四川大学机械制图课件第章 投影法和点直线平面的投影

第1章投影法和点、直线、平面的投影

1.2点的投影

1.3直线的投影

1.4求线段实长及对投影面的倾角

1.5两直线的相对位置1.6平面的投影

1.1投影法的基本知识返回1.1投影法的基本知识

1.1.1投影法概念

1.1.2投影法的分类

1.1.3正投影法的基本性质

1.1.1投影法的概念投影面Pa投影投射线bS投影中心A

空间点B将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。

1.1.2投影法的分类

1.中心投影法

投射线汇交于一点。2.平行投影法

投射线互相平行。

（1）斜投影

投射线与投影面倾斜的平行投影。

（2）正投影

投射线与投影面垂直的平行投影。1.中心投影法HS2.平行投影法----斜投影H2.平行投影法----正投影90°H

1.1.3正投影法的基本性质

1.

实形性

当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2.

积聚性

当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。

3.

类似性

当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。1.实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。edca（b）CDEBAH2.积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。3.类类似似性性CDEedcBAabH当线线段段或或平平面面倾倾斜斜于于投投影影面面时时，，其其投投影影变变短短或或变变小小。。1.1点点的的投投影影1.1.1点点在在两两投投影影面面体体系系中中的的投投影影1.1.2点点在在三三投投影影面面体体系系中中的的投投影影1.1.3两两点点的的相相对对位位置置和和重重影影点点1.1.1点点在在两两投投影影面面体体系系中中的的投投影影5.点在在其其他他分分角角的的投投影影3.点点的的两两面面投投影影图图2.两两投投影影面面体体系系的的建建立立4.两投投影影面面体体系系中中点点的的投影影规规律律1.点点的的两两个个投投影影能能唯唯一一确确定定该该点点的的空空间间位位置置1.点点的的两两个个投投影影能能唯唯一一确确定定该该点点的的空空间间位位置置HVOXaaA2.两两投投影影面面体体系系的的建建立立XO两投投影影面面体体系系由由V面和和H面二二个个投投影影面面构构成成。。V面和和H面将将空空间间分分成成四四个个分分角角。。处处在在前前、、上上侧侧的的那那个个分分角角称称为为第第一一分分角角。。我我们们通通常常把把物物体体放放在在第第一一分分角角中中来来研研究究。。正立立投投影影面面投影影轴轴VH水平平投投影影面面3.点点的的两两面面投投影影图图HVOXaAa点的的二二面面投投影影图图是是将将空空间间点点向向二二个个投投影影面面作作正正投投影影后后，，将将二二个个投投影影面面展展开开在在同同一一个个面面后后得得到到的的。。点A的的正正面面投投影影点A的的水水平平投投影影XHVOaaax两面面投投影影图图的的画画法法HHVOXa

aAax展开开时时，，规规定定V面不不动动，，H面向向下下旋旋转转90。用用投投影影图图来来表表示示空空间间点点，，其其实实质质是是在在同同一一平平面面上上用用点点在在二二个个不不同同投投影影面面上上的的投投影影来来表表示示点点的的空空间间位位置置。。通常常不不画画出出投投影影面面的的范范围围XOaaax4.两两投影影面体体系中中点的的投影影规律律HVOXa

aAaxXOaaax点的V面投影影与H面投影影之间间的连连线a‘a垂直于于投影影轴0X；点的的一个个投影影到0X投影轴轴的距距离等等于空空间点点到与与该投投影轴轴相邻邻的投投影面面之间间的距距离，，即a'ax=Aa，，aax=Aa'。1.2.2点点在在三投投影面面体系系中的的投影影1.三三投影影面体体系的的建立立2.点点的三三面投投影图图3.点点的三三面投投影与与直角角坐标标的关关系4.三三投影影面体体系中中点的的投影影规律律5.特特殊点点的投投影1.三三投投影面面体系系的建建立HVXOZYW三投影影面体体系由由V、H、W三个投投影面面构成成。H、V、W面将空空间分分成八八个分分角，，处在在前、、上、、左侧侧的那那个分分角称称为第第一分分角。。我们们通常常把物物体放放在第第一分分角中中来研研究。。2.点点的的三面面投影影图HVXZYWOA点的三三面投投影图图是将将空间间点向向三个个投影影面作作正投投影后后，将将三个个投影影面展展开在在同一一个面面后得得到的的。展展开时时，规规定V面不动动，H面向下下旋转转90，W面向右右旋转转90。aaaHa

aa

VWXOZYWYHa

aa

XOZYWYH通常不不画出出投影影面的的范围围HVXZYWOayaxazxyzaaaHaaaVWXOZYWYHaxayazay3.点点的的三面面投影影与直直角坐坐标的的关系系若把三三个投投影面面当作作空间间直角角坐标标面，，投影影轴当当作直直角坐坐标轴轴，则则点的的空间间位置置可用用其（（X、Y、Z）三个个坐标标来确确定，，点的的投影影就反反映了了点的的坐标标值，，其投投影与与坐标标值之之间存存在着着对应应关系系。yAxAzA4.三三投投影面面体系系中点点的投投影规规律HVXZYWOayaxazxyzaaaaaaXOZYWYHaxayazay点的V面投影影与H面投影影之间间的连连线垂垂直于于0X轴，即即a‘a⊥0X；点的的V面投影影与W面投影影之间间的连连线垂垂直0Z轴，即即a’a““⊥0Z；点的的H面投影影到0X轴的距距离及及点的的W面投影影到0Z轴的距距离两两者相相等，，都反反映点点到V面的距距离。。长对正正高高平齐齐宽宽相相等5.特特殊位位置点点的投投影OXb

bc

cHVOXCcca

bBb

Aaa

a投影面面上的的点投影轴轴上的的点与原点点重合合的点点三面投投影体体系中中特殊殊位置置的点点投影影例1已知点点A的正面面与侧侧面投投影，，求点点A的水平平投影影。ZYHXYWOaaaXOZY1.两两点点的相相对位位置a

a

ab

b

bBA两点的的相对对位置置是根根据两两点相相对于于投影影面的的距离离远近近（或或坐标标大小小）来来确定定的。。X坐标值值大的的点在在左；；Y坐标值值大的的点在在前；；Z坐标值值大的的点在在上。。XZYWYHOaa

ab

bb

2.重重影影点c(c)dda(b)abAB若两点点位于于同一一条垂垂直某某投影影面的的投射射线上上，则则这两两点在在该投投影面面上的的投影影重合合，这这两点点称为为该投投影面面的重重影点点。CDXYHZYWOc(d)ba(b)acdabcd判断重重影点点的可可见性性时，，需要要看重重影点点在另另一投投影面面上的的投影影，坐坐标值值大的的点投投影可可见，，反之之不可可见，，不可可见点点的投投影加加括号号表示示。例2已已知知A点在B点的右右10毫米米、前前6毫毫米、、上12毫毫米，，求A点的投投影。。a

a

aXZYWYHOb

bb

121061.3直直线线的投投影1.3.1直直线的的三面面投影影1.3.2直直线对对投影影面的的相对对位置置1.3.3直直线上上的点点OXZY1.3.1直直线的的三面面投影影ABbbabaaZXabaOYYabb空间任任何一一直线线可由由直线线上任任意两两点所所确定定，直直线在在某一一投影影面的的投影影可由由该直直线上上某两两点的的同面面投影影所确确定。。1.3.2直直线对对投影影面的的相对对位置置1.投投影面面平行行线平行于于某一一投影影面，，与另另外两两个投投影面面倾斜斜的直直线(1)水平线线(2)正平线线(3)侧平线线2.投投影面面垂直直线垂直于于某一一投影影面的的直线线(1)铅垂线线(2)正垂线线(3)侧垂线线3.一一般位位置直直线与三个个投影影面都都倾斜斜的直直线水平线线—平平行于于水平平投影影面的的直线线XZYOaababb

Xa

b

ab

OzYHYWbaAB投影特特性：：1.abOX;abOYW2.ab=AB3.反映、角的真真实大大小XZYO正平线线—平平行于于正面面投影影面的的直线线XababbaOZYHYWAB

投影特特性：：1、abOX;abOZ2、ab=AB3、反映、角的真真实大大小aababbXZYO侧平线线—平平行于于侧面面投影影面的的直线线XZOYHYWa

b

babaAB投影特特性：：1、、abOZ;abOYH2、ab=AB3、、反映、角的真真实大大小aa

b

a

bbOXZYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特特性：：1、、ab积聚成成一一点2、abOX;abOY3、ab=ab=AB铅垂线线—垂垂直直于水水平投投影面面的直直线ABb

a(b)a

ab正垂线线—垂垂直直于正正面投投影面面的直直线OXZY投影特特性：：1、ab积聚成成一一点2、、abOX;abOZ3、ab=ab=ABABzXab

baOYHYWabbababa侧垂线—垂垂直于侧面投投影面的直线线OXZYAB投影特性：1、ab积聚成一点点2、abOYH;abOZ3、ab=ab=ABbaababZXabbaOYHYWabOXZY一般位置直线线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影影轴3、不不反映、、实角直线上的点具具有两个特性性：1从属性若点在直线上上，则点的各各个投影必在在直线的各同同面投影上。。利用这一特特性可以在直直线上找点，，或判断已知知点是否在直直线上。2定比性属于线段上的的点分割线段段之比等于其其投影之比。。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb利用这一特性性，在不作侧侧面投影的情情况下，可以以在侧平线上上找点或判断断已知点是否否在侧平线上上。1.3.3直直线上的的点ABbbaaXOccCcbXaabcc例3已已知线段AB的投影图，试试将AB分成1：2两两段，求分点点C的投影。O例4已已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO1.5两两直线的相对对位置（1）两平行行直线在同一一投影面上的的投影仍平行行。反之，，若两直线在在同一投影面面上的投影相相互平行，则则该两直线平平行。（2）平行两两线段之比等等于其投影之之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc1.平行两直直线OO平行线的判断断(1)平行线的判断断(2)平行线的判断断(3)2.相交两直直线两相交直线在在同一投影面面上的投影仍仍相交，且交交点属于两直直线。反反之，若两两直线在同一一投影面上的的投影相交，，且交点属于于两直线，则则该两直线相相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO3.交叉两直直线凡不满足平行行和相交条件件的直线为交交叉两直线。。XOBDACbbaaccdd211(2)21bXaabcddc11(2)2O判断重影点的的可见性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判断重影点的的可见性时，，需要看重影影点在另一投投影面上的投投影，坐标值值大的点投影影可见，反之之不可见，不不可见点的投投影加括号表表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例7判断断两直线重影影点的可见性性OdacboYWYHZXaacddcbb例6判断两两直线的相对对位置不用这个方法法!应该怎样样做!!例题1-3(14P)非机p42比例法法-直线相交交xo例：判断直线线AB、CD的相对位置置c’d’cda’b’ba反证法推理1.假定相交交2.检验比例例.e’.21作取a2=a’b’a1=a’e’连b2,过1作1e//b2ee不在此处交叉（异面））例题1-4(15P)非机p43直线综综合例：已知直线线AB、CD、EF。作作水平线MN与AB、、CD、EF分别别交于点M、、S、T，N点在V面之之前6(工程上缺省为为mm)xoa’b’ba.cdc’d’e’f’.ef侧平正垂铅垂读图垂线积聚水平线m’n’//ox比例法定AB上的M点s’m’t’t取a2=a’’b’a1=a’m’21.m.6ns..n’四直直线的换换面1.将一般般位置直线变变为投影面平行线线VHXAaBb

abV1X1a1b1a1b1

X1V1HbabaXVH例1把把一般位置置直线AB变为H1投影面平行线线babaXHVXH1Va1b1VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa12.将投影面平行线线变为投影面面垂直线bb3.将一般般位置直线变变为投影面垂直线线XHaAabbBVV1X1H1a2b2a1b1将一般位置直线线变为投影面面垂直线XH1V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1aaXbbcc思考题1如如何求点点C到直线AB的距离？XH1V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1提示aaXbbcdcd思考题2如如何求求两直线AB与CD间的距离？XH1V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1V提示五一边平行于某某一投影面的的直角的投影影AHBCacbcXbacba互相垂直（相相交或交叉））的两直线其其中一条为投投影面平行线线时，则两直直线在投影面面上的投影必必定互相垂直。反之，若两直直线在某一投投影面上的投投影成直角，，且其中一条条直线平行于于该投影面时时，则空间两两直线一定垂直。O例题1-8(20P)作交叉二直线线AB、CD的公垂线EFXa’b’c’d’cdab...eff’平行线特征e’.例：在直线AB上找一一点C使与H、V等距XZYHYwOa’ab’ba””b””c””...c’’c45°°线线另法法：：作作ab关关于于ox的的对对称称线线得得交交点点c’’一般般位位置置线线段段在在投投影影图图上上反反映映不不出出线线段段的的实实长长及及对对投投影影面面的的倾倾角角。。1.几几何何分分析析2.作作图图要要领领用线线段段在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影长长作作为为一一条条直直角角边边，，再再以以线线段段的的两两端端点点相相对对于于该该投投影影面面的的坐坐标标差差作作为为另另一一条条直直角角边边，，所所作作直直角角三三角角形形的的斜斜边边即即为为线线段段的的实实长长，，斜斜边边与与投投影影长长间间的的夹夹角角即即为为线线段段与与该该投投影影面面的的夹夹角角。。3.直直角角三三角角形形的四四个个要要素素实长长、、投投影影长长、、坐坐标标差差及及直直线线对对投投影影面面的的倾倾角角。已已知知四四要要素素中中的的任任意意两两个个，，便便可可确确定定另另外外两两个个。。六一般般位置线线段的实实长及对对投影面面的倾角角(直角三角角形法求求直线的的真长和和对投影影面的倾倾角）几何分析析|zA-zB

|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO例5已已知线线段的的实长AB以及ab和a’，求它的的正面投投影a’b’’。aXabAOBb0bb0bb0b’b’例题1-10(22p)已知线段段AB长长30,并与CD平行行，求作作AB的的二面投投影Xc’d’cd..a’a可知直线线AB的的投影，，但要定定B点用直角三三角形法法先定CD实长长ΔzΔz.由AB长长30.ab.b.b’已知等腰腰三角形形的底边边BC属属于水平平线MN,顶点点A属于于直线EF,又又知BC的中点点为D,BC和和AD等等长，求求作ΔABC的的投影Xe’f’m’n’d’a’b’c’efmnadbcadΔzadTLAD已知直角角三角形形ABC的一直直角边AB//V面；；斜边AC=60，且且与H面面成60°夹角角，请完完成ΔABC的的投影Xa’b’ab60ACac60°ΔzACΔzACc’c1.4平平面的的投影一平平面的的表示法法二各各种位置置平面的的投影特特性三面上上的点和和直线1.4平平面的表表示法1.几何元素素表示平平面用几何元元素表示示平面有有五种形形式：（1）不不在一直直线上的的三个点点；（2）一一直线和和直线外外一点；；（3）相交交两直线；；（4）平行行两直线；；（5）任意意平面图形形。2.平面的迹线线表示法平面的迹线线为平面与与投影面的的交线。特特殊位置平平面用迹线线来表示是是用其具有有积聚性的的一条边线线来表示。。1.几几何元素素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用几何元素素表示平面面有五种形形式：（1）不在在一直线上上的三个点点；（2）一直直线和直线线外一点；；（3）相交交两直线；；（4）平行行两直线；；（5）任意意平面图形形。2.迹线线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW1.4各各种位置平平面的投影影特性1.投影的的垂直面(1)铅垂面(2)正垂面(3)侧垂面2.投影的的平行面(1)水平面(2)正平面(3)侧平面3.一般位位置平面铅垂面投影特性：：1、水平投影abc积聚为一条条直线2、正面面投影abc、侧面投影abc为ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大大小VWHPPHABCacbababbaccc类似性类似性聚积性铅垂面迹线线表示VWHPPHPHPVPW正垂面投影特性：：1、正正面投影abc积聚为一条条直线2、水水平投影abc、侧面投影影abc是ABC的类似形3、abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大大小VWHQQVαababbacccAcCabB类似性类似性聚积性正垂面的迹迹线表示VWHQQVαγQV侧垂面投影特性：：1、侧侧面投影abc积聚为一条条直线2、水水平投影abc、正面投影影abc为ABC的类似形3、abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大大小VWHSWSCabABcabbbaaαβccc聚积性类似性类似性侧垂面的迹迹线表示VWHSHSZXOYHSHYαβ水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：：1.abc、abc积聚为一条条线积聚为为一直条线线，具有积积聚性2.水平平投影abc反映ABC实形积聚性实形性积聚性正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：：1.abc、abc积聚为一条条直线，具具有积聚性性2.正平面面投影abc反映ABC实形积聚性实形性积聚性侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：：1.abc、abc积聚为一直直条线，具具有积聚性性2.侧平平面投影abc反映ABC实形积聚性实形性积聚性一般位置平平面abcbacababbaccbacCAB投影特性1.abc、、abc、abc均为ABC的类类似形2.不反反映、、的真实角度度类似性类似性类似性1.4平平面上的的点和直线线（1）平面上的直直线直线在平面面上的几何何条件是：：①通过平平面上的两两点；②通通过平面上上的一点且且平行于平平面上的一一条直线。。（2）平面上的点点点在平面上上的几何条条件是：点点在平面内内的某一直直线上。在平面上取取点、直线线的作图，，实质上就就是在平面面内作辅助助线的问题题。利用在在平面上取取点、直线线的作图，，可以解决决三类问题题：判别已已知点、线线是否属于于已知平面面；完成已已知平面上上的点和直直线的投影影；完成多多边形的投投影。一.平面面上取直线线和点（1）平面上取直直线属于平面上上的直线，，该直线一一定经过属属于该平面面的已知两两点；或经经过属于该该平面的一一已知点，，且平行于于属于该平平面的一已已知直线。。abcabcddeeABCEDFff（2）平面上取点点ABCDEabcabcddee点在平面上上，该点一一定在平面面内的一直直线上。例已知ABC给定一平面面，（1））判断点K是否属于该该平面。（（2）已知知平面上一一点E的正面投影影e’作出水平平投影。kkabcabcddee11XO2.平面面上的特殊殊位置直线线VHPPVPH（1）平面面上投影面面平行线—既在平面上上又平行于于投影面的的直线。在一个平面面上对V、、H、W投投影面分别别有三组投投影面平行行线。平面面上的投影影面平行线线既具有投投影面平行行线的投影影性质，又又与所属平平面保持从从属关系。。水平线正平线例abcbacmnnm已知ABC给定一平面面，试过点点C作属于该平平面的正平平线，过点点A作属于该平平面的水水平线。例已知点E在ABC平面上，且且点E距离H面15，距距离V面10，试试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015eeVAHCBcbXaabca1c1b1V1X1X1V/H体系变为V1/H体系c1b1a1bcabacX1.新投影体系系的建立六平平面的换面面（1）新投投影面必须须和空间几几何元素处处于有利解解题的位置置。（2）新投投影面必须须垂直于原原投影体系系中的某一一个投影面面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a12.新投影面面的选择择原则acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d11.将将一般位位置平面面变为投投影面垂垂直面k1X1H1Vb1a1c1d1s1acbbacddss'例3求求点S到平面ABC的距离HXVCAcbaB2.将将投影面垂垂直面变变为投影影面平行行面X1V1c1b1a1V1c1b1a1X1a1c1b1X1bcabacXVHacbXX1V1c1b1a1bcaacXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H13.将将一般位位置平面变为投投影面平平行面例5已已知知点E在平面ABC上，距离离A、B为15，，求E点的投影影。acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e21.5直直线线与平面面、平平面与平平面的相相对位置置1.7.1平平行行问题1相交问题题2平行问题题3垂垂直问题题4综综合问题题分析相交问题题积聚性法交点与交交线的性性质直线与平平面、平平面与平平面不平平行则必必相交。。直线与与平面相相交有交点，交点既既在直线线上又在在平面上上，因而而交点是是直线与与平面的的共有点点。两平平面的交线是直线，，它是两两个平面面的共有有线。求求线与面面交点、、面与面面交线的的实质是是求共有有点、共共有线的的投影。。PABKDBCALKEF积聚性法法当直线为为一般位位置，平平面的某某个投影影具有积积聚性时时，交点点的一个个投影为为直线与与平面积积聚性投投影的交交点，另另一个投投影可在在直线的的另一个个投影上上找到。。VHPHPABCacbkNKM直线可见见性的判判别bbaaccmmnkn特殊位置置线面相相交，根根据平面面的积聚聚性投影影能直接接判别直直线的可可见性--观察察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅铅垂线线AB与一般位位置平面面ΔCDE相交，求求交点并并判别可可见性。。（2）两两平面面相交fk求两平面面交线的的问题可可以看作作是求两两个共有有点的问问题,由由于特殊位置置平面的的某些投投影有积积聚性，交线可直直接求出出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmmlnbaccabXOfk平面可见见性的判判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO平面可见见性的判判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk平行问题题1直线与平面平行2平面与平面平行直线与平平面平行行直线与平平面平行行的几何何条件:平面外的的一条直直线与平平面内的的一条直直线平行行，则该该直线与与该平面面平行。。特殊情况况:直线线和投影影面垂直直面平行行的条件件!PCDBA例1试试判断直直线AB是否平行行于平面面CDE。fgfgbaabcededc结论：直直线AB不平行于于定平面面XO例2过过点K作一水平平线AB平行于已已知平面面ΔCDE。。baaffbcededkkcXO平面与平平面平行行两平面平平行的几几何条件件:平面面内的两两相交直直线对应应地平行行于另一一平面内内的两相相交直线线。特殊情况况:两平平面都是是投影面面垂直面面时平行行的条件件!PSEFDACBfededfcaacbbmnmnrrss结论：两两平面