不动点原理及其应用

题目：摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用AbstractInthispaper,wetalkedaboutcontractionmappingprinciple,Schauder’sfixedpointtheoremandtheapplicationofthefixedpointtheorem.Aswedealwiththesolutionsaboutdifferentialequation,integralequationandotherkindsofequations,itisausefulwaytotransformtheproblemintofixedpointtheorem.Wecanuseittosolveplentyofpracticeproblemstoo.Keywords:contractionmappingprinciple;Schauder’sfixedpointtheorem;theapplicationoffixedpointtheorem.目录弓|言11.压缩映射原理1TOC\o"1-5"\h\z1.1压缩映射原理（距离空间）11.2压缩映射原理（巴拿赫空间）7\o"CurrentDocument"2.Schauder不动点定理9\o"CurrentDocument"3不动点定理的应用11\o"CurrentDocument"总结12\o"CurrentDocument"参考文献14页脚引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性，唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。1压缩映射原理1.1压缩映射原理(距离空间)定义1.1.1:设X是度量空间，T是X到X中的映射，若存在数0京<1，使得对所有0<9<1，有P(Tx,Ty)<Op(x,y)，则称T是压缩映射。【1】定理1.1.1:设X是完备的距离空间，距离为p，T是由X到其自身的映射，且对任意的x,yeX，不等式P(Tx,Ty)<Op(x,y)，(1.1.1)成立，其中O是满足不等式0<O<1的常数，那么T在X中存在唯一的不动点，既存在唯一的xeX使得Tx=x，x可用迭代法求得.证明：在X中任意取定一点x0，并令TOC\o"1-5"\h\zx=Txx=Tx，x=Tx，由10,21n+1n,p(x,x)=p(Tx,Tx)<Op(x,x)=Op(x,Tx);12010100p(x,x)=p(Tx,Tx)<Op(x,x)=O2p(x,Tx);23121200可证明)+...+pn+On+1+...+On+p-1)p(x,Tx)(n=1,2,3.....),x)n+p-1n+pp(x,x)<Onp(x,Tx)p(x,x)<p(x,x)+p()+...+pn+On+1+...+On+p-1)p(x,Tx)(n=1,2,3.....),x)n+p-1n+p1-0001—00,0由于0<0<1,所以0n—0,则"}是X中的基本点列，由X的完备性可知"}收敛于X中某一点x,由(1.1.1)式可知,T是连续映射，在X"1=件中，令nF,可得Tx=x,因此x是T的一个不动点。下证唯一性：设另有项使得y=Ty，则(-/__、」__

px,y=pTx，Ty<0Px，yk7k7k.一r\因为0<0<1，所以Px,y=0，即x=y，唯一性成立。k7定理1.1.2:设T:XtX是X上的映射，若对于某个自然数k，Tk有唯不动点，则T以同一点作为唯一不动点。【2】证明：设xeX是Tk的唯一不动点，Tkx=x，则Tx=T(Tkx)=Tk(Tx)，000000因此Tx0是Tk的不动点，由唯一性可知Tx0=x0，又因为T的每一个不动点肯定是Tk的不动点，因此T的不动点是唯一的。例1.1.1设K(s,t)是矩形a<s,t<b上的连续函数，suP\K(s,t)=MV8，对于每个a<s,t<bR2有x(t)=pjtK(t,t》t+甲(t)x(t)=pjtK(t,t》t+甲(t),a中(t)eC[a,b],求证这个方程在C[a,b]中存在唯一解。证明：考虑映射T:C[a,b]rC[a,b]，(Tx)(t)=pjKt,tbt+甲(t),VxGC[a,b]，a则有|(Tx)(t)-Ty(t)|=|叫|』”K(t具)(xG)-yG)M(t)-y(t)||t-a|=叫M(t-a)p(x,y)(1.1.3)对此进行归纳,<1叶MnG.)np(x,y)|(Tn+ix)(t)—(Tn+iy)(t)jtK(t具)(Tnx)(t)-Gny)G以a<m|n+1Mn+1—jt(T-aTdcpG,y)!a=m|n+1Mn+1(；a,p(x,y)(n+1)!(TnX)(t)-(Tny)(t)(1.1.4)因此对任意的自然数n,(Tnx,Tny)=supa<t<b(Tnx)(t)-(Tny(t))<p（x,y）（1.1.5）n!当n足够大时，使”「M"b-"'v1，则Tn是C[a,b]上的压缩映射，由于C[a,b]n!完备，因此Tn有唯一的不动点，根据定理1.1.2,T有同一不动点，是方程的解。例1.1.2设T是压缩映射，求证Tn也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.证明：（1）因为T是压缩映射，因此存在存在yG（0,1），使得页脚p(TXTy)<yp(x,y),贝Up(T2x,T2y)<yp(Tx,Ty)<y2,并且假设pG心,Tny)<Ynp(x,y)成立，那么有：由于3（0,1），则YY（0,1）,所p(Tn+1X,Tn+1y)<yp(Tnx,Tny)<y叫np(x,y)=Yn+ip(x,y)，由数学归纳法可知p(Tnx,Tny)<Ynp(x由于3（0,1），则YY（0,1）,所（2）该命题的逆命题不一定成立，如：f（x）=\；x:【0,1］t［0,1］；f2（x）=x:［0,1］t【0,1］是压缩映射,f（x）=：x:［。,1］顼0,1］；不是压缩映射。若f（x）=\三：［0，1］t［°，1］；是压缩映射，则有，存在Y6（0,1）使得f(x-xl<Y(x-x),有一xsV<Y,则差商是有界的。但若取21I21x-x1)克J12七f(x)-f(x)T8，与差商有界矛盾，故证。x1=n'x2=n■有(x-x)1)克JT8，与差商有界矛盾，故证。例1.1.3设D=[a,b]x(-8,8),f:D—R满足：①f在D上连续；(2)fy(x,y)在D上存在，0<m<fy(x,y)<M,对于任意的(x,y)eD,方

程f(x,J)=0存在唯一的解"中(x).证明：C[a,b]是完备的距离空间，T是C[a,b]到C[a,b]上的连续映射,d(d(x,y)==maxx(t)—y(t)T不是压缩映射，添加一个参数M进行修正,(邓)(x)*(x)-—f(x,中(x))

M，咒甲2GC[a,b],xe[a,b]根据条件，结合中值定理可得:侦甲)(x)—Cr甲)(x)|=|甲(x)-—f(x,甲(x))一112111M1平(x)一甲(x)]—M[f(x,甲(x))一f(x,甲(x))平(x)一甲(x)]一2f(x,甲(x))+。(甲(x))一平(x).(甲(x))一平(x)12-My21212珈](x)珈](x)-甲2(x)〔m\1一——<max"M)问(x)—甲2(x)=ad(甲(x)一甲(x))因此，T是压缩映射，存在唯一中(x)e[a,b]中(x)e[a,b]T甲(x)*(x),即f(x,甲(x))=0例1.1.4微分方程解的存在性和唯一性半=f(x,y)dxyi=y半=f(x,y)dxyi=yx00(1.1.6)f(x,y)-f(x,y)v邓-(1.1.7)其中K>0为常数，过定点(x0,yo)的积分曲线只有一条与方程(1.1.6)等价的积分方程为：y(x)=y+fxf(/,y(t)》t，(1.1.8)0xo取5>0满足K5v1.在C[x-5,xo+5]中定义映射T：(Ty)(x)=y+jxf(t,y(t)lzt(xe[x-5,x+5])oxoPGyTy)=max<maxjlx-x°<5<K5maxt-x^<5则有,xxoxxo[f(t,yi(t))-f(t,y2(t)“dtK|yi(t)-y2(t》t(1.1.9)|y(t)-y(t】=K5p(PGyTy)=max<maxjlx-x°<5<K5maxt-x^<5xxoxxo(1.1.9)y(x)=y+jxf(t,y(t))it，

ooxoo00由此，y=yo(x)就是微分方程过(x,y)的积分曲线。00例1.1.5设T是度量空间下的压缩映射，求证T是连续的。证明：只需证当x证明：只需证当xn-xo时,有件-Txo，根据假设，存在ye[o,1]使得p(Tx,Ty)<yp(x,y)成立，因此当x—x0,P(x,%)T0p(Tx,Tx)<yp(x,x)T0成立因，此p(Tx,Tx)T0,TxrTx.n0n0n0n01.2压缩映射原理（巴拿赫空间）下面讨论压缩映射原理在巴拿赫空间下的情形。定理1.2.1:设X是巴拿赫空间，设A:XrX非线性映射，并且有||Ah]-A[v]||<Yu-v||，u,veX，（1.2.1）其中Y满足不等式0<Y<1，那么A在X中有唯一的不动点，且由（1.2.1）式可知A是连续映射。【3】证明：在X中任意取定一点u0，并令u-A[u]，k=0,1,2…IIA[u]-A[u]||<Yllu一uII=yIA[uk+1kk+1k11因此，||A[u1]-A[u』<Yk||A[u0]-uj|，k=0,1，…「u[-A「u]Lj+1」Lj」<||A[u0]<||A[u0]-u°||芸yjj='-iluk-u』=|A[uk-1]-Ak-1]<芸||Aj里-i因此，｛uj”是X中的柯西列，那么存在一点ueX，在X中点列ukru，有k=1A[u]=u，因此u是A的不动点，公式（1.2.1）保证了唯一性。由于巴拿赫空间是特殊的度量空间，其应用与定理1.1.1类似，在此不再详述,对于该部分的详细内容可参考张恭庆，林源渠，泛函分析讲义一书。页脚例1.2.1'u-Au=f(u)在U上<'u=0在QUx[0,T]上(1.2.2)u=g在Ux{t=0}上这里u=(u1...um),g=(g1...gm),UT=Ux[0,T],U是开的有界集，边界光滑，时间T>0是固定的，我们假定初始函数属于H0(U;Rm)，设f:RmTRm是利普希兹连续(1.2.3)f:RmTRm是利普希兹连续(1.2.3)这个假设表明：f(z)<CG+|z|)对于zGRm成立。(1.2.4)我们说函数(),T;H0(U;Rm))，侦T;H-1(U;Rm))(1.2.5)(1.2.6)(1.2.7)是(1.2.2)的一个弱解，并有(1.2.6)(1.2.7):;H，,、；+B[h,v]=(f(H),v)a.e.0<t<T,对于每一个vgH0(U;Rm)，且有u(0)=g在(1.2.6)式中，(,)代表H-1(U;Rm)和H0(U;Rm)的匹配"{,}是与-A相关的,(,)代表着LU;Rm)上的内积。2Schauder不动点定理我们先讨论一个重要的不动点定理Brouwer不动点定理。定理2.1:（Brouwer不动点定理）设B是中的闭单位球，又假设T:BtB是一个连续映射，那么T必有一个不动点xeB.推论2.1:设C是Rn中的紧凸子集，T:CtC是连续的，则T必有一个在C上的不动点。证明：由于C与Rm（m<n）中的一个单位球同胚，记此同胚为9:Bm（0,1）tC，考察映射r=P-ir，显然有T:Bm（0,1）tBm（0,1），对%应用Brouwer不动点定理，存在xeBm（o,1），使得Tx=x成立，据此可知y=（pxeC是T的不动点。为了讨论无限维空间中的情形，我们引入Schauder不动点定理。定理2.2:（Schauder不动点定理）设KuX是凸的紧集，并且假定A:KtK是连续的，那么A在K中有不动点。【4】证明：给定^>0,选定有限个点uu...ueK，于是开球（B0（u,。"覆盖K，1，2，N「i=1即KuJB0（u/）,（2.1.1）i=1因为K是紧的，所以（2.1.1）成立，让匕表示由点列｛u「u2..,J组成的闭凸壳:K:=]Zm.|0少<1&=1|（2.1.2）Ii=1i=1）因为K是紧的，则有K^uK，现在定义q:Kt%:(2.1.3)ZNdist(u,K-B0(u,8))u(2.1.3)PLu」:=《/，(ueK)8乙Ndist侦,K-B0(u,8))i=1.由（2.1.1）式可知，分母不为零。现在证明P是连续的：&

dist(u,K—B0(u点))对于每个ueK，有"】「£(2.1.4)"£"£Ndist(u,Kdist(u,K—B0(u点))(2.1.4)考虑下一个由A[u]=P「A[u』(ueK£)定义的算子那么K£与单位球RM(M£<N£)是同胚映射，定理(2.1)保证了(2.1.5)(2.1.5)的存在性。因为K是紧集，存在点列£JT0和ueK，使得在X中u£jTu，我们断言u是A的不动点，事实上，根据(2.1.2)有，u£J-A"<£j，又因为A是连续的，可得u=Au£J例2.1设函数f(t,x):R1xR1tR1在[-h,h]x[^—b,&+b]上二元连续(有常数M是的f(t,x)<M成立)，证明常微分方程初值问题的存在性定理。证明：考虑C[—h,h]中的球B(&,b)上的映射：(TX)(t)=&+jtf(t,x(t)》t，下面证明对足够小的h，T映B(&,b)到自身，并且0T是紧的，因为：

T(x)(t)-(Tx)<Mt-1牛(Vte[-h,h]),所以T连续，B(&T(x)(t)-(Tx)3不动点定理的应用下面通过对一个实际问题的研究，来探讨不动点理论的应用问题背景：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，但挪动几次就可以使四只脚同时着地。问题假设：椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触处能够看为一个点，椅子四个角连线成正方形；地面可以视为连续曲面；地面时相对平坦的，即椅子在任何地方都有四只脚着地。【5】问题分析：椅子脚连线成正方形，可以考虑以椅子中心为对称点，正方形绕中心的旋转代表椅子位置的改变，所以能够用旋转角度表示椅子的位置，椅子四脚连线为正方形ABCD。AC连线与x轴重合，椅子绕中心旋转0后，AC与x轴的夹角表示椅子的位置。设AC两脚与地面距离之和为f(0)，BD两脚与地面距离之和为g（0）,g（0）,f（0）＞0由假设可知，f（0）,g（0）,中至少有一个为零,假设在0=0时，f（0）=0,g（0）＞0,问题转化为这样的数学问题：已知f（0），g（0）是0的连续函数，对任意0，f（0）・g（0）=0，并且有f（0）=0,g（0）＞0.证明存在0。使得f（0°）=g（0。）=0问题求解：将椅子旋转900，对角线AC与BD互换，由f（0）=0,g（0）＞0可知fG*）＞0,g«；）=0，令h（0）=f（0）—g（0），有h（0）＜0,h«；）＞0,根据定理2.1，可知必存在0（）＜0＜\2）使得h（0）=0,即f（0）=g（0），又因为00'2000f（0）・g（0）=0，所以f（0）=g（0）=0。00总