连续离散控制系统课件第7章连续域现代控制理论基础

第7章连续域现代控制理论基础吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶连续与离散控制系统第7章连续域现代控制理论基础吉林大学仪器科学与电气工程学1主要内容线性定常系统状态方程的解控制系统的可控性和可观性线性定常系统的线性变换控制系统的状态空间设计主要内容线性定常系统状态方程的解27.1线性定常系统状态方程的解现代控制理论建立了状态的概念，以状态方程为基础，以线性矩阵理论为数学工具，以计算机技术为依托，不仅适用于线性定常系统，而且适用于线性时变和非线性系统的分析、综合。现代控制理论用状态揭示系统内部状况，研究输入—状态—输出的因果关系，这就从内部、从本质上掌握了系统的关系，因而可以根据设计要求和性能指标求得最优控制规律。7.1线性定常系统状态方程的解现代控制理论建立了状态的概念，3状态空间表达式的一般形式输入引起系统状态的变化是一个动态过程，用微分方程或差分方程表示，称为状态方程。状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，描述这种转换的表达式称为输出方程。状态空间表达式的一般形式输入引起系统状态的变化是一个动态过程47.1.1齐次状态方程的解在状态方程中令u=0，得称为齐次状态方程。其解为u=0时由初始条件所引起的自由运动。设解为代入齐次状态方程得由于状态方程的解对任意的t都成立，则7.1.1齐次状态方程的解在状态方程5齐次状态方程的解（续1）代入解方程得：齐次状态方程的解（续1）代入解方程得：6齐次状态方程的解（续2）初始条件：由矩阵理论：则齐次状态方程的解为该解说明由初始状态x(0)到达状态x(t)的转移过程是一个指数形式。其中eAt称为矩阵指数，又称为状态转移矩阵，记为Φ(t)齐次状态方程的解归结为求解矩阵指数eAt，多为计算机求解。齐次状态方程的解（续2）初始条件：由矩阵理论：则齐次状态方程7计算线性定常系统状态转移矩阵按矩阵指数的定义计算；通过线性变换计算；待定系数法(应用凯莱-哈密顿定理)；拉普拉斯变换法。计算线性定常系统状态转移矩阵按矩阵指数的定义计算；8拉氏变换求状态转移矩阵对齐次状态方程进行拉氏变换，得例7.1求解齐次状态方程解：拉氏变换求状态转移矩阵对齐次状态方程进行拉氏变换，得例7.197.1.2非齐次状态方程的解当u(t)≠0时状态方程的解称为非齐次状态方程的解或受迫系统的解，它是系统对输入信号的完全响应。使用拉氏变换法求解：7.1.2非齐次状态方程的解当u(t)≠0时状态方程的解称10求非齐次状态方程的解举例例7.2求解状态空间方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：求非齐次状态方程的解举例例7.2求解状态空间方程，u(t)=117.2控制系统的可控性和可观性控制系统的可控性和可观性是现代控制理论的独特概念。状态变量的非唯一性，使我们有必要研究状态向量的每一个分量能否可以由控制量所控制，从而达到所期望的状态，这就是系统状态的可控性问题。还要研究能否通过对输出量的测量而获得状态的信息，这就是系统状态的可观性问题。7.2控制系统的可控性和可观性控制系统的可控性和可观性是现代127.2.1系统可控性容许控制：若在[t0，∞]区间内u为分段连续函数向量，则称其为容许控制。可控性定义：若存在一个无约束的容许控制向量u(t)，能在有限的时间间隔[t0，t1]内将系统的某一个状态xi由其初态xi(t0)转移到任意的终态xi(t1)，那么就称该状态xi是可控的；若系统所有的状态变量都可控，则称系统是可控的。有一个及以上的状态变量不可控，则称系统是不可控的。7.2.1系统可控性容许控制：若在[t0，∞]区间内u为分段13可控性实例RC桥形电路(a)，C1=C2，R1=R2。选电容电压为各自状态变量，且设电容上的初始电压为零，则两个状态变量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直线，即不论电源电压如何变动，都不能使状态变量离开这条直线。显然，它是不完全可控的。可控性实例RC桥形电路(a)，C1=C2，R1=R2。选电14线性定常连续系统的可控性判据1.可控性矩阵判据线性定常连续系统完全可控的充要条件：即，完全可控的条件是：可控性矩阵满秩。例7.3系统状态方程如下，试判断系统的可控性。解：利用可控性矩阵判据。线性定常连续系统的可控性判据1.可控性矩阵判据线性定常连续15可控性矩阵判据举例（续）将M进行初等变换rankM=3，可控性矩阵M为满秩，所以系统完全可控。可控性矩阵判据举例（续）将M进行初等变换rankM=3，可16可控性判据（续1）2.PBH秩判据线性定常连续系统完全可控的充要条件，对矩阵A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系统状态方程如下，试判断系统的可控性。解：利用PBH秩判据。可控性判据（续1）2.PBH秩判据线性定常连续系统完全可控17PBH秩判据举例（续1）系统状态矩阵A的特征方程为故系统状态矩阵A的特征值为PBH秩判据举例（续1）系统状态矩阵A的特征方程为故系统状18PBH秩判据举例（续2）将各个特征值代入得到完全可控PBH秩判据举例（续2）将各个特征值代入得到完全可控19输出可控性1.输出可控性的定义：如果能构造一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔t0≤t≤t1内，使任一给定的初始输出y(t0)转移到任一最终输出y(t1)，那么称系统为输出完全可控的。2.输出可控性判据：输出完全可控的充分必要条件为：当且仅当矩阵的秩等于输出变量的维数m时，即rankM0=m

输出可控性1.输出可控性的定义：如果能构造一个无约束的控制20输出可控性举例例7.5已知系统的状态方程和输出方程如下，试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：状态可控性矩阵为由于|M|=0，rankM<2，故状态不完全可控。输出可控性矩阵为rankM0=1=m。故输出可控。输出可控性举例例7.5已知系统的状态方程和输出方程如下，试判217.2.2系统可观测性可观测性的定义：如果在有限时间区间[t0,t1]内，根据测量到的输出向量y(t)和输入向量u(t)，能够唯一地确定系统在t0时刻状态xi(t0)，则称xi(t0)在[t0,t1]上是可观测的；若系统所有状态x(t)都在[t0,t1]上可观测，则称系统是可观测的。7.2.2系统可观测性可观测性的定义：如果在有限时间区间[22可观性实例选择电感中的电流il以及电容上的电压uc作为状态变量。当电桥平衡时，il作为电路的一个状态是不能由输出变量uc来确定的，所以该电路是不可观测的。可观性实例选择电感中的电流il以及电容上的电压uc作为状态变23可观测性判据1.可观测性矩阵判据：完全可观测的充要条件是：或是例7.6判断下列系统的可观测性解：可观测性判据1.可观测性矩阵判据：完全可观测的充要条件是：或24可观测性判据（续1）2.PBH秩判据：完全可观测的充要条件是：对矩阵A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立。可观测性判据（续1）2.PBH秩判据：完全可观测的充要条件25零极点对消时可观性和可控性讨论：所描述的系统，则传递函数为(1)选则：可控性/可观性：不可控！可观！零极点对消时可观性和可控性讨论：26零极点对消时可观性和可控性(二)取中间变量z，则选可控！不可观！结论：视状态变量的不同，系统或是不可观或是不可控零极点对消时可观性和可控性(二)取中间变量z，则选可控！不可277.3线性定常系统的线性变换7.3.3化系统{A，B}为可控标准型

1.单变量系统的可控标准型7.3线性定常系统的线性变换7.3.3化系统{A，B}为可控28化系统为可控标准型设系统的状态空间表达式为通过非奇异线性变换可将上式变为设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特征多项式系数化系统为可控标准型设系统的状态空间表达式为通过非奇异线性变换297.3.4化系统{A,C}为可观测标准型1.单变量系统的可观测标准型7.3.4化系统{A,C}为可观测标准型1.单变量系统的30化系统为可观测标准型设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特征多项式系数对于完全可观系统，取非奇异线性变换矩阵化系统为可观测标准型设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特31转成可控和可观测标准型举例

例7.7将其转换成可控标准型和可观测标准型。解：(1)判断系统能控性秩为3，所以系统完全可控，故可变换标准型。系统的特征多项式为：即a0=-4，a1=8，a2=-5。转成可控和可观测标准型举例例7.7将其转换成可控标准型和可32转成标准型举例（续1）经变换，可得可控标准型转成标准型举例（续1）经变换，可得可控标准型33转成标准型举例（续2）(2)判断系统可观测性其秩为3，故系统完全可观测，可变换为可观测标准型。变换矩阵为经变换，可得可观测标准型转成标准型举例（续2）(2)判断系统可观测性其秩为3，故系347.4控制系统的状态空间设计由于经典控制理论是用传递函数来描述的，它只能用输出量作为反馈量。而现代控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还经常采用状态反馈。在进行系统的分析综合时，状态反馈将能提供更多的校正信息，因而在形成最优控制规律、抑制扰动影响、实现系统解耦控制等诸方面，状态反馈均获得了广泛应用。7.4控制系统的状态空间设计由于经典控制理论是用传递函数来描357.4.1常用反馈结构及其影响1.输出反馈输出反馈系统动态方程为传递函数矩阵为7.4.1常用反馈结构及其影响1.输出反馈输出反馈系统动态36常用反馈结构及其影响（续1）2.状态反馈当将系统的控制量u取为状态变量的线性函数常用反馈结构及其影响（续1）2.状态反馈当将系统的控制量u取37常用反馈结构及其影响（续2）状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，而输出反馈仅利用状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小。但输出变量容易测量，获得广泛应用。传递函数矩阵为常用反馈结构及其影响（续2）状态能完整地表征系统的动态行为，38状态反馈对稳定性的影响对于线性定常系统如果可以找到状态反馈控制律使得通过反馈构成的闭环系统是渐近稳定的，即(A-BK)的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。状态反馈对稳定性的影响对于线性定常系统如果可以找到状态反馈397.4.2状态反馈的极点配置设计法1.极点配置定理若线性系统是完全可控的，则一定能够通过状态反馈方法将闭环极点设置于任意期望的位置，这就是极点配置定理。2.单变量状态反馈向量的设计设单变量系统的状态空间方程为且为完全可控。其特征多项式为7.4.2状态反馈的极点配置设计法1.极点配置定理若线性系40单变量状态反馈向量的设计（续）若A不是能控标准型，则可通过非奇异线性变换将其变换为可控标准型。定义变换矩阵T为系统变换为可控标准型单变量状态反馈向量的设计（续）若A不是能控标准型，则可通过非41单变量状态反馈向量设计（续1）由于采用状态反馈，则有式中反馈的引入并没有改变输入矩阵，只改变了状态矩阵，即改变了原有系统的闭环极点。设改变后的闭环极点为，则其特征多项式为单变量状态反馈向量设计（续1）由于采用状态反馈，则有式中反馈42单变量状态反馈向量设计（续2）特征多项式的另一种表达方式若要使闭环极点为期望的极点，则令单变量状态反馈向量设计（续2）特征多项式的另一种表达方式若要43单变量状态反馈向量设计（续3）3.极点配置设计步骤(1)检查系统可控性，若可控则继续进行；(2)由A求得其特征多项式，确定系数；(3)若原状态不是可控标准型，变换为标准型；(4)由期望闭环极点，确定；(5)求取k反馈后的特征多项式，并求取k值。单变量状态反馈向量设计（续3）3.极点配置设计步骤(1)检查44极点配置设计举例一例7.10单变量系统闭环传递函数如下，设计状态反馈阵，使闭环极点为解：由于传递函数没有零极点对消，所以系统的状态是完全可控可观的，其可控规范型为令状态反馈阵为极点配置设计举例一例7.10单变量系统闭环传递函数如下，设计45极点配置设计举例一（续1）经K引入的状态反馈后系统的系数矩阵为其特征多项式为由给定闭环极点要求的特征多项式为令两个特征多项式相等解出极点配置设计举例一（续1）经K引入的状态反馈后系统的系数矩阵46极点配置设计举例一（续2）系统闭环传递函数为极点配置设计举例一（续2）系统闭环传递函数为47极点配置设计举例二例7.11通过状态反馈，闭环极点设置于解：检查可控性求原特征多项式为极点配置设计举例二例7.11通过状态反馈，闭环极点设置于解：48极点配置设计举例二（续1）则状态方程变为设并反馈变换，则有极点配置设计举例二（续1）则状态方程变为设49极点配置设计举例二（续2）期望特征多项式为令极点配置设计举例二（续2）期望特征多项式为令507.4.3状态观测器设计及分离特性由于系统的所有状态往往不能都测量到，导致状态反馈不能直接实现，这时就需要估计不可测量的状态变量，不可测量的状态变量的估计通常称为状态观测。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，这种状态观测器均称为全阶观测器。估计少于n个状态变量的观测器称为降阶状态观测器，或简称为降阶观测器。7.4.3状态观测器设计及分离特性由于系统的所有状态往往不51全阶状态观测器状态观测器是基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。设被观测系统的状态空间描述为若取观测器数学模型与系统完全相同，且输入相同，即考虑到状态有差异时，输出便有差异，可利用输出偏差信号通过反馈矩阵Ke加到，以期对其进行校正。

全阶状态观测器状态观测器是基于输出的测量和控制变量来估计状52全阶状态观测器（续1）观测器的闭环方程为注意到状态观测器的输入为y和u，输出为全阶状态观测器（续1）观测器的闭环方程为注意到状态观测器的输53全阶状态观测器（续2）观测器的误差方程定义误差向量方程式改写为误差向量的动态特性由矩阵A-KeC的特征值决定。如果矩阵是稳定矩阵，则对任意初始误差向量e(0)，误差向量都将趋近于零。

全阶状态观测器（续2）观测器的误差方程定义误差向量方程式改写54全阶状态观测器的设计设系统可观，按可观测标准型进行讨论（详细推导见书），下面为非标准形时的设计过程：设观测器状态反馈向量特征方程为设误差动态方程所期望的特征方程为系数对应相等则可求出反馈向量。全阶状态观测器的设计设系统可观，按可观测标准型进行讨论（详细55全阶状态观测器的设计举例例7.12设被观测的系统如下，完全可观测，设计状态观测器，使其特征值为：解：设状态反馈向量为特征多项式为全阶状态观测器的设计举例例7.12设被观测的系统如下，完全可56全阶状态观测器的举例（续1）状态观测器所期望的特征多项式为所期望的状态观测器方程为全阶状态观测器的举例（续1）状态观测器所期望的特征多项式为所57全阶状态观测器的举例（续2）估计误差由齐次状态方程的解法，可得全阶状态观测器的举例（续2）估计误差由齐次状态方程的解法，可58分离特性在极点配置的设计过程中，第一阶段是确定反馈增益矩阵K，以产生所期望的特征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵Ke，以产生所期望的观测器特征方程。

状态估计值进行反馈与用真实状态x(t)进行反馈有何异同？状态反馈设计与观测器设计之间有无相互影响呢？定义状态完全可控和完全可观测的系统：分离特性在极点配置的设计过程中，第一阶段是确定反馈增益矩阵59分离特性（续1）对基于观测状态的状态反馈控制为分离特性（续1）对基于观测状态的状态反馈控制为60分离特性（续2）系统的特征方程为极点配置和观测器设计是相互独立的，互不影响，它们可以分别进行设计，并合并为由观测器和状态反馈构成的复合系统，这就是分离特性。分离特性（续2）系统的特征方程为极点配置和观测器设计是相互独61分离特性（续3）对于n阶系统，经典设计方法（根轨迹、频率响应…）会产生低阶校正装置（1或2阶），但采用观测器和状态反馈构成的复合系统，若是全阶观测器，则设计出来为2n阶，故应首选经典法，若不能设计出满意的校正装置，再用极观法。极点配置应使系统满足性能要求。观测器极点的选取通常使得观测器的响应比系统的响应快很多，至少2~5倍。分离特性（续3）对于n阶系统，经典设计方法（根轨迹、频率响应62本章小结本章首先介绍了连续域中现代控制理论的基础，讨论了如何求解状态方程。然后对现代控制理论中独特的可控性和可观性进行定义和判断。接着介绍如何化可控和可观的标准型。最后介绍了状态空间设计，主要包括常用反馈结构及影响、状态反馈的极点配置设计法、状态观测器设计及分离特性原则。本章小结本章首先介绍了连续域中现代控制理论的基础，讨论了如何63本章重点及要求重点掌握拉氏变换法求解状态转移矩阵。掌握可控性和可观性矩阵判据判断可控性和可观性。掌握化系统为可控和可观标准型。重点掌握极点配置法。掌握全阶状态观测器设计方法。理解分离特性原则。本章重点及要求重点掌握拉氏变换法求解状态转移矩阵。64练习与思考课后7.2，7.5，7.6(1)(2)，7.7(1)(2)，7.14

(1)，

7.17(1)(2)，7.22，7.23，7.29收集卡尔曼的生平事迹，及发明相关方法的科学故事。练习与思考课后7.2，7.5，7.6(1)(2)，7.7(165第7章连续域现代控制理论基础吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶连续与离散控制系统第7章连续域现代控制理论基础吉林大学仪器科学与电气工程学66主要内容线性定常系统状态方程的解控制系统的可控性和可观性线性定常系统的线性变换控制系统的状态空间设计主要内容线性定常系统状态方程的解677.1线性定常系统状态方程的解现代控制理论建立了状态的概念，以状态方程为基础，以线性矩阵理论为数学工具，以计算机技术为依托，不仅适用于线性定常系统，而且适用于线性时变和非线性系统的分析、综合。现代控制理论用状态揭示系统内部状况，研究输入—状态—输出的因果关系，这就从内部、从本质上掌握了系统的关系，因而可以根据设计要求和性能指标求得最优控制规律。7.1线性定常系统状态方程的解现代控制理论建立了状态的概念，68状态空间表达式的一般形式输入引起系统状态的变化是一个动态过程，用微分方程或差分方程表示，称为状态方程。状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，描述这种转换的表达式称为输出方程。状态空间表达式的一般形式输入引起系统状态的变化是一个动态过程697.1.1齐次状态方程的解在状态方程中令u=0，得称为齐次状态方程。其解为u=0时由初始条件所引起的自由运动。设解为代入齐次状态方程得由于状态方程的解对任意的t都成立，则7.1.1齐次状态方程的解在状态方程70齐次状态方程的解（续1）代入解方程得：齐次状态方程的解（续1）代入解方程得：71齐次状态方程的解（续2）初始条件：由矩阵理论：则齐次状态方程的解为该解说明由初始状态x(0)到达状态x(t)的转移过程是一个指数形式。其中eAt称为矩阵指数，又称为状态转移矩阵，记为Φ(t)齐次状态方程的解归结为求解矩阵指数eAt，多为计算机求解。齐次状态方程的解（续2）初始条件：由矩阵理论：则齐次状态方程72计算线性定常系统状态转移矩阵按矩阵指数的定义计算；通过线性变换计算；待定系数法(应用凯莱-哈密顿定理)；拉普拉斯变换法。计算线性定常系统状态转移矩阵按矩阵指数的定义计算；73拉氏变换求状态转移矩阵对齐次状态方程进行拉氏变换，得例7.1求解齐次状态方程解：拉氏变换求状态转移矩阵对齐次状态方程进行拉氏变换，得例7.1747.1.2非齐次状态方程的解当u(t)≠0时状态方程的解称为非齐次状态方程的解或受迫系统的解，它是系统对输入信号的完全响应。使用拉氏变换法求解：7.1.2非齐次状态方程的解当u(t)≠0时状态方程的解称75求非齐次状态方程的解举例例7.2求解状态空间方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：求非齐次状态方程的解举例例7.2求解状态空间方程，u(t)=767.2控制系统的可控性和可观性控制系统的可控性和可观性是现代控制理论的独特概念。状态变量的非唯一性，使我们有必要研究状态向量的每一个分量能否可以由控制量所控制，从而达到所期望的状态，这就是系统状态的可控性问题。还要研究能否通过对输出量的测量而获得状态的信息，这就是系统状态的可观性问题。7.2控制系统的可控性和可观性控制系统的可控性和可观性是现代777.2.1系统可控性容许控制：若在[t0，∞]区间内u为分段连续函数向量，则称其为容许控制。可控性定义：若存在一个无约束的容许控制向量u(t)，能在有限的时间间隔[t0，t1]内将系统的某一个状态xi由其初态xi(t0)转移到任意的终态xi(t1)，那么就称该状态xi是可控的；若系统所有的状态变量都可控，则称系统是可控的。有一个及以上的状态变量不可控，则称系统是不可控的。7.2.1系统可控性容许控制：若在[t0，∞]区间内u为分段78可控性实例RC桥形电路(a)，C1=C2，R1=R2。选电容电压为各自状态变量，且设电容上的初始电压为零，则两个状态变量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直线，即不论电源电压如何变动，都不能使状态变量离开这条直线。显然，它是不完全可控的。可控性实例RC桥形电路(a)，C1=C2，R1=R2。选电79线性定常连续系统的可控性判据1.可控性矩阵判据线性定常连续系统完全可控的充要条件：即，完全可控的条件是：可控性矩阵满秩。例7.3系统状态方程如下，试判断系统的可控性。解：利用可控性矩阵判据。线性定常连续系统的可控性判据1.可控性矩阵判据线性定常连续80可控性矩阵判据举例（续）将M进行初等变换rankM=3，可控性矩阵M为满秩，所以系统完全可控。可控性矩阵判据举例（续）将M进行初等变换rankM=3，可81可控性判据（续1）2.PBH秩判据线性定常连续系统完全可控的充要条件，对矩阵A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系统状态方程如下，试判断系统的可控性。解：利用PBH秩判据。可控性判据（续1）2.PBH秩判据线性定常连续系统完全可控82PBH秩判据举例（续1）系统状态矩阵A的特征方程为故系统状态矩阵A的特征值为PBH秩判据举例（续1）系统状态矩阵A的特征方程为故系统状83PBH秩判据举例（续2）将各个特征值代入得到完全可控PBH秩判据举例（续2）将各个特征值代入得到完全可控84输出可控性1.输出可控性的定义：如果能构造一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔t0≤t≤t1内，使任一给定的初始输出y(t0)转移到任一最终输出y(t1)，那么称系统为输出完全可控的。2.输出可控性判据：输出完全可控的充分必要条件为：当且仅当矩阵的秩等于输出变量的维数m时，即rankM0=m

输出可控性1.输出可控性的定义：如果能构造一个无约束的控制85输出可控性举例例7.5已知系统的状态方程和输出方程如下，试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：状态可控性矩阵为由于|M|=0，rankM<2，故状态不完全可控。输出可控性矩阵为rankM0=1=m。故输出可控。输出可控性举例例7.5已知系统的状态方程和输出方程如下，试判867.2.2系统可观测性可观测性的定义：如果在有限时间区间[t0,t1]内，根据测量到的输出向量y(t)和输入向量u(t)，能够唯一地确定系统在t0时刻状态xi(t0)，则称xi(t0)在[t0,t1]上是可观测的；若系统所有状态x(t)都在[t0,t1]上可观测，则称系统是可观测的。7.2.2系统可观测性可观测性的定义：如果在有限时间区间[87可观性实例选择电感中的电流il以及电容上的电压uc作为状态变量。当电桥平衡时，il作为电路的一个状态是不能由输出变量uc来确定的，所以该电路是不可观测的。可观性实例选择电感中的电流il以及电容上的电压uc作为状态变88可观测性判据1.可观测性矩阵判据：完全可观测的充要条件是：或是例7.6判断下列系统的可观测性解：可观测性判据1.可观测性矩阵判据：完全可观测的充要条件是：或89可观测性判据（续1）2.PBH秩判据：完全可观测的充要条件是：对矩阵A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立。可观测性判据（续1）2.PBH秩判据：完全可观测的充要条件90零极点对消时可观性和可控性讨论：所描述的系统，则传递函数为(1)选则：可控性/可观性：不可控！可观！零极点对消时可观性和可控性讨论：91零极点对消时可观性和可控性(二)取中间变量z，则选可控！不可观！结论：视状态变量的不同，系统或是不可观或是不可控零极点对消时可观性和可控性(二)取中间变量z，则选可控！不可927.3线性定常系统的线性变换7.3.3化系统{A，B}为可控标准型

1.单变量系统的可控标准型7.3线性定常系统的线性变换7.3.3化系统{A，B}为可控93化系统为可控标准型设系统的状态空间表达式为通过非奇异线性变换可将上式变为设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特征多项式系数化系统为可控标准型设系统的状态空间表达式为通过非奇异线性变换947.3.4化系统{A,C}为可观测标准型1.单变量系统的可观测标准型7.3.4化系统{A,C}为可观测标准型1.单变量系统的95化系统为可观测标准型设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特征多项式系数对于完全可观系统，取非奇异线性变换矩阵化系统为可观测标准型设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特96转成可控和可观测标准型举例

例7.7将其转换成可控标准型和可观测标准型。解：(1)判断系统能控性秩为3，所以系统完全可控，故可变换标准型。系统的特征多项式为：即a0=-4，a1=8，a2=-5。转成可控和可观测标准型举例例7.7将其转换成可控标准型和可97转成标准型举例（续1）经变换，可得可控标准型转成标准型举例（续1）经变换，可得可控标准型98转成标准型举例（续2）(2)判断系统可观测性其秩为3，故系统完全可观测，可变换为可观测标准型。变换矩阵为经变换，可得可观测标准型转成标准型举例（续2）(2)判断系统可观测性其秩为3，故系997.4控制系统的状态空间设计由于经典控制理论是用传递函数来描述的，它只能用输出量作为反馈量。而现代控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还经常采用状态反馈。在进行系统的分析综合时，状态反馈将能提供更多的校正信息，因而在形成最优控制规律、抑制扰动影响、实现系统解耦控制等诸方面，状态反馈均获得了广泛应用。7.4控制系统的状态空间设计由于经典控制理论是用传递函数来描1007.4.1常用反馈结构及其影响1.输出反馈输出反馈系统动态方程为传递函数矩阵为7.4.1常用反馈结构及其影响1.输出反馈输出反馈系统动态101常用反馈结构及其影响（续1）2.状态反馈当将系统的控制量u取为状态变量的线性函数常用反馈结构及其影响（续1）2.状态反馈当将系统的控制量u取102常用反馈结构及其影响（续2）状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，而输出反馈仅利用状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小。但输出变量容易测量，获得广泛应用。传递函数矩阵为常用反馈结构及其影响（续2）状态能完整地表征系统的动态行为，103状态反馈对稳定性的影响对于线性定常系统如果可以找到状态反馈控制律使得通过反馈构成的闭环系统是渐近稳定的，即(A-BK)的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。状态反馈对稳定性的影响对于线性定常系统如果可以找到状态反馈1047.4.2状态反馈的极点配置设计法1.极点配置定理若线性系统是完全可控的，则一定能够通过状态反馈方法将闭环极点设置于任意期望的位置，这就是极点配置定理。2.单变量状态反馈向量的设计设单变量系统的状态空间方程为且为完全可控。其特征多项式为7.4.2状态反馈的极点配置设计法1.极点配置定理若线性系105单变量状态反馈向量的设计（续）若A不是能控标准型，则可通过非奇异线性变换将其变换为可控标准型。定义变换矩阵T为系统变换为可控标准型单变量状态反馈向量的设计（续）若A不是能控标准型，则可通过非106单变量状态反馈向量设计（续1）由于采用状态反馈，则有式中反馈的引入并没有改变输入矩阵，只改变了状态矩阵，即改变了原有系统的闭环极点。设改变后的闭环极点为，则其特征多项式为单变量状态反馈向量设计（续1）由于采用状态反馈，则有式中反馈107单变量状态反馈向量设计（续2）特征多项式的另一种表达方式若要使闭环极点为期望的极点，则令单变量状态反馈向量设计（续2）特征多项式的另一种表达方式若要108单变量状态反馈向量设计（续3）3.极点配置设计步骤(1)检查系统可控性，若可控则继续进行；(2)由A求得其特征多项式，确定系数；(3)若原状态不是可控标准型，变换为标准型；(4)由期望闭环极点，确定；(5)求取k反馈后的特征多项式，并求取k值。单变量状态反馈向量设计（续3）3.极点配置设计步骤(1)检查109极点配置设计举例一例7.10单变量系统闭环传递函数如下，设计状态反馈阵，使闭环极点为解：由于传递函数没有零极点对消，所以系统的状态是完全可控可观的，其可控规范型为令状态反馈阵为极点配置设计举例一例7.10单变量系统闭环传递函数如下，设计110极点配置设计举例一（续1）经K引入的状态反馈后系统的系数矩阵为其特征多项式为由给定闭环极点要求的特征多项式为令两个特征多项式相等解出极点配置设计举例一（续1）经K引入的状态反馈后系统的系数矩阵111极点配置设计举例一（续2）系统闭环传递函数为极点配置设计举例一（续2）系统闭环传递函数为112极点配置设计举例二例7.11通过状态反馈，闭环极点设置于解：检查可控性求原特征多项式为极点配置设计举例二例7.11通过状态反馈，闭环极点设置于解：113极点配置设计举例二（续1）则状态方程变为设并反馈变换，则有极点配置设计举例二（续1）则状态方程变为设114极点配置设计举例二（续2）期望特征多项式为令极点配置设计举例二（续2）期望特征多项式为令1157.4.3状态观测器设计及分离特性由于系统的所有状态往往不能都测量到，导致状态反馈不能直接实现，这时就需要估计不可测量的状态变量，不可测量的状态变量的估计通常称为状态观测。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，这种状态观测器均称为全阶观测器。估计少于n个状态变量的观测器称为降阶状态观测器，或简称为降阶观测器。7.4.3状态观测器设计及分离特性由于系统的所有状态往往不116全阶状态观测器状态观测器是基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。设被观测系统的状态空间描述为若取观测器数学模型与系统完全相同，且输入相同，即考虑到状态有差异时，输出便有差异，可利用输出偏差信号通过反馈矩阵Ke加到，以期对其进行校正。

全阶状态观测器状态观测器是基于输出的测量和控制变量来估计状117全阶状态观测器（续1