河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案

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河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷.单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、内.不选、错选或多选者,该题不得分.A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)D.1.f(x)=ln(1—x)+Jx+2的1.解:2.limx埠sinx--!解:2.limx埠sinx--!A.1B.0C.(-2,1)1-x>0；二x+2>0D.3解:lim1-2cosx03sinx-13解:lim1-2cosx03sinx-13Jlimx匚32sinxcosx-3J32——3.占八\、3x-13x1A.连续点B.A.连续点B.跳跃间断点 C.可去间断点D. 第二类间断点解:limx-03x13x-1i1 0 21r 3,-1J 371n3=-1,lim-1解:limx-03x13x-1i1 0 21r 3,-1J 371n3=-1,lim-1 ==lim―； =1=B.Xj0，1 x)0，13X1 3X1n34.下列极限存在的为()A.limexx_］二B.sin2xlimx-0 xC.limcoslx6xx-3解：显然只有sin2x0 二2其他三个都不存在B.TOC\o"1-5"\h\z.当xt0时，ln(1+x2)是比1—cosx的( )A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等阶无穷小D.同阶但不等价无穷小2角牛：ln(1x2)〜x2,1-cosx=2sin2-~ —D.2 2'。 11+(x+1)sin ,x<-1、 x+1.设函数f(x)=<1, -1<x<0 )则f(x)arctanx, x>0

A.在x=—1处连续，在x=0处不连续 B.在x=0处连续，在x=_1处不连续C.在x=f0,处均连续 D.在x=-i,0,处均不连续解：lim1f(x)=1,limj(x)=1,f(-1)=1= f(x)在x=—1处连续；x xlimj(x)=1,limj(x)=0,f(0)=1nf(x)在x=0处不连续；x_0- x_0'应选A..过曲线y=arctanx+e*上的点(0,1)处的法线方程为()A.2x—y+1=0 B. x—2y+2=0C.2x-y-1=0 D. x2y—2=0解：y=^^+exn「(0)=2=k法=D.1x 2.设函数f(x)在x=0处可导,f(x)=f(0)—3x+a(x)且lim©=0,则f(0)=()xxA.-1 B.1C.-3D.3解:f(0)"m0f(x)-f(0)

x—0lim^^=.31x0 x—0-3,应选C.9.若函数f(x)=(lnx)x(x>1)则f(x)=A.(lnx)小B.(lnx)xl (lnx)xln(lnx)C.(Inx)xln(lnx)D.x(lnx)xf(x)=(lnx)x=exln(lnx)=y=(lnx)x[xln(lnx)]=(lnx)xJ (Inx)ln(lnx),应选B.10.设函数y=y(x)由参数方程」3,-t确定，则y=sintd2ydx2A.-2B.-1C.解：虫=®二,dxcost驾=^2- 2^dxcost3costsintd2ydx2f”,应选D.411.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是A.y二exB.y=ln|x|C.y=1-x2解：验证罗尔中值定理的条件,只有y=1.x2满足,应选C.曲线 y=x3+5x-2 的拐点是()A.x=0 B. (0,-2) C.无拐点D.x=0,y=—2解：y*=6x=0=x=0=(0,-2),应选B.曲 线 y=，|x-1|()A.只有水平渐进线 B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线C.只有垂直渐进线 D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解：lim—1-=0,lim-1-二一B.x—；：：|x-1|x：1|x_1|如果f(x)的一个原函数是xlnx,那么fx2f"(x)dx=()A.lnxC B. x2C

D.C.x3InxCD.角军: f(x)=(xlnx)'=1+lnx=f"(x)=12njx2f"(x)dx=—jdx=—x十C,x应选D.15.()B.A.Nx-3CB.C.ln(x-3)-ln(x-1)CD.C.ln(x-3)-ln(x-1)CD.ln(x-1)-ln(x-3)C解:dx dx! 解:dx dx! 2 !x2-4x3(x-3)(x-1)-£[dxTn君+C，应选A.16.设i=01*,则i的取值范围为01x7()A.o<i<1 B.1<i<1 C.0与i——2 4D.1<i<12解：此题有问题，定积分是一个常数，有量士盯2 1-x4根据定积分的估值性质，有.i",但这个常数也在其

它三个区间，都应该正确，但真题中答案是B.下列广义积分收敛的是()A.：x3dx B.：^dx C.「【xdx1xr-\"bo»D.edx-0解：显然应选D.18.(A.18.(A.13J)3TOC\o"1-5"\h\z011-x|dx B.(x-1)dx(1-x)dx3 1C.f(1-x)dx-j(x-1)dx D.3f 11 3L(1-x)dx+4x-1)dx,应选一(1-x)dxL(1-x)dx+4x-1)dx,应选解:3 1 3解:q|1-x|dx=J1-x|dx，I|1-x|dx=D.19.若f(x)可导函数)f(x)>0)且满足A.ln(1cosx) B.-ln(1cosx)CC.-ln(1+cosx) D.ln(1cosx)C解：对/(刈=/2一21%画“两边求导01-cost有：2f(x)f(x)=-2詈吟1cosxJsinx sinx. d(1cosx)即侣f(x)= f(x) dx=1cosx 1cosx1cosx

=ln(1+cosx)+C,还初始条件f(0)=ln2,代入得c=0,应选A..若函数f(x)满足f(x)=x+1—![f(x)dx 贝Uf(x)=2-1A.B.C.D.解:f(x)dx,贝Uf(x)=x+1—3a故有A.B.C.D.解:f(x)dx,贝Uf(x)=x+1—3a故有a=」f(x)dx=d(x1-1—a)dx=2-a=a=1=2f(x)=x+；,应选C.. 若I=jx3f(x2)dx 则e20e20xf(x)dxe0xf(x)dx1e2一xf(x)dx20D1,xf^dx2.0解：I=2jx2f(x2)d(x2)=2jtf(t)d(t)=2jxf(x)d(x),应选C..直线答二T十与平面4x-3y+7z=5的位置关系为A.直线与平面斜交 B.直线与平面垂直C.直线在平面内 D. 直线与平面平行

解：s={5,9,1},n={4,T7}=s，n,而点(-2,-4,0)不在平面内，为平行，应选D.23.2 223...xylim xZo x2-y21-1A.2B.3A.2B.3C.1D.不存在A.解:limx0

y-0=limA.解:limx0

y-0=lim.x2 y21-1冷2 2 2 2(xy)(.xy11)2 2xy=lim(.x2y211)=2y,应选24.曲面z=x2+y2在点（1,2,5）处切平面方程A.2x+4y—z=5 B.4x+2y—z=5C.x+2y_4z=5解：令F(x,y,z)=x2+y2—z,Fx(1,2,5)=2,F；(1,2,5)=4,F；(1,2,5)=—1=2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0=2x+4y-z=5,也可以把点(1)2)5)代入方程验证，应选A.、一 _- -2设函数z=x3y—xy3 则三^=ycx

A.6xy B.3x2-3y2D.3y2-3x2-2解：名=x3-3xy2="=3x2—3y2,应选B.二y :y：x26.如果区域 D被分成两个子区域口f(x,y)dxdy=5)Di口f(x,y)dxdy=1 , 贝UD2( )A.5B.4C.6D.1解：根据二重积分的可加性,Hf(x,y)dxdy=6D27.如果l是摆线Vsint从点A(2m到点

、y=1-costC.-6xyD1C.-6xyD1和D2且f(x,y)dxdy=D,应选C.B(0,0)的——2 x 1 3(xy3xe)dx(—x-ysiny)dy二L 3

B.D.A.e2二(1-2-)_1B.D.2[e2二(1-2二)一1]C.3[e”(1-2二)一1]4[e2](1一2二)一1]解：有北:义=x2=此积分与路径无关，取直线段TOC\o"1-5"\h\z. .rv ，二y 二xX=x,x从2n变到0,则2 x 1 32 x 1 3Jxy3xe)dx(-x一ysiny)dy=[3xexdx=3[xdex=3(xex-ex)，2冗 ,2兀 、 '=3[e2](1-2I)_1],应选C..以通解为y=Ce*(C为任意常数)的微分方程为()A.yy=0B.y-y=0C.yy=1D.y-y1=0解：y=Cex=yr=Cex=sy'-y=0,应选B..微分方程y,+y=xe-的特解形式应设为八()A.x(ax+b)e^ B.ax+b C.(ax+b)e^

D.x2(axb)e"解：-1是单特征方程的根，x是一次多项式，应设y*=x(ax+b)e'应选A..下列四个级数中，发散的级数是A.B.00zn=4A.B.00zn=42n-31000nC.oCznpn2n一0°1D.、4n=4n解：级数工施的一般项施的极限为京叫是发散的,应选B.二、填空题（每题2分，共30分）条件是.limf（x）=A的条件是limf(x)=limf(x)=A.x—x0- x及一解：显然为充要（充分且必要）..函数y=x—sinx在区间（0,2町单调,其曲线在区间㈢内的凹凸性为的.解：y，=1-cosx>0=在（0,2町内单调增加，y"=sinx在'0,」|,2

内大于零，应为凹的.33.设方程3x2+2y2"2=a(a为常数)所确定的隐函数z=f(x,y),贝U名=.次解：F=3xAB={-1,1,0},AC={2,0,-1}nabmAC=-12y2z2—a=Fz=2z,Fx=6x—z=一Fx=_AB={-1,1,0},AC={2,0,-1}nabmAC=-1_ I-F _；x Fz z34.dx1 .x34.dx1 .x2tdt1t1 1、2tdt1t1一——dt=2t-2ln(1+t)+C=2<x-2ln(1+Vx)+C<1+t.J35.解：函数二在区间K］是奇函数，所以xcosxdx=0.xcosx在空间直角坐标系中，以解:j k1 0={-1,-1,-2})所0-1A(0,-4,1),B(—1,—3,1),C(2,—4,0)解:j k1 0={-1,-1,-2})所0-1以MBC的面积为1 -1ABMAC37.方程,2 2a+:=1在空间直角坐标下的图形为Jx--2解：是椭圆柱面与平面x=-2的交线,为两条平行直线.38.函数f(x,y)=x3+y3—3xy的驻点为.:z——=3x；x解：臣f-y-3y=0=(0,0),(1,1).-3x-039.若1z=x2y+e1，q,xy3+2tan解：f(x,0)=0=*=0= |zx x=0.(i,0)(1,0)315T40.；dx*dy二0xy解:71 y14-cosydy=:dyq—cosydx=:cosydy=sin乂4=41.直角坐标系下的二重积分 卜(x,y)dxdy(其中D为环D域1Mx2+y2M9 )化为极坐标形式为解:2二311f(x,y)dxdy=df(rcos工rsinRrdr.

■0 11二…1二xnJ-(-1二…1二xnJ-(-1)nxn-l-43nm 6n反2n1 1n「八-3^x,(-1<x<1)0045.-n1n记的敛散性为的级数.解:.以y=Cie，x+C2xe型为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为.解：由y=C,l1 1 1 1 1111用半：f(x)=- =一- =一- -- -x-2 3111 1 1 1 1111用半：f(x)=- =一- =一- -- -x-2 3111x2-x31x61一2.等比级数Jaqn（a/0）,当时级数收敛,当nz0时级数发散.解：级数Jaqn是等比级数，当|q|<1时，级数收敛，当n=0|q户1时，级数发散..函数f（x）=展开为x的哥级数为x。x-2、计算题（每小题5分，共40分）46.limx222 -T(x-3x25解:x2 2lim2x-^x2-3,=lim一x>:-1-x23 一33

(-)2limi1-2r

x32xx2 3-3(-2)5=e2.47.求四xtV1+t2dt解:limx—.0x2 (闯1+t2dt=limx_04x3x231x42xlim——

x3031x448.已知y=lnsin(1-2x),求dy.dx解:dxsin(1-2x)Sin(1-2x)1=cos(1-2x)sin(1-2x)-2xcC0S(1-2x)_2sin(1-2x)49.解:=-2cot(1-2x).计算不定积分fxarctanxdx.「 「 x[xarctanxdx=[arctanxd——<2xarctanx—-2arctanx-11x2121一2,1121一2,1II. 1dy=Ly3y"1748一arctanx--x—arctanxC.TOC\o"1-5"\h\z2 2 250.求函数z=excos(x+y)的全微分.解：利用微分的不变性,x x xdz=d[ecos(xy)]=edcos(xy)cos(xy)de二-exsin(xy)d(xy)cos(x'y)exdxx x二-esin(xy)[dxdy]cos(xy)edxx x=e[cos(xy)-sin(xy)]dx-esin(xy)dy51.计算口4d、其中D是由y=2,y=x,xy=1所围成的dy闭区域.解：积分区域D如图所示Y型，则有D=$(x,y)11<y<2,-yExEy?,x. . .•八.-dxdy=1dy1—dxdy 21 y 2121 y 21=「dy.1xdx=1—dy1y y 1y52.求微分方程yycosx=e到x满足初始条件y(0)=-i的特解.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程y，+ycosx=0的通解为y=Ce,inx,设y=C(x)e-nx是原方程解，代入方程有C(x)e'inx=eqnx,即有C(x)=1,所以C(x)=x+C,故原方程的通解为八_sinx _sinxy=Ce+xe,把初始条件y(0)=-i代入得：c=-i，故所求的特解为sinxy=(x-1)e .n53.求级数工工xn的收敛半径及收敛区间(考虑n=0n1区间端点).解：这是标准的不缺项的每级数，收敛半径R=《,而P=1橱=limW=3lim叱1=3,Tan fn+23n n*n+2 '故收敛半径R」.3当x=1时，级数化为9白，这是调和级数，发散的；3 n=0n1

当x=-1时，级数化为-V，这是交错级数,满足3 n.0n1莱布尼兹定理的条件，收敛的；所以级数的收敛域为一1,1.一33四、应用题(每题7分，共计14分)54.过曲线y=x2上一点m(i,i)作切线l,d是由曲线y=x2,切线l及x轴所围成的平面图形，产 2 _(1)平面图形D的面积；(2)该平面图形D绕(1)平面图形D的面积；(2)该平面图形D绕x轴旋*-体积.解：平面图形D如图所示：因y=2x,所以切线L的斜率切线L的方程为y-1=2(x-1),即y=；取x为积分变量，且xw[0,1].(1)平面图形D的面积为3112 1 x 2S=1xdx-ji(2x-1)dx=--(x-x)，0 .2 3o(2)平面图形D绕x轴旋忆一周所工转仲的o21k=y'(1)=2,2x-111=2 12一周所生成旋转体的体|y=x2tx=JyVx-二1 1 Y54