教辅同步课时检测不等关系与不等式

课时跟踪检测（十四）不等关系与不等式层级一学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400解析：选Bx月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则()A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0解析：选D由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.3．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.4．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则2α－eq\f(β,3)的范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6)π)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5,6)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))解析：选D0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，由同向不等式相加得到－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.5．已知M＝2x＋1，N＝eq\f(1,\r(1＋x2))，则M，N的大小关系为()A．M>N B．M<NC．M＝N D．不确定解析：选A∵2x>0，∴M＝2x＋1>1，而x2＋1≥1，∴eq\f(1,\r(1＋x2))≤1，∴M>N，故选A.6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x－1<213，,30x>213.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x－1<213，,30x>213))7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴z的取值范围是[3,8]．答案：[3,8]9．两种药片的有效成分如下表所示：成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)176若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打和28mg可待因，求两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．解：设提供A药片x片，B药片y片，由题意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥12，,5x＋7y≥70，,x＋6y≥28，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))10．(1)若a＜b＜0，求证：eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)；(2)已知a＞b，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，求证：ab＞0.证明：(1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)＜0，故eq\f(b,a)＜eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＜0，即eq\f(b－a,ab)＜0，而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.层级二应试能力达标1．若x∈R，y∈R，则()A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1解析：选A因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.2．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与NA．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：选B∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：选A由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>85,y≥90,z≥95)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥85,y>90,z>95))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>85,y≥90,z>95)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥85,y>90,z≥95))解析：选Cx超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C.5．已知|a|＜1，则eq\f(1,1＋a)与1－a的大小关系为________．解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.∴1＋a＞0,1－a＞0.即eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)∵0＜1－a2≤1，∴eq\f(1,1－a2)≥1，∴eq\f(1,1＋a)≥1－a.答案：eq\f(1,1＋a)≥1－a6．设a，b为正实数，有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝eq\f(1,a＋b)⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则eq\f(1,a＋b)≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．对于②，取特殊值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，则a－b>1.对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨设a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正确．答案：①④7．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；当a<b时，x－y<0，所以x<y.8．已知x，y为正实数，且1≤lg(xy)≤2,3≤lgeq\f(x,y)≤4，求lg(x4y2)的取值范围．解：由题意，设a＝lgx，b＝lgy，∴lg(x