教辅同步阶段质量检测空间几何体

阶段质量检测（一）空间几何体(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等解析：选B棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．2．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形解析：选A三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.3．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体解析：选D根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱解析：选A圆柱的正视图不可能是三角形，则该几何体不可能是圆柱．5.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析：选A底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.6.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱解析：选B由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为()A．120° B．150°C．180° D．240°解析：选C设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝eq\f(nπL,180°)＝eq\f(nπ×2R,180°)，∴2πR＝eq\f(2nπR,180°)，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.8.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③ B．①③④C．①②③ D．①②③④解析：选A若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.9．已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()\f(32π,3) B．4πC．2π \f(4π,3)解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3).故选D.10.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋2eq\r(2)B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2)D．15解析：选B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以底面周长为4＋eq\r(2)，侧面积为2×(4＋eq\r(2))＝8＋2eq\r(2)，两底面的面积和为2×eq\f(1,2)×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2eq\r(2)＋3＝11＋2eq\r(2).11．(新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()\f(1,8) \f(1,7)\f(1,6) \f(1,5)解析：选D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的体积V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)，故选D.12．(山东高考)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()\f(2π,3) \f(4π,3)\f(5π,3) D．2π解析：选C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l解析：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.答案：214．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,2)V圆柱＋eq\f(1,4)V球＝eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,4)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π15.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．解析：设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则V三棱台ABC­A1B1C1＝eq\f(1,3)(S0＋4S0＋2S0)h＝eq\f(7,3)S0h，V三棱柱FEC­A1B1C1＝S0h.设剩余的几何体的体积为V，则V＝eq\f(7,3)S0h－S0h＝eq\f(4,3)S0h，体积之比为3∶4或4∶3.答案：3∶4(或4∶3)16.一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为________．解析：设圆锥筒的底面半径为r，高为h.由题意，得2πr＝eq\f(1,4)×2π×4，所以r＝1，所以h＝eq\r(42－12)＝eq\r(15)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(15)＝eq\f(\r(15),3)π.答案：eq\f(\r(15),3)π三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A­BMC1C结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A­BMC1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝eq\r(2)，BM＝eq\f(1,2)，AM＝eq\f(\r(5),2)，CC1＝1，AC1＝eq\r(3)，MC1＝eq\f(\r(5),2).18.(本小题满分12分)如图所示，在多面体FE­ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2).所以AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×\f(\r(2),4)))×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).19.(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比．解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h，V球＝eq\f(4,3)πr3.又h＝2r，∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))∶(πr2h)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)πr3))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))∶(2πr3)＝1∶2∶3.20.(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1­B1EDF解：连接EF，B1D1.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2.∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1∴h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.又S△C1EF＝eq\f(1,2)C1F·EF＝eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×eq\r(2)a＝eq\f(\r(2),4)a2，∴VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)a2×eq\r(2)a＝eq\f(1,6)a3.21.(本小题满分12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m铁丝．再用面积为Sm2的塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为rm.(1)当r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到．(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)设圆柱的高为hm，由题意，可知4(4r＋2h)＝，即2r＋h＝.S＝2πrh＋πr2＝πr－3r)＝3π[－(r－2＋](0<r<．所以当r＝时，Smax＝π≈(m2)．(2)由r＝,2r＋h＝，得圆柱的高h＝，则该灯笼的三视图为：22．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积S；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点，求在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组