2019高考数学“3+2选1”规范练(三)

2019高考数学“3＋2选1”规范练(三)

(时间：45分钟满分：46分)1.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2A+cos2C—cos2B=1+sinAsinC.求角B的大小；若a=3，点D在AC边上且BD丄AC,BD=^4I,求c.［规范解答及评分标准］⑴由cos2A+cos2C-cos2B=1+sinAsinC得1-sin2A+1-sin2C-(1-sin2B)=1+sinAsinC.即sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC.(3分)由正弦定理得a2+c2-b2=-ac,由余弦定理得cosB=由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac因为B€(0,n),所以B=23n.(6分)(2)由(1)及a=3知，b2=a2+c2+ac=c2+3c+9.因为BD丄AC,如・BD.(9分)所以△ABC的面积S=|ac如・BD.(9分)所以；X3XcX#=；XbX1，解得b=5c.<7c>所以k¥=c2+3c+9,解得c=5（负值已舍去）.（12分）2.（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，APAD为等边三角形，AB〃CD,AB=2CD,ZBAD=90°,PA丄CD,E为棱PB的中点.

DF.求证：平面PABDF.求证：平面PAB丄平面CDE；若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A—DE—C的余弦值.又VCD綊1AB,・・CD綊EF..••四边形CDFE为平行四边形••••DFIICE.•/△PAD为等边三角形，.PA丄DF,从而PA丄CE.（3分）又PA丄CD,CDACE=C,.PA丄平面CDE.又PA平面PAB,.平面PAB丄平面CDE.（6分）（2）TAB"CD,PA丄CD,.PA丄AB.*/Z*/ZBAD=90°,又*/P4nAD=A,AAB丄平面PAD.•••CD丄平面PAD,^ZCPD为PC与平面PAD所成的角，即ZCPD=45°,CD=PD.•/△PAD为等边三角形，.PD=AD,.CD=AD.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=4，贝HA(0,0,0),B(8,0,0),P(0,22.j3),D(0,4,0),E(4,l,、：3),•••AE=(4,1,工卩)，AD=(0,4,0).(8分)设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),nAE=0,[4x+y+、/3z=0,则]即仁:ln・AD=0,MyW令z=-4,贝Hxf.jB,y=0..n=0,-4）.（9分）由⑴知，平面CDE的一个法向量为AP=（0,2,2\：1）,（10分）•cos（AP,n〉="=一斗詁.（11分）lAPlInlI9由图可知二面角A—DE—C的平面角为钝角，.••二面角A—DE—C的余弦值为-冷J.（12分）3．（12分）某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃的销售，为了了解该地区果园的樱桃销售情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量（单位：万斤），得到下面的频率分布直方图．（1）从样本中销售量不低于9万斤的果园中随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园的个数X的分布列及其数学期望；（2）该电商经过6天的试运营，得到销售量（单位：万斤）的情况统计表如下：运营第n天123456第n天电商的销售量yn1.211.311.451.712.022.54根据相关性分析，前n天累计总销量T与n之间具有较强的线性相关关系,n由最小二乘法得回归直线方程为T=1.78n+a，用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．n注：1.前n天累计总销售量T=yi.nii=12．在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作为代表．3.1斤=0.5千克.［规范解答及评分标准］（1）由频率分布直方图可得样本中2017年销售量不低于9万斤的果园有（0.10+0.05）X60=9（个），销售量不低于10万斤的果园有0.05X60=3（个）.（2分）随机变量X的可能取值为0丄2,3.

p(xp(x=0)=c3=21,9P(X=1)=C2XC11563=C3"28,9C1XC23C31P(X"2)"6c33=14,P(X"3)"c3=84,99•••随机变量X的分布列为(4分(4分)X0123P51531212884•E(X)=0x21+1X18+2X1^+3X84"1.(6分)（2）由运营期间销售量的情况统计表可得前n天累计总销售量T（单位:万斤）n如下表:运营第n天123456前n天累计总销售量Tn1.212.523.975.687.7010.241+2+3：4+5+6-3.5,－1.21+2.52+3.97+5.68+7.70+10.24T"6"5.22（万斤）（8分）将样本的中心点（3.5,5.22）代入回归直线方程令-1.78n+a，得2"-1.01,二T"1.78n-1.01.（9分）用频率分布直方图中各区间的中点值作为代表,估计该地区2017年的平均销量为4.5X0.05+5.5X0.15+6.5X0.20+7.5X0.30+8.5X0.15+9.5X0.10+10.5X0.05"7.35（万斤）.由题意，得1.78n-1.01214.7，解得n$8.83（11分）•••n€N*,.••该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．（12分）选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么

按所做的第一题计分．4．［选修4－4：坐标系与参数方程］(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)．以O为极点，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以O为极点，x轴y=1+tsina的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=pcos0+2.(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求出曲线C的普通方程；n⑵若a=4,求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标.［规范解答及评分标准］(1)直线l经过定点(-1,1).由p=pcos。+2得p2=(pcosd+2)2,所以曲线C的普通方程为x2+y2=(x+2)2,化简，得y2=4x+4.(4分)(2)若a=4x(2)若a=4x=-1+Jy=1+所以直线l的普通方程为y=x+2,所以直线l的极坐标方程为psinO=pcosO+2.(6分)［p=pcosO+2,由Ia+2得p=psin&［psinO=pcosO+2,n因为pH0，所以sinO=1.取0=2，得p=2.所以直线l与曲线C的交点的极坐标为(2，另.(10分)5．［选修4－5：不等式选讲］(10分)已知函数fx)=lx—11+lx—21，记f(x)的最小值为k解不等式f(x)Wx+1；12是否存在正数a，b同时满足2a+b=k，万+万=4?说明理由.

［规范解答及评分标准］(1)不等式fx)Wx+1等价于lx-11+lx-21-x-1W0.2-3x,x<1,设函数y=lx-1l+lx-2l-x-1,则y=<-x,1WxW2,lx-4，x>2.2令yW0，解得3^x^4.•••原不等式的解集是］x£wxW4j.(4分)(2)f(x)=lx-1l+lx-2l$lx-1-x+21=1，当且仅当(x-1)(x-2)W0，即1WxW2时取等号，所以fx)的最小值为1，故k=1.(6分)假设存在符合条