2020-2021全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总含答案

2020-2021全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总含答案一、平行四边形1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1,在厶ABC中，AB=3,AD=6,问厶ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：11根据题意得：S“Bc=2BC・AD=2AB・CE.AD1从而得2AD=CE,—CE2请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2,在ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O,连接BE、BF,求证：BO平分角AOC.（2）（探究延伸）如图3,已知直线miln,点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且/APB=90°，两平行线m、n间的距离为4.求证：PA・PB=2AB.（3）（迁移应用）如图4,E为AB边上一点，ED丄AD,CE丄CB，垂足分别为D,C,ZDAB=ZB,AB=j34,BC=2,AC=J26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN.求△DEM与厶CEN的周长之和.图3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+J34【解析】分析：⑴、根据平行四边形的性质得出△ABF和厶BCE的面积相等，过点B作0G丄AF于

G,OH丄CE于H,从而得出AF=CE，然后证明△BOG和厶BOH全等，从而得出ZBOG=ZBOH,即角平分线；（2）、过点P作PG丄n于G,交m于F,根据平行线的性质得出厶CPF和厶DPG全等，延长BP交AC于E,证明△CPE和厶DPB全等，根据等积法得出AB=APxPB，从而得出答案；⑶、，延长AD,BC交于点G,过点A作AF丄BC于F,设CF=x，根据RtAABF和RtAACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM,BE=2CN=2EN,DM+CN=一AB，从而得出两个三角形的周长之和.同理：EM+EN='AB详解：证明：（1详解：证明：（1）如图2,T四边形ABCD是平行四边形，ExBH,在RtABOG和RtABOH中,BO=BORtABOG竺RtExBH,在RtABOG和RtABOH中,BO=BORtABOG竺RtABOH,AZBOG=ZBOH,AOB平分ZAOC,(2)如图3,过点P作PG丄n于G,交m于F,vmiln,AZCFP=ZBGP=90°,v点P是CD中点，rZCFP=ZDGPAPF丄AC,在厶CPF和厶DPG中,<CP=DPbZCPF=ZDPGA△CPF竺△DPG,APF=PG='FG=2,延长BP交AC于E,vmin,AZECP=ZBDP,ACP=DP,「ZECP=ZBDPCPE和厶DPB中,(CP二DPbZCPE-ZDPB在厶CPE和厶DPB中，*A△CPE竺△DPB,APE=PB,过点B作OG丄AF于G,OH丄CE于H,二S^ABF^AFxBG,•••〕AFxBG〔CExBH，即：朴叱囲，：AKE,•••BG=BH，AAB=■APxPB,即:PA・PB=2AB；2(3)如图4,延长AD,BC交于点G,vZBAD=ZB,AAG=BG,过点A作AF丄BC于F,设CF=x(x>0),ABF=BC+CF=x+2,在RtAABF中，AB=_34根据勾股定理得，AF2=AB2-BF2=34-(x+2)2,在RtAACF中，AC=.2r=根据勾股定理得，AF2=AC2-CF2=26-x2,A34-(x+2)2=26-X2,Ax=-1(舍)或x=1,AAF=H-叮=5,

DE+CE=AF=5,在RtAADE中，点M是AE的中点，二AE=2DM=2EM,同理：BE=2CN=2EN,VAB=AE+BE,.2DM+2CN=AB,.DM+CN=一AB,+[(DM+CN)+(EM+EN)]=(DE+CN)+AB=5+一EAFXi3P图2+[(DM+CN)+(EM+EN)]=(DE+CN)+AB=5+一EAFXi3P图2图3；(；(2)证明见解析；(3)点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法,综合性非常强,难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线,然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2.四边形ABCD是正方形，AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.如图1,当点E、F在线段AD上时，①求证：ZDAG=ZDCG；②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明；如图2,在(1)条件下，连接HO,试说明HO平分ZBHG；当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出ZBHO的度数.卫耳fnR【答案】(1)①证明见解析；②AG丄BE.理由见解析ZBHO=45°．【解析】试题分析：(1)①根据正方形的性质得DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,则可根据"SAS"证明△ADG^△CDG，所以ZDAG=ZDCG；②根据正方形的性质得AB=DC,ZBAD=ZCDA=90°,根据"SAS"证明△ABE竺△DCF，则ZABE=ZDCF，由于ZDAG=ZDCG,所以ZDAG=ZABE，然后利用ZDAG+ZBAG=90°得到ZABE+ZBAG=90°，于是可判断AG丄BE；

如答图1所示，过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,证明△AON^△BOM,可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分/BHG结论成立；如答图2所示，与(1)同理，可以证明AG丄BE；过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,构造全等三角形厶AON^△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分/BHG，即/BHO=45°.试题解析：(1)①T四边形ABCD为正方形，DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,在厶ADG和厶CDG中AD-CD\^ADG~jlCDGIM—DG.△ADG竺△CDG(SAS),.ZDAG=ZDCG；②AG丄BE.理由如下：•••四边形ABCD为正方形，.AB=DC，ZBAD=ZCDA=90°，在厶ABE和厶DCF中AB^DCI.BAF-MDFIAE-DF△ABE竺△DCF(SAS),.ZABE=ZDCF，ZDAG=ZDCG,.ZDAG=ZABE，TZDAG+ZBAG=90°,.ZABE+ZBAG=90°，.ZAHB=90°，AG丄BE；(2)由(1)可知AG丄BE.如答图1所示，过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,则四边形OMHN为矩形..ZMON=90°，又TOA丄OB,.ZAON=ZBOM.TZAON+ZOAN=90°,ZBOM+ZOBM=90°,乙OAN=ZOBM.在厶AON与厶BOM中，LOAN-LOBMQA-OB^AON-.△AON竺△BOM(AAS)..OM=ON，.矩形OMHN为正方形，.HO平分/BHG.(3)将图形补充完整，如答图2示，ZBHO=45°.与(1)同理，可以证明AG丄BE.过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,与(2)同理，可以证明△AON竺△BOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分ZBHG，.ZBHO=45°.考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质3.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF,连接BP、BH.(1)求证：ZAPB=ZBPH；2)当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值(3)当BE+CF的长取最小值时，求AP的长.答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2.解析】试题分析：(1)根据翻折变换的性质得出/PBC=ZBPH,进而利用平行线的性质得出ZAPB=ZPBC即可得出答案；首先证明厶ABP竺△QBP，进而得出△BCH竺△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；过F作FM丄AB，垂足为M,则FM=BC=AB，证明△EFM竺△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值.试题解析：(1)解：如图1，TPE=BE，ZEBP=ZEPB.又:ZEPH=ZEBC=90°,.ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.即ZPBC=ZBPH.又:ADIIBC，.ZAPB=ZPBC..ZAPB=ZBPH.(2)证明：如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q.由(1)知ZAPB=ZBPH,又:ZA=ZBQP=90°,BP=BP,在厶ABP和厶QBP中，ZAPB二ZBPH{ZA=ZBQP=90。,BP二BP△ABP竺△QBP(AAS),.AP=QP，AB=BQ，又:AB=BC,

BC=BQ.又/C=ZBQH=90°,BH=BH,在厶BCH和厶BQH中，BC二BQ{ZC=ZBQH=90。,BH二BH△BCH△BCH竺△BQH(SAS),.CH=QH..△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8..△PDH的周长是定值.(3)解：如图3,过F作FM丄AB,垂足为M,则FM=BC=AB.又:EF为折痕，又:EF为折痕，EF丄BP.ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,ZEFM=ZABP.又:ZA=ZEMF=90°,在厶EFM和厶BPA中，ZEFM=ZABP{ZEMF=ZA,FM二AB.△EFM竺△BPA(AAS)..EM=AP.设AP=x在RtAAPE中，(4-BE)2+x2=BE2.解得BE=2+—8CF=BE-EM=2+-x8.BE+CF=.BE+CF=X2-x+4=144x-2)2+3.当x=2时，BE+CF取最小值,.AP=2.E(2)若AB=8E(2)若AB=8，DE=3点P为线段AC上任意一点，PG丄AE于G，PH丄BC于H.求PG+PH的值.【答案】(1)证明见解析；(2)考点：几何变换综合题．4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B'的位置，AB，与CD交于点(1)求证：△AED^△CEB'ZED"CEE'【分析】(1ZED"CEE'【分析】(1)由折叠的性质知，卞乩打—「：-2,厂…门，贝畑解析】zz>-9(rCB'~BC^ADLB-LB【详解】d)-'四边形^；为矩形,AB'EC-zz>-9(rCB'~BC^ADLB-LB【详解】d)-'四边形^；为矩形,AB'EC-jLDEA^AED=^CEB'起ACEB'ER-DE~3ABAB~S⑵由可得m二又由*；，即可求得叮的长，然后在肮5"中，利用勾股定理即可求得AD的长，再过点'作-■于“，由角平分线的性质，可得^'■■■，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.AE-AB'-EB'-S-3-54AE-AB'-EB'-S-3-54在Rt色ADE中山D=-D毋过点*-9,■■■Zfi/C^HACPGLAEPH1ABLD-PH1ABLD-ZKHD-^HKA-90；PH丄CDAB//CD图③图③四边形是矩形，:.HK=AD—斗，:.PG+PH—PK+PH—HK"【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.5.在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且/EAF=ZCEF=45°.⑴#△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG（如图①），求证：△AEG^△AEF；⑵若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M,N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；⑶将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF,BE，DF之间的数量关系.ADBE图①【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，ZEAF=ZGAE=45°，故可证△AEG^△AEF；（2）将厶ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM.由（1）知AEG^△AEF，则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF-；DF，然后证明ZGME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将厶ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG，根据旋转的性质可以得到ADF竺△ABG，贝9DF=BG，再证明厶AEG竺△AEF，得出EG=EF,由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF.试题解析：（1）T△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,AF=AG,ZFAG=90°,zEAF=45°,.ZGAE=45°，在厶AGE与厶AFE中,AG-AF”LGAE=FAE=45°IAE-AE，△AGE竺△AFE（SAS）；

(2)设正方形ABCD的边长为a.将AADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG,连结GM.则厶ADFQAABG,DF=BG.由(1)知△AEGQAAEF,・・・EG=EF.VZCEF=45°•••△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，・・・CE=CF,BE=BM,NF=°厂DF,a-BE=a-DF,・BE=DF,・BE=BM=DF=BG,ZBMG=45°,・・・ZGME=45°+45°90°EG2=ME2+MG2，•・・EG=EF,MG=J"BM=FDF=NF,・EF2=ME2+NF2；(3)EF2=2BE2+2DF2.如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将AADF绕着点A顺时针旋转90。，得到厶AGH，连结HM,HE.由(1)知△aehqaaef,则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2又・・・EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM，所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2

考点：四边形综合题6.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段AB为边向外作等边考点：四边形综合题6.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段AB为边向外作等边厶ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.DBFEAC（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积.答案】（1）见解析；2)S27J3平行四边形ADBC—2解析】分析】11(1)在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=-AB，BE=-AB，得到ZBCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC，得ZAFE=ZBCE=60°.又ZD=60°，得ZAFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因为ZBAD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtAABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在厶ABC中，ZACB=90°，ZCAB=30°,「.ZABC=60°，在等边厶ABD中，ZBAD=60°,•••ZBAD=ZABC=60°,VE为AB的中点，二AE=BE,又：ZAEF=ZBEC,11△AEF^△BEC,在厶ABC中，ZACB=90°,E为AB的中点，•CE=AB,BE=AB,22CE=AE,•ZEAC=ZECA=30°,•ZBCE=ZEBC=60°,又:△AEF竺△BEC,ZAFE=ZBCE=60°,又：ZD=60°,•ZAFE=ZD=60°,•FCIIBD,又VZBAD=ZABC=60°,•ADIIBC,即FDIIBC,•四边形BCFD是平行四边形；(2)解：在RtAABC中，VZBAC=30°,AB=6,•BC=AF=3,AC=3、込,•S平行四边形

bcfd=3x33=9\；3,S^acf=2x3x33=—2~s平行四礙畤s平行四礙畤7.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF.FH平分ZEFB交BD于点H.（1）求证：DE丄DF；（2）求证：DH=DF:（3）过点H作HM丄EF于点M,用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）EF=2AB-2HM，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质，CF=AE得到DE丄DF.（2）由AAED丝\CFD，得DE=DF.由ZABC=90。，BD平分ZABC，得ZDBF=45。.因为FH平分ZEFB，所以ZEFH=ZBFH.由于ZDHF=ZDBF+ZBFH=45°+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45°+ZEFH,所以DH=DF.（3）过点H作HN丄BC于点N，由正方形ABCD性质，得BD=\：AB2+AD2=42AB•由FH平分ZEFB，HM丄EF,HN丄BC,得HM=HN因为ZHBN二45。,ZHNB二90。，所以BH二HN=、.2hN二J2hMsin45°DF由EF二=^2DF=41DH，得EF=2AB-2HM.cos45°【详解】证明：t四边形ABCD是正方形，AD=CD,ZEAD=上BCD=ZADC=90°.ZEAD=ZFCD=90°.•••CF=AE。△AED^△CFD.ZADE=ZCDF.ZEDF=ZEDC+ZCDF=ZEDC+ZADE=ZADC=90°..DE丄DF.证明：t△AED^△CFD,.DE=DF.tZEDF=90°,ZDEF=ZDFE=45°.tZABC=90°,BD平分ZABC,ZDBF=45°.tFH平分ZEFB,.ZEFH=ZBFH.tZDHF=ZDBF+ZBFH=45°+ZBFHJZDFH=ZDFE+ZEFH=45°+ZEFH,.ZDHF=ZDFH..DH=DF.EF=2AB-2HM.…BD=\；AB2+AD2=、.[2AB-tFH平分ZEFB,HM丄EF,HN丄BC,

HM=HN.ZHBN二45。,ZHNB二90。,.BH=HN=^HN=^HMsin45。.DH=BD-BH=J2AB-迈HM.•EF=°F»7df=J2DH,cos45。.EF=2AB-2HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.8．（1）（问题发现）如图1,在RtAABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；当正方形CDEF旋转到B,■当正方形CDEF旋转到B,■FE，F三点共线时候，直接写出线段AF的长.J【答案】（1）BE=J2AF；（2）无变化；（3）AF的长为朽-1或爲+1.【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD=迈，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出CA=上2，同理得出CF=2，夹角相等即可得出CB2CE2△ACF-△BCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2,先利用勾股定理求出EF=CF=ADr2,BF=J6，即可得出BE=v6-<2，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.试题解析：（1）在RtAABC中，AB=AC=2,根据勾股定理得，bc=.'2AB=2嘗2,点点D为BC的中点，二AD=2BC=J2,•••四边形CDEF是正方形，•••AF=EF=AD=,TBE=AB=2,•BE=\2AF,故答案为be=t2af；2）无变化；如图2,在RtAABC中，AB=AC=2,•ZABC=•ZABC=ZACB=45°,CA•sinZABC=CACBCB1在正方形CDEF中，1在正方形CDEF中，ZFEC=2ZFED=45°,在RtACEF中,sinZFEC=CF巨CE2.CF_CA.CF_CA~CE~~CB，TZFCE=ZACB=45°,•ZFCE-ZACE=ZACB-ZACE,•ZFCA=ZECB,BECB-l•△ACF〜△BCE，•_=J2,•BE*2AF,AFCA•线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时,如图2,由（1）知，CF=EF=CD=j2,在RtABCF中，CF=J2,BC=2p'2,根据勾股定理得，BF=J6,•BE=BF-EF=^6-<2,由（2）知，BE=「2AF,•AF=『3-1,当点E在线段BF的延长线上时，如图3，*亠CA/在RtAABC中，AB=AC=2,•ZABC=ZACB=45°,•sinZABC=_-CB2在正方形CDEF在正方形CDEF中，ZFEC=1ZFED=45°,2在RtACEF中,在RtACEF中,sinZFEC=CF_^CE2CFCA~CE~~CBTZTZFCE=ZACB=45°,•ZFCB+ZACB=ZFCB+ZFCE,•ZFCA=ZECB,•△ACF•△ACF-△BCE,BE_CB~AF~~CA=*2,•be=、：''2af,由（1）知，cf=ef=cd=J2,在RtABCF中，CF=J2,BC=272,根据勾股定理得,BF^'6,•BE=BF+EF=<6+、辽,由(2)知，BE=\；'2AF,•••AF=p3+1.即：当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候，线段AF的长为-1或^3+1.9.现有一张矩形纸片ABCD(如图)，其中AB=4cm,BC=6cm，点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B',过E作EF垂直B'C,交B'C于F.求AE、EF的位置关系;(2)求线段B'C的长，并求△B'EC的面积.【答案】(1)见解析；(2)B孑~25.【解析】【分析】由折线法及点E是BC的中点，可证得厶B'EC是等腰三角形，再有条件证明/AEF=90°即可得到AE丄EF；连接BB'，通过折叠，可知ZEBBz=ZEBB由E是BC的中点，可得EBZ=EC,ZECBz=ZEB'C，从而可证△BB'C为直角三角形，在RtAAOB和RtABOE中，可将OB,BB'的长求出，在RtABB'C中，根据勾股定理可将B'C的值求出.【详解】(1)由折线法及点E是BC的中点，EB=EB'=EC,ZAEB=ZAEB',△B'EC是等腰三角形，又:EF丄B'CEF为ZB'EC的角平分线，即ZB'EF=ZFEC,ZAEF=180°-(ZAEB+ZCEF)=90°,即ZAEF=90°,

即AE丄EF；连接BB交AE于点0,由折线法及点E是BC的中点,EB=EB'=EC,ZEBB'=AEBB,ZECB'=ZEB'C；又:△BBC三内角之和为180°,zBB'C=90°；T点B'是点B关于直线AE的对称点,.AE垂直平分BB'；在RtAA0B和RtAB0E中，B02=AB2-A02=BE2-(AE-A0)2将AB=4cm,BE=3cm,AE=5cm,A0=A0=16cm,.BO=\：AB2-AO2=辛cm,24..BB'^2B0^cm,5.在.在RtABBC中,BC=JBC2-BB，2=¥cm,由题意可知四边形0EFB'是矩形,EF=OB'12•••S&B'EC=-xEF=OB'12•••S&B'EC=-xB2C*EF=11812—xx—255108~25点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化．10.如图1,矩形ABCD中，AB=8,AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF丄CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H.(1)①如图2,当点F与点B重合时，CE=,CG=；②如图3,当点E是BD中点时，CE=,CG=；(2)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并

加以证明；CG在图1,的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由;CE4)在图1，15；(2心4)在图1，15；(2心EBG是直角三角形，理由详见解析；(3)【答案】(1)24设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围.18飞，5334；(4)S=4X2-48—x+4832(0<x<).【解析】【分析】①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；(3)只要证明厶DCE-△BCG，即可解决问题；4)利用相似多边形的性质构建函数关系式即可详解】(1)①(1)①如图2中，DQ卫叫在RtABAD中，BD=JAD2+AB2=10,11ce=24CG=BE==2・CD・BC=2・BD・CE'ce=24CG=BE=182=5②如图3中，过点E作MN丄AM交AB于N,交CD于M.TDE=BE,1二CE=BD=5,2T△CME-△ENF,.CM_EN~CE~~EF，CG=EF=15,4(2)结论：△EBG是直角三角形.理由：如图1中，连接BH.在RtABCF中，TFH=CH,.BH=FH=CH，T四边形EFGC是矩形，.EH=HG=HF=HC，.BH=EH=HG，.△EBG是直角三角形.(3)F如图1中，THE=HC=HG=HB=HF.C、E、F、B、G五点共圆，TEF=CG，ZCBG=ZEBF，TCDIIAB，.ZEBF=ZCDE，.ZCBG=ZCDE，TZDCB=ZECG=90°，.ZDCE=ZBCG，..△DCE~△BCG,.CG_BC_6_3…~CE~~DC~R—4.

(4)由(3)可知：CG_CD_3~CE~~CB~4，•••矩形CEFG-矩形ABCD,TOC\o"1-5"\h\zSCECE2矩形CEFG=()2=SCD64矩形ABCD32•••CE2=(32-x)32•••CE2=(32-x)5242+M)2，S矩形ABCD=48，3•S=[

矩形CEFG4LC32-x)52+24(了)2].4832•矩形CEFG的面积S=x2-x+48(0<x<32).55【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题.11.如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是/ACP的平分线上一点，若/AMN=60°,求证：AM=MN.（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为"正方形ABCD”，N是/DCP的平分线上一点，若（3）若将（2）中的“正方形ABCD"（3）若将（2）中的“正方形ABCD"改为"正n边形A1A2^An"，其它条件不变，请你猜想:当ZAn2MN=。时，结论An2M=MN仍然成立.（不要求证明）答案】(n-2)1800n【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E,使AE=CM，连接ME,利用ASA即可证明厶AEM^△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN.（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E,使AE=CM，连接ME,利用ASA即可证明厶AEM^△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN.

详（1）证明：在边详（1）证明：在边AB上截取AE=MC,连接ME.AMC在正△ABC中，ZB=ZBCA=60°,AB=BC.ZNMC=180°-ZAMN-ZAMB=180°-ZB-ZAMB=ZMAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM，.ZBEM=60°,.ZAEM=120°.TN是ZACP的平分线上一点，.ZACN=60°,.ZMCN=120°.在厶AEM与厶MCN中，ZMAE=ZNMC，AE=MC，ZAEM=ZMCN,.△AEM竺△MCN（ASA），.AM=MN.2）解：结论成立；理由：在边AB2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME.A/CT正方形ABCD中，ZB=ZBCD=90°,AB=BC..ZNMC=180°-ZAMN-ZAMB=180°-ZB-ZAMB=ZMAB=ZMAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，.ZBEM=45°，.ZAEM=135°.TN是ZDCP的平分线上一点，.ZNCP=45°，.ZMCN=135°.在厶AEM与厶MCN中，ZMAE=ZNMC，AE=MC，ZAEM=ZMCN，.△AEM竺△MCN（ASA），.AM=MN.（3）由（1）（（3）由（1）（2）可知当ZAn-2MN等于n边形的内角时，结论An-2M=MN仍然成立;].n点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．12.已知：在矩形ABCD12.已知：在矩形ABCD中，AB=10,BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上,AE=2.如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积(用a表示)；在(2)的条件下，△GFC的面积能否等于2?请说明理由.【答案】(1)10；(2)12-a；(3)不能【解析】解：(1)过点G作GM丄BC于M.在正方形EFGH中,ZHEF=90°,EH=EF,ZAEH+ZBEF=90°.TZAEH+ZAHE=90°,ZAHE=ZBEF.又:ZA=ZB=90°,△AHE竺△BEF.同理可证厶MFG竺△BEF.GM=BF=AE=2..FC=BC—BF=10.IISgfc=-FC-GM=-X10X21C过点G作GM丄BC交BC的延长线于M,连接HF.TADIIBC,•••ZAHF=ZMFH.TEHIFG,•••ZEHF=ZGFH.ZAHE=ZMFG.又TZA=ZGMF=90°,EH=GF,△AHE竺△MFG.•••GM=AE=2.11S也GFC--(12—♦♦•△GFC的面积不能等于2.说明一：t若gfc=2,则12—a=2,.a=10.此时，在△BEF中，EF=寸加9加=屈忑-2/+莎=flIS4在厶AHE中，AH=QEHE-知=-AE^=、164-2^=、1SO>12••AH>AD,即点H已经不在边AD上，故不可能有S=2.△GFC说明二：△GFC的面积不能等于2.T点H在AD上,•菱形边EH的最大值为Y•BF的最大值为、卜'.又:函数沐gfc=12—a的值随着a的增大而减小，saGFC的最小值为''■V'1.△GFC又•••Lf•△GFC的面积不能等于2.数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q,让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系.请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题.展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H.我们可以证明△BCQ^△ACD,从而易得BQ=AD,BQ丄AD.小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的.但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑.（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由.QEAEEBBB甲0CFQEAEEBBB甲0CF丙选择图乙或图丙的一种情况说明即可）（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想.拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T.则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由．【答案】成立；分类讨论思想；正方形.【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD,BQ丄AD；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，

拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90°，即可得出答案．试题解析：（1）、成立，理由：如图乙：由题意可得：ZFDE=ZQDC=ZABC=ZBAC=45°，则DC=QC，AC=BC，rAC=BC在厶ADC和厶BQC中T{二工BCQ，△ADC^△BQC（SAS），二AD=BQ，、DC=CQZDAC=ZQBC，延长AD交BQ于点F,贝贬ADC=ZBDF，.ZBFD=ZACD=90°，.AD丄BQ；（2）、小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；拓展延伸：四边形MNPT是正方形，理由：••理由：•••取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N.mn£tp..四边形MNpT是平行四边形，TNP堀BQ，gAD，.NP=MN，.平行四边形MNpT是菱形，又TAD丄BQ，NPIIBQ，MNIIAD，.ZMNP=90°，.四边形MNPT是正方形.考点：几何变换综合题如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF,连接BP、BH.BC（1）求证：ZAPB=ZBPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）2.

【解析】试题分析：(1)根据翻折变换的性质得出/PBC=ZBPH,进而利用平行线的性质得出ZAPB=ZPBC即可得出答案；首先证明厶ABP竺△QBP，进而得出△BCH竺△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；过F作FM丄AB，垂足为M,则FM=BC=AB，证明△EFM竺△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值.试题解析：(1)解：如图1，TPE=BE，ZEBP=ZEPB.又:ZEPH=ZEBC=90°,.ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP即ZPBC=ZBPH.又:ADIIBC，.ZAPB=ZPBC..ZAPB=ZBPH.(2)证明：如图2，过B作BQ丄PH，垂足为Q.由(1)知ZAPB=ZBPH，又:ZA=ZBQP=90°，BP=BP,在厶ABP和厶QBP中，^APB-*-eEQP-90°BP-BP△ABP竺△QBP(AAS)，.AP=QP，AB=BQ，又:AB=BC，BC=BQ.又/C=ZBQH=90°,BH=BH,在厶BCH和厶BQH中，BC-BQZ—MQH—时IBH-BH.△BCH竺△BQH(SAS),.CH=QH..△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8..△PDH的周长是定值.(3)解：如图3,过F作FM丄AB,垂足为M,则FM=BC=AB.又:EF为折痕，EF丄BP.ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,ZEFM=ZABP.又:ZA=ZEMF=90°,在厶EFM和厶BPA中，EEFM—HEP*Z.EMF-LAIFM-AB.