，－2，1）∴既不共线、也不垂直，∴α与β订交评论：应娴熟掌握利用向量共线、垂直的条件。例3.已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。解：因为A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），∴=（－3，4，0），=（－3，0，5）设平面ABC的法向量为（x，y，z）则有即取z=1，得，于是=（），又∴平面α的单位法向量是例4.若直线l的方向向量是=（1，2，2），平面α的法向量是=（－1，3，0），试求直线与平面α所成角的余弦值。剖析：以下图，直线l与平面α所成的角就是直线l与它在平面内的射影所成的角，即∠ABO，而在Rt△ABO中，∠ABO=∠BAO，又∠BAO能够看作是直线l与平面α的垂线所成的锐角，这样∠BAO就与直线l的方向向量a与平面α的法向量n的夹角成立了联系，故可借助向量的运算求出∠BAO，进而求出∠ABO，获得直线与平面所成的角。解：∵=（1，2，2，），=（－1，3，0）∴，，∴若设直线l与平面α所成的角是θ则有∵∴所以，即直线l与平面α所成角的余弦值等于。例5.如图（a）所示，在正方体中，M、N分别是、的中点。求证：（1）MN如图，在正方体中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点。求证：A1O⊥平面GBD。证明：设，则而∴同理∴，又，∴面GBD。例7.（2004年天津）如图（a）所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。1）证明：PA正方体中，E、F分别是、的中点，求：1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。解：不如设正方体棱长为2，分别取DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴成立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由=（－1，0，2），=（1，－1，2），得，=－1＋0＋4=3又∴，∴所求值为（2）∵=（0，1，0）=（－1，0，2）·（0，1，0）=0AE⊥EF，过C作CM⊥AE于M则二面角C—AE—F的大小等于∵M在AE上，∴则=（－m，0，2m），=（－2，2，0）－