复变函数与积分变换第五章留数z课件

我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今天尽你最大的努力去做好，明天也许能做的更好.-----牛顿

我反复思索好几个月，好几年；有九十九次都是错的，而第一百次我对了.-----爱因斯坦我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今第五章留数§5.2留数§5.1孤立奇点§5.3留数定理及其应用第五章留数§5.2留数§5.1孤立奇点§5.3主要内容

本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.主要内容本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立奇点四、孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立回顾复积分的计算方法：（4）柯西-古萨基本定理：（5）Cauchy积分公式（6）Cauchy高阶导数公式一、引言回顾复积分的计算方法：（4）柯西-古萨基本定理：（5）Cau问题：如何转化成含有的形式？一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

如图，考虑积分

DrCG(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点此时问题：如何转化成含有的形式？一、引言本章一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

DrC如图，考虑积分

(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?

”得到。G一、引言本章重点解决闭路积分问题。D则称为的零点；(1)若

所谓函数的零点就是方程的根。定义设函数在处解析，(2)若在

处解析且则称为的

m

阶零点。二、零点P81定义

5.3

则称为的零点；二、零点

定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m

阶零点。(2)其中，(3)在内的泰勒展开式为

充要条件(如何判断零点的阶数?

)(进入证明?)二、零点定理设函数在处其中，二、零点

充要条件(如何判断零点的阶数?

)定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m

阶零点。(2)(3)在内的泰勒展开式为收敛且解析其中，二、零点充要条件(如何判断零点的阶数?是的三阶零点。是的三阶零点。方法一

方法二

是的三阶零点。是三、孤立奇点邻域内解析，则称

为

孤立奇点。使得在去心且存在定义设为的奇点，例为孤立奇点。例原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点。P79定义

5.1

三、孤立奇点邻域例(1)令为孤立奇点；(2)也是奇点，但不是孤立奇点。邻域内解析，则称

为

孤立奇点。使得在去心定义设为的奇点，且存在三、孤立奇点例(1)令为孤立奇点；(2)也是xyo这说明奇点未必是孤立的.函数的实部

注:若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.xyo这说明奇点未必是孤立的.函注:若函数的奇点个四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

将在内定义设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(1)若有则称为的可去奇点。(

即不含负幂次项

)P79

四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：则称为的

N

阶极点；(

即含有限个负幂次项

)(2)若有且有特别地，当时，称为的简单极点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(

即含无限个负幂次项

)(3)若有则称为的本性奇点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：小结(1)可去奇点

不含负幂次项；(2)N阶极点

含有限多的负幂次项,且最高负幂次为

N；

(3)本性奇点

含有无穷多的负幂次项。可去奇点本性奇点N阶极点四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域可去奇点本性奇点N阶极点五、如何进行孤立奇点的分类定理

若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：可去奇点的判定方法可去奇点本性奇点N阶极点五、如何进行孤立奇点的(不含负幂次项)解是的奇点，由是的可去奇点。可知，将在的去心邻域展成洛朗级数，有或

如果约定在点的值为

1，则在点就解析了，因此称为的可去奇点。(不含负幂次项)解是的奇点，定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是N阶极点的特征）：(iii)z0是的N阶零点.(可去奇点作为解析点看)N阶极点的判定方法定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（定理若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是与不存在极限的区别定理

若零点，则(1)当时，(2)当时，即为的可去奇点。为的

(n-m)

阶极点。且为的

n

阶零点，为

的

m

阶定理若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极(含有限个负幂次项，且最高负幂次为

2

)解是的奇点，由是的极点。可知，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注

可见，为的二阶极点。(含有限个负幂次项，且最高负幂次为2)解是本性奇点的判定方法定理

z0为f(z)的本性奇点本性奇点的判定方法定理z0为f(z)的本性奇点解是的奇点，考察极限是的本性奇点。因此，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注(含无穷多个负幂次项)由不存在且不为可知，解是的奇点，考察极限是是的一阶极点。判断函数的奇点的类型。例是的二阶极点。解由于是的可去奇点，故解由于是的一阶极点，故是的一阶极点。判断函数由于是的四阶零点，解故是的二阶极点。将在的去心邻域内展成洛朗级数，有

因此，为的二阶极点。注直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握

且是的二阶零点，由于是的四阶零点，解总结:孤立奇点可去奇点N阶极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为总结:孤立奇点可去奇点N阶极点本性奇点Laurent级数的特

小结小结一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

DrC如图，考虑积分

(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?

”得到。G一、引言本章重点解决闭路积分问题。D§5.2

留数一留数的概念二留数的计算方法§5.2留数一留数的概念二留数的计算方法0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)5.2留数0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)5.2留数一、留数的概念将在的去心邻域设为函数的孤立奇点，定义称为在处的留数，记作：内展开成洛朗级数：(两边积分)其中，C

是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。P83定义

5.6

(留数的产生)一、留数的概念将在的去心邻域而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。

二、留数的计算方法若为的可去奇点，方法1.可去奇点若为的本性奇点，方法2.本性奇点则“只好”

将在的去心邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出

“完整”

的洛朗级数，

注只需将其中负一次幂的系数求出来就可以了。

(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，

则而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。二、留数(1)若为的简单极点，特别则(2)若且

在

点解析，则

P84法则3二、留数的计算方法3.极点方法(法则)若为的

m

阶极点，P84法则2

(1)若为的简单极点，特别是的可去奇点，解(1)和均为的一阶极点，(2)是的可去奇点，解(1)(罗比达法则)

是的三阶极点，解(1)为的二阶极点，(2)(罗比达法则)是的三阶极点，解是的本性奇点，解将在的去心邻域内洛朗展开，有是的本性奇点，解将方法一

利用洛朗展式求留数

解将在的去心邻域展开，得方法一利用洛朗展式求留数解将由于是三阶极点，解方法二

利用极点的留数计算法则求解

(罗比达法则)

因此有(好麻烦!)

由于是三阶极点，解方法二

利用极点的留数计算法则求解

若

“不幸”

将判断成了的六阶极点，

巧合?

(非也!)解方法二利用极点的留数计算法则求解如果为的阶极点,取正整数法则4那么注

(1)此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。

(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。

如果为的阶极点,取正整数§5.3

留数定理及其应用一留数定理二留数在定积分计算中的应用§5.3留数定理及其应用一留数定理二留数在定积分DC…一、留数定理处处解析，且连续到边界

C

，定理设在区域D内除有限个孤立奇点外注意只需计算积分曲线

C

所围成的有限区域内奇点的留数。如图，将孤立奇点用含于

D

内且证明互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有则P86定理

5.7

DC…一、留数定理处处解析，且连续到边界C，利用留数定理计算复围线积分的步骤：1明确积分曲线及内部奇点2确定奇点类型,计算留数3应用留数定理,求积分利用留数定理计算复围线积分的步骤：1明确积分曲线及内部奇点解被积函数在内有两个奇点：可去奇点一阶极点解被积函数在解被积函数在内有两个奇点：一阶极点二阶极点解被积函数在解方法一

利用极点的留数计算法则求解

(罗比达法则)为被积函数的二阶极点，方法二利用高阶导数公式求解

解方法一利用极点的留数计算法则求解方法三

利用洛朗展式求解解将被积函数在的去心邻域展开，方法三利用洛朗展式求解解将被积函数极点z=3在的外部.分别是f(z)的3级和1级极点,都在的内部.而练习计算积分其中C是的正向.

记显然z=0和z=1极点z=3在的外部.分别是f(z于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理

在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如

二、留数在定积分计算中的应用在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分显得有用。即使寻二、留数在定积分计算中的应用1、形如的积分2、形如的积分3、形如的积分二、留数在定积分计算中的应用1、形如思想方法

:封闭路线的积分

.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的1、形如的积分方法(1)令则要求是

u,

v

的有理函数，即是以

u,

v

为变量的二元多项式函数或者分式函数。1、形如方法即是以

u,

v

为变量要求是

u,

v

的有理函数，1、形如的积分的二元多项式函数或者分式函数。其中，是在内的孤立奇点。(2)1.被积函数的转化2.积分区域的转化方法即是以u,v为变例

计算积分解积分可以转化为在复平面内有两个零点:在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的方法求解该题.例计算积分解积分可以转化为在复平面内有两个零点由于因此从而被积函数1级极点z1.所以在单位圆周内只有一个由于因此其中，P(x)

,Q(x)为多项式；(2)分母Q(x)的次数比分子P

(x)的次数至少高二次；(3)分母Q(x)无实零点。推导(略)

其中，是在上半平面内的孤立奇点。要求(1)方法2、形如的积分(进入推导?)其中，P(x),Q(x)为多项式；(2)分母Q2.积分区域的转化:在上半平面取一条分段光滑的曲线,使其与实轴的一部分构成一条简单闭曲线,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇点，并使f(z)在其内部除去这种方法称为围道积分法.1.被积函数的转化:当z在实轴上时,f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇点外处处解析.2.积分区域的转化:在上半平面取一条分段光滑的曲线,使

(1)令解(2)(3)在上半平面内，i与3i为一阶极点。(1)令解(2)(3)在上半平3、形如的积分(2)分母Q(x)的次数比分子P

(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。其中，P(x)

,Q(x)为多项式；要求(1)方法3、形如即：即：

在上半平面内，1+3

i为一阶极点。(1)令解(2)在上半平面内，1+3i为一阶极点。(1)令(3)(2)(3)(2)留数计算方法留数定理留数在定积分计算中的应用本章内容总结留数计算方法留数定理留数在定积分本章内容总结1.留数的计算3.留数在定积分计算中的应用本章的重点2.留数定理及在复变函数积分中的应用1.留数的计算3.留数在定积分计算中的应用本章的重点第四章完第四章完KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德国数学家.曾在波恩大学学习法律,1838年转学数学.后来成为中学教师,不仅教数学、物理,还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究.1856年到柏林大学任教,1864年成为教授.Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位大师,他发现了处处不可微的连续函数,与其他一些数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.KarlWeierstrass(1815.10.31-1EugeneRouche(1832.8.18-1910.8.19)法国数学家.在分析学和代数学方面均有贡献.1862年发表了Rouche定理.1875年曾发表文章证明了线性方程组存在解的系数矩阵秩准则.EugeneRouche(1832.8.18-1910.附：留数(Residu)的产生

柯西在“求沿着两条有相同起点与终点且包围着

函数极点的路径积分之差”时得到了这个概念。这也是使用该名称的缘故。1829年柯西创建了留数理论。1814年柯西第一个注意到了留数的概念。(即留数、残数、剩余)这个术语。1826年柯西在他的研究报告中首次使用了“residu”(返回)附：留数(Residu)的产生柯西在“求沿着两条有相同起若为的

m

阶极点，附：关于极点的留数计算法则的说明(其中)(其中)则(返回)若为的m阶极点，附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义回顾则对应于相应地，记为因此，函数在无穷远点的性态可由函数在原点的性态来刻画。令即对应于附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义回顾附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义

函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?由在原点的邻域内的洛朗展式：得在无穷远点的邻域内的洛朗展式：其中，附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义函数

函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义(1)可去奇点：

(2)N阶极点：

(3)本性奇点：

无穷远点的奇点类型的划分不含正幂项；含有限多的正幂项,且最高幂次为

N

，含有无穷多的正幂项。此时，函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?

函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义(1)可去奇点：

(2)N阶极点：

(3)本性奇点：

无穷远点的奇点类型的判别不含正幂项；含有限多的正幂项,且最高幂次为

N

，含有无穷多的正幂项。不存在且不为

(常数)；

此时，函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?

函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义

函数在无穷远点的留数(

两边沿

C

积分)-称为函数在无穷远点的

定义留数。由有(返回)函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。

关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？

明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。

明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2．第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3．第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4．作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5．第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1．在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2．反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法

文本举例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰 1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折 1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法

文本举例表助词“的” 1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性

而不知太守之乐其乐也表代词 1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】

更多文言现象请参见《我的积累本》。三、板书设计路线：环滁——琅琊山——酿泉——醉翁亭风景：朝暮之景——四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游——太守宴——众宾欢——太守醉宴游之乐(醉人)

心情：禽鸟乐——人之乐——乐其乐与民同乐(醉情)

可取之处

重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。

不足之处

文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。

会员免费下载11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今天尽你最大的努力去做好，明天也许能做的更好.-----牛顿

我反复思索好几个月，好几年；有九十九次都是错的，而第一百次我对了.-----爱因斯坦我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今第五章留数§5.2留数§5.1孤立奇点§5.3留数定理及其应用第五章留数§5.2留数§5.1孤立奇点§5.3主要内容

本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.主要内容本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立奇点四、孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立回顾复积分的计算方法：（4）柯西-古萨基本定理：（5）Cauchy积分公式（6）Cauchy高阶导数公式一、引言回顾复积分的计算方法：（4）柯西-古萨基本定理：（5）Cau问题：如何转化成含有的形式？一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

如图，考虑积分

DrCG(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点此时问题：如何转化成含有的形式？一、引言本章一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

DrC如图，考虑积分

(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?

”得到。G一、引言本章重点解决闭路积分问题。D则称为的零点；(1)若

所谓函数的零点就是方程的根。定义设函数在处解析，(2)若在

处解析且则称为的

m

阶零点。二、零点P81定义

5.3

则称为的零点；二、零点

定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m

阶零点。(2)其中，(3)在内的泰勒展开式为

充要条件(如何判断零点的阶数?

)(进入证明?)二、零点定理设函数在处其中，二、零点

充要条件(如何判断零点的阶数?

)定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m

阶零点。(2)(3)在内的泰勒展开式为收敛且解析其中，二、零点充要条件(如何判断零点的阶数?是的三阶零点。是的三阶零点。方法一

方法二

是的三阶零点。是三、孤立奇点邻域内解析，则称

为

孤立奇点。使得在去心且存在定义设为的奇点，例为孤立奇点。例原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点。P79定义

5.1

三、孤立奇点邻域例(1)令为孤立奇点；(2)也是奇点，但不是孤立奇点。邻域内解析，则称

为

孤立奇点。使得在去心定义设为的奇点，且存在三、孤立奇点例(1)令为孤立奇点；(2)也是xyo这说明奇点未必是孤立的.函数的实部

注:若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.xyo这说明奇点未必是孤立的.函注:若函数的奇点个四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

将在内定义设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(1)若有则称为的可去奇点。(

即不含负幂次项

)P79

四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：则称为的

N

阶极点；(

即含有限个负幂次项

)(2)若有且有特别地，当时，称为的简单极点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(

即含无限个负幂次项

)(3)若有则称为的本性奇点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：小结(1)可去奇点

不含负幂次项；(2)N阶极点

含有限多的负幂次项,且最高负幂次为

N；

(3)本性奇点

含有无穷多的负幂次项。可去奇点本性奇点N阶极点四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域可去奇点本性奇点N阶极点五、如何进行孤立奇点的分类定理

若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：可去奇点的判定方法可去奇点本性奇点N阶极点五、如何进行孤立奇点的(不含负幂次项)解是的奇点，由是的可去奇点。可知，将在的去心邻域展成洛朗级数，有或

如果约定在点的值为

1，则在点就解析了，因此称为的可去奇点。(不含负幂次项)解是的奇点，定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是N阶极点的特征）：(iii)z0是的N阶零点.(可去奇点作为解析点看)N阶极点的判定方法定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（定理若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是与不存在极限的区别定理

若零点，则(1)当时，(2)当时，即为的可去奇点。为的

(n-m)

阶极点。且为的

n

阶零点，为

的

m

阶定理若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极(含有限个负幂次项，且最高负幂次为

2

)解是的奇点，由是的极点。可知，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注

可见，为的二阶极点。(含有限个负幂次项，且最高负幂次为2)解是本性奇点的判定方法定理

z0为f(z)的本性奇点本性奇点的判定方法定理z0为f(z)的本性奇点解是的奇点，考察极限是的本性奇点。因此，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注(含无穷多个负幂次项)由不存在且不为可知，解是的奇点，考察极限是是的一阶极点。判断函数的奇点的类型。例是的二阶极点。解由于是的可去奇点，故解由于是的一阶极点，故是的一阶极点。判断函数由于是的四阶零点，解故是的二阶极点。将在的去心邻域内展成洛朗级数，有

因此，为的二阶极点。注直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握

且是的二阶零点，由于是的四阶零点，解总结:孤立奇点可去奇点N阶极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为总结:孤立奇点可去奇点N阶极点本性奇点Laurent级数的特

小结小结一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

DrC如图，考虑积分

(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?

”得到。G一、引言本章重点解决闭路积分问题。D§5.2

留数一留数的概念二留数的计算方法§5.2留数一留数的概念二留数的计算方法0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)5.2留数0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)5.2留数一、留数的概念将在的去心邻域设为函数的孤立奇点，定义称为在处的留数，记作：内展开成洛朗级数：(两边积分)其中，C

是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。P83定义

5.6

(留数的产生)一、留数的概念将在的去心邻域而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。

二、留数的计算方法若为的可去奇点，方法1.可去奇点若为的本性奇点，方法2.本性奇点则“只好”

将在的去心邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出

“完整”

的洛朗级数，

注只需将其中负一次幂的系数求出来就可以了。

(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，

则而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。二、留数(1)若为的简单极点，特别则(2)若且

在

点解析，则

P84法则3二、留数的计算方法3.极点方法(法则)若为的

m

阶极点，P84法则2

(1)若为的简单极点，特别是的可去奇点，解(1)和均为的一阶极点，(2)是的可去奇点，解(1)(罗比达法则)

是的三阶极点，解(1)为的二阶极点，(2)(罗比达法则)是的三阶极点，解是的本性奇点，解将在的去心邻域内洛朗展开，有是的本性奇点，解将方法一

利用洛朗展式求留数

解将在的去心邻域展开，得方法一利用洛朗展式求留数解将由于是三阶极点，解方法二

利用极点的留数计算法则求解

(罗比达法则)

因此有(好麻烦!)

由于是三阶极点，解方法二

利用极点的留数计算法则求解

若

“不幸”

将判断成了的六阶极点，

巧合?

(非也!)解方法二利用极点的留数计算法则求解如果为的阶极点,取正整数法则4那么注

(1)此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。

(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。

如果为的阶极点,取正整数§5.3

留数定理及其应用一留数定理二留数在定积分计算中的应用§5.3留数定理及其应用一留数定理二留数在定积分DC…一、留数定理处处解析，且连续到边界

C

，定理设在区域D内除有限个孤立奇点外注意只需计算积分曲线

C

所围成的有限区域内奇点的留数。如图，将孤立奇点用含于

D

内且证明互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有则P86定理

5.7

DC…一、留数定理处处解析，且连续到边界C，利用留数定理计算复围线积分的步骤：1明确积分曲线及内部奇点2确定奇点类型,计算留数3应用留数定理,求积分利用留数定理计算复围线积分的步骤：1明确积分曲线及内部奇点解被积函数在内有两个奇点：可去奇点一阶极点解被积函数在解被积函数在内有两个奇点：一阶极点二阶极点解被积函数在解方法一

利用极点的留数计算法则求解

(罗比达法则)为被积函数的二阶极点，方法二利用高阶导数公式求解

解方法一利用极点的留数计算法则求解方法三

利用洛朗展式求解解将被积函数在的去心邻域展开，方法三利用洛朗展式求解解将被积函数极点z=3在的外部.分别是f(z)的3级和1级极点,都在的内部.而练习计算积分其中C是的正向.

记显然z=0和z=1极点z=3在的外部.分别是f(z于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理

在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如

二、留数在定积分计算中的应用在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分显得有用。即使寻二、留数在定积分计算中的应用1、形如的积分2、形如的积分3、形如的积分二、留数在定积分计算中的应用1、形如思想方法

:封闭路线的积分

.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的1、形如的积分方法(1)令则要求是

u,

v

的有理函数，即是以

u,

v

为变量的二元多项式函数或者分式函数。1、形如方法即是以

u,

v

为变量要求是

u,

v

的有理函数，1、形如的积分的二元多项式函数或者分式函数。其中，是在内的孤立奇点。(2)1.被积函数的转化2.积分区域的转化方法即是以u,v为变例

计算积分解积分可以转化为在复平面内有两个零点:在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的方法求解该题.例计算积分解积分可以转化为在复平面内有两个零点由于因此从而被积函数1级极点z1.所以在单位圆周内只有一个由于因此其中，P(x)

,Q(x)为多项式；(2)分母Q(x)的次数比分子P

(x)的次数至少高二次；(3)分母Q(x)无实零点。推导(略)

其中，是在上半平面内的孤立奇点。要求(1)方法2、形如的积分(进入推导?)其中，P(x),Q(x)为多项式；(2)分母Q2.积分区域的转化:在上半平面取一条分段光滑的曲线,使其与实轴的一部分构成一条简单闭曲线,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇点，并使f(z)在其内部除去这种方法称为围道积分法.1.被积函数的转化:当z在实轴上时,f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇点外处处解析.2.积分区域的转化:在上半平面取一条分段光滑的曲线,使

(1)令解(2)(3)在上半平面内，i与3i为一阶极点。(1)令解(2)(3)在上半平3、形如的积分(2)分母Q(x)的次数比分子P

(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。其中，P(x)

,Q(x)为多项式；要求(1)方法3、形如即：即：

在上半平面内，1+3