§81假设检验的基本概念

第八章假设检验统计推断的另一类重要问题是假设检验.在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的时候，为推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设.我们要根据样本所提供的信息以及运用适当的统计量，对提出的假设作出接受或拒绝的决策，假设检验是作出这一决策的过程.假设检验参数假设检验假设检验参数假设检验非参数假设检验后者参数假设检验针对总体分布函数中的未知参数提出的假设进行检验针对总体分布函数形式或类型的假设进行检验，本章主要讨论单参数假设检验问题.后者§8.1假设检验的基本概念一、问题的提出设一箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里有98个白球，乙从箱中任取一个，发现是红球，问甲的说法是否正确？先做假设H:箱中却有98个白球。如果假设H0正确，则从箱中任取一个球是红球的概率只有0.02，是小概率事件。个，发现是白球，则没有理由怀疑假设h的正确。今乙从箱中任取一个，发现是红球，即“小概率事件”竟然在一次试验中发生了，故有理由假设h0，即甲例1某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500克，设罐重是服从正态分布的随机变量，根据多年的观测结果，其标准卷=10克，每隔一段时间要检测机器工作是否正常，现从中抽取10罐，测得平均重量为507克，问这段时间机器工作是否正常？以X表示罐头的重量，则X〜N(p,b2)，这里b=b0=10克已知，^未知，根据样本均值天=507克来判断r=500还是^丈500.为此，我们提出假设H:r=r=500H:r^r这是两个对立的假设.我们要给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出判断是接受假设H0，还是拒绝假设H0.如果作出判断是接受H0，则认为r=Ro，即认为机器工作是正常的，否则认为机器工作是不正常的.这里称假设H0为原假设或零假设，对原假设H0作出拒绝或接受的判断，称为对H0作出显著性检验，而备选的假设H1称为备择假设.有备择假设的假设检验问题就是在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个、接受哪一个的判断.二、假设检验的基本思想例1中的问题化为检验问题H0：r=K；H1：旦卫K,其中R0=500.设X1,X2，,Xn为总体的一个样本，若H0成立，它就是来自总体N0q2）的一个样本，此时，样本均值X~N（日，气之），从而统计量000nX—口…U=——〜N（0,1）.b0/w'n对很小的正数a，有P{\Ul>"}=a.这里我们构造了一个小概率事件a/2{\U\>ua/2}，这意味着当H0成立时，对一次抽样的结果，事件{\U\>ua/2}发生的概率只有a.如果经过一次抽样，这个小概率事件发生了，根据“小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的”的小概率事件原理，我们就有理由怀疑原来所做出的假设H0的正确性，因而否定原假设H0.反之，如果经过一次抽样，小概率事件没有发生，我们就没有理由拒绝H0，只能接受H0.这里称由\U\>"如2确定的区域为拒绝域，记为W，即W={\U\>Ua/2}.拒绝域的边界点称为临界点.在例1中，若取a=0.05，则u=1.96，样本均值无=507，此时U的取值a/2U='507—500\=2.2136>1.96，即小概率事件发生了，于是我们拒绝H，认为10/v100机器工作不正常.如上所述，在假设检验中要给定一个很小的数a，把概率不超过a的小概率事件认为是实际不可能事件，a越小，否定原假设就越有说服力，这个a称为显著性水平.对于不同的问题，显著性水平可以选取不一样的值.为方便起见，常取的值是0.1，0.05，0.01等.注意:假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法.为了检验一个假设h是否正确，首先假定该假设h正确，然后根据样本对假设H作出接受或拒绝0的决策.如果样本观察值导致了不合理的现象的发生，就应拒绝假设H,否则应接受假设H.0假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的原则，即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的.但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”，显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设H就越有说服力.常记这个概率值为a(0<a<1),称为检验的显著性水平.对不同0的问题，检验的显著性水平a不一定相同，但一般应取为较小的值，如0.1,0.05或0.01等.三、假设检验的两类错误第一类错误是“弃真”的错误：当假设H正确时，小概率事件也有可能发生，此时我们会拒绝假设H,因而犯了“弃真0'的错误，称此为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好就是°“小概率事件”发生的概率a,即P｛拒绝HIH为真｝=a.在例1中，犯第一类错误的概率为a.00第二类错误是“取伪”的错误：若假设H不正确，但一次抽样检验结果，未发生不合理结果，这时我们会接受H,因而犯了“取伪”的错误称此为第二类错误.记p为犯第二类错误的概率，0即P｛接受HIH不真｝=p.理论上，自然希望犯这两类错误0的概率都很小。当样本容量n固定时，a,p不能同时都小，即a变小时，p就变大;而p变小时，a就变大.。一般只有当样本容量n增大时，才有可能使两者变小。在实际应用中一般原则是：控制犯第一类错误的概率，即给定a,然后通过增大样本容量n来减小p.关于显著性水平a的选取：若注重经济效益，a可取小些，如a=0.01；若注重社会效益，a可取大些，如a=0.01；若要兼顾经济效益和社会效益，一般可取a=0.05.四、假设检验的一般步骤1°提出假设.即要写明检验的原假设H0和备择假设H1的具体内容.例如在例1中H0：r=K；H1：旦卫K.这里备择假设H］下的H可能大于R0,也有可能小于r0,这类假设检验为双边检验.类似地，形如H0：R=R0；H1：r>R0(或r<R0)的假设检验为单边检验.2°建立检验统计量.根据H0的内容，构造适当的检验统计量，确定统计量的分布.注意检验统计量是样本的函数，在H0成立时不带有任何未知参数.如例1中，检验统计量为U=七%，它服从N(0,1).气/Jn3°确定H0的拒绝域.给定显著性水平a，查统计量服从的分布表，