§2 指数映射与测地坐标系

第六章曲面的内蕴几何初步§2指数映射与测地坐标系测地线在内蕴几何中的重要性，还体现在特殊坐标系的构造之上.可以想象，就像在欧氏平面上取坐标曲线为直线会带来某些方便一样，曲面的一部分甚或全部坐标曲线若由测地线构成，则有助于对于内蕴性质的有效刻划以及对于内蕴几何量的简化或突出表示.本节的中心内容，就是揭示如何在曲面上引进一般的内蕴坐标系.指数映射及其性质在曲面S:r=r(ui,U2)上取定一点P，任取切向量veTp-{0}，作测地射线J。从P点出发并且以p,vv为初始切向，则命由p,vp和唯一确定.|v|取C.的正向弧长sp,v参数化ui(s),i=1,2，使p点在S上的曲线坐标为(ui(0),u2(0)).定义映射=r(ui(s),u2(s))gCuS，p,v即像点Qs=r(ui(s),u2(s))是Cpv上从P点出发而经过弧长s所到达的点.由此定义映射expp:VuTp—Sv—expp(v)，则此映射称为曲面S上点p处的指数映射例1①球面上的北极点处的指数映射，将北极切平面上从北极出发的射线映射成经线及其正向延长线.②圆柱面上固定一点处的指数映射，将切平面上从切点出发的射线映射成半条直纹或半条圆柱螺线或者纬圆周及其正向延长线.口

根据常微分方程组的唯一连续性理论，从固定一点出发的测地线作为方程组(1.4)的解，连续可微依赖于初始切向的取值.因此，指数映射expp可定义在切平面Tp上的点P的某个邻域内，并且在该邻域内成为连续可微映射.为了深入了解指数映射的性质，需要考察相应的解析表达式.为此，取切平面Tp点P作为原点的单位正交标架｛P;气,％｝，记v=P(n1cosv+门2sinw)=yq.,p=|v|=•...,；(y1)2+(y2)2，则(yi,y2)为Tp的直角坐标系，(p,w)为Tp的相应极坐标系.弓I理1若曲面S:r=r(ui,u2)上的两族坐标曲线在点P单位正交，令气=r.|P，视指数映射expP：y=(yi,y2)—r(ui(yi,y2),u2(yi,y2))，则誉ly=(0,0)=jQT,2*证明(想法：借助于Taylor展开，将ui用yj表示)观察下列三点:①对于veTP-｛0｝，测恤线CP,v的微分方程由(1.4)式给出，其在点P处的单位切向量为V=(ds，儿=堂|s=0q.£tp；vyvyi在切平面Tp上看，而工pq,|v|=p=s，从而(2.1)u.(2.1)u.(s)=u.(0)+票)|s=0s++票)〔=0s2+q，.=1,2.dui|,=^,P=s；dss=0p由(1.4)式和(2.1)式代入上式则得u.(p)=u.(0)+y.--2ry^l^=0yjyk+o(p2)，i=1,2.由此便易得结论.推论在引理条件下，指数映射expp是局部微分同胚(局部一一，可微且逆映射可微)；视指数映射expp(yi,y2)-(ui(yi,y2),u2(yi,y2))，则它是曲面S上的容许参数变换定义1上述引理及其推论中所确定的曲面S上的参数系(yi,y2)称为S上的以P为原点、以qi,q2为初始标架的(局部)法坐标系，相应参数系(p,w)称为S上的以P为原点(或极点)、以门］为极轴的(局部)测地极坐标系.例2①在欧氏平面上，法坐标系就是直角坐标系；测地极坐标系就是极坐标系.球面上以北极点为原点的法坐标系，在去掉南极的球面上是正则参数系；以北极点为原点的测地极坐标系，在去掉两极的球面上是局部正则参数系.圆柱面上固定一点处的法坐标系，在去掉对径直纹的区域上是正则参数系.口法坐标系性质从直观上感觉，曲面上的法坐标系在局部近似于“欧氏平面上的直角坐标系”.在曲面S上任取单位切向a=y0neTp，在法坐标系(yi,y2)下，测地射线J的弧长s参数化方程直接写为p,ay=y0商.写曲面s上的第一基本形式为I=ds2=g..(^1,y2)dyidyj，则沿测地射线Cp〃成立由(1.4)式给出的微分方程，可简化为p,a(22)｛「川0贫，yo2s)yojyok=0，.gjk(y01s，y。2矽ydy0k=1.在法坐标系原点P(0,0)处，由法坐标系构造过程可见坐标曲线在该点处具有单位正交自然切向，即gjk(0,0)=&jk;进一步，在(2.2)式中令s—0，并注意到(y01,y02)的任意性便可见｛"0)=0，gjk(0,0)=如.将联络系数与第一基本形式系数的偏导数相互表出，上式等价化为(23)｛如，0)=0，()铲，0)«k.至此所得的结论可以总结成下列定理.定理1(法坐标系性质)曲面S在法坐标系(y1,y2)下的第一基本形式系数满足性质(2.3)，或写为(2.4)gzj(y1,y2)=8寸+O((yi)2+(y2)2).

测地极坐标系性质同理，从直观上看，曲面上的测地极坐标系在局部近似于“欧氏平面上的极坐标系”.在曲面S上任取单位切向a=qcosWo+%sinw0=yQi^.eTp，在测地极坐标系(P,W)下，测地射线Cp〃的弧长s参数化方程直接写为p,aW=Wo=const.,p=s,s>0.写曲面S上在测地极坐标系(P,W)=(ui,U2)下的第一基本形式为I=ds2=g..(p,W)du.duj=g*〃(yi,y2)dy.dyj，则沿测地射线Cp,a成立由(1.4)式给出的微分方程，可简化为{r1i1(p,w0)=o，r121(p,w0)=o；g11(p,w0)=1.由此，注意到W0的任意性，有(2.5)g11(p,W)三1，r1i1(p,W)三0；从而有(g11)i三0，(r11)*ri=「击。•弓=0，进而(g)(g)=(r•r)=r•r+r•r=r•r='以1】2三0，lg"1V1*2J1‘112r1‘21r1'122，此即g12此即g12=g12(W).进步，.drdrlimKJ=limpr0甲plimKJ=limpr0甲pr0tdy1厂dy2从而g12(W)=limg12(W)=limr•r=0，此即(2.6)12pr012pr0p此即(2.6)g12(p,W)三0.利用法坐标系进一步分析，可得下列定理.定理2(测地极坐标系性质)曲面S在测地极坐标系(p,W)下的第一基本形式形为I=dp2+G(p,W)dW2，其中系数G满足性质limVG=0，lim(\，G)=1.pr0pr0p证明(2.5)和(2.6)两式已经说明(2.7)式成立.为证(2.8)式，取法坐标系(y1,y2)使1=g*j(y1,y2)dy.dyj，则(-0sinw)G=(-PSinW，PcosW)(g%)2x2"p*J=[g*1]simw+g*22cos2W-2g*12sinwcosw]p2.记f(p,W)=g*]]sin2W+g*22cos2W-2g*12sinwcosw，贝fp=(g*u)psin2W+(g*22)pcos2W-2(g*]2)psinWcosW=[(g*11)1cosW+(g*]])2sinW]sin2W+[(g*22)]cosW+(g*22)2sinW]cos2W-2[(g*12)1cosW+(g*12)2sinW]sinWcosW;故由法坐标系性质可知limf(p,W)=1，limfp(p,W)=0.pr0pr0*于是，当p—0时，有'无=Wp—0，(、G)p=-..,「+fp打—1.□注记测地极坐标系性质当p—0时用无穷小表示则写为(2.9)VG=p+pO(p2)=p+O(p3).定义2在曲面S上的以P为原点的测地极坐标系(p,W)下，设正数p0使0<p<p0时(p,W)为正则参数.称W坐标曲线p=p0为S上的以P为(圆)心、以p0为半径的测地圆周，记为S1(P,p0)；称开区域D(P,p0)={r(p,W)gSIp<p0}为S上的以P为(圆)心、以p0为半径的测地(开)圆盘；称团区域D(P,p0)={r(p,W)gS|p<p0}为S上的以P为(圆)心、以p0为半径的测地闭圆盘；亦称p0为上述测地圆周或测地圆盘的测地半径推论1(Gauss引理)曲面S上从P点出发的测地射线总正交于以P为心的测地圆周．推论2(测地线局部最短性)在曲面S上的以P为原点的测地极坐标系(p,W)下，在S上连接原点P和测地圆周S1(P,p0)上任一点Q的最短连线是存在的，并且恰为从P点出发而到达Q点的测地射线段.证明不妨设在S上连接点P和点Q的曲线段CPQ落在测地闭圆盘D(P,p0)之中，且CPQ在坐标系(p,W)下的弧长s参数化万程确定为{W=p2),形[0,L].则CPQ长度L有下列估计：L吒ds=j"'[p'(s)]2+["(s)]2Gds>!Lp(s)|ds>!Lp，(s)ds=p0.上式右端等于从P点出发而到达。点的测地射线段的长度；且当等号成立时，p'(s)三1,"(s)三0，CPQ也只能是测地射线段.口曲面内蕴几何与平面几何的局部差异，在一点邻近可以通过测地圆周和测地圆盘的行为而做出反映，并且可用该点处的Gauss曲率来刻画(参见习题1).测地凸域下面进一步考虑最短线的局部存在范围定义3在曲面S上给定开区域U.若对U上的任意两点P、Q，存在以之为端点的唯一一条测地线段CPQ，使CPQ成为在S上连接两点P、Q的最短连线段，并且使件"，则称区域U为S上的一个测地凸域例3①在欧氏平面上，测地凸域就是凸域.球面上的测地凸域，最大者为开半球面.在圆柱面上，测地圆盘为测地凸域的充要条件为其测地半径小于圆柱面正截圆周周长的四分之一.口下面在测地圆盘中考察测地凸域的存在性.注意，当测地半径足够小时，Liouville公式(1.2)和测地极坐标性质说明，正向测地圆周的测地曲率恒正；故由此可以直观感觉到，测地半径的大小，能够影响与测地圆周相切的测地线在切点附近的行为.具体的例子可以考察球面.一般的，有下列结论.弓I理2设曲面S上的以P为原点的测地极坐标系(p,")在测地闭圆盘D(P,p1)有意乂.则3p0e(0,p1)，使对于V5e(0,p0)，当测地线C切于测地圆周S1(P,5)上的点Q时，C在切点Q附近除切点以外的部分都严格地落在测地闭圆盘D(P,5)之外.

证明在以P为原点的测地极坐标系(p,W)下，测地极坐标性质说明存在PoG(0,P1)，使在测地闭圆盘D(P,p0)-｛P｝之内恒成立('拓)p>80=const.>0.此时，对于VSg(0,p0)，设弧长s参数化测地线C：｛P「P(S)、切于正向测地圆周W=W(s)S1(P,5)上的一点Q:(Pa,%)=(P(0)，W(0)).cos中=dsSi岫柜L(矽,晌若图6-3记夹角函数中=顿s)为测地线Ccos中=dsSi岫柜L(矽,晌若图6-3且可不妨设其满足顿0)=普.而此时由Liouville公式(1.2)得0=半+(VG)罕.ds*，pds在Q点，如(Q)詈(0)=1，故驻1>0使半在［-£1,£1］恒正，从而=-代G)p件<-£0?<0，此即说明切向角函数中(S)在［-气，气］严格单调减少.进一步取弧长参数非空区间［-£2,£2］U*1((0,」))C［-气,81］，则在其间满足集(s)=cos顿s)*=0「<0，-£2<s<0；，s=0；

I〉0，0<s<£2.集(s)=cos顿s)*=0，对即：函数P(s)在弧长参数区间［-£2,£2］具有唯一的严格最小值点s=0应最小值为P(0)=P(Q)=5.至此既得结论.口注记从证明过程可见，当上述测地线C切于测地圆周S1(P,5)上的一--■一一、-・-...-.，对点Q且C在切点Q附近严格地落在测地团圆盘D(P,5)之外时，点P到C上各点的最短连线的长度在切点Q附近有严格的极小值，并可实现为测地射线段PQ.通过测地线微分方程组关于初值的连续可微依赖性分析，根据测地线的局部最短性以及最短线一定是测地线，可证下列引理3(习题2)；并可进一步利用引理2,用以得到测地凸域的局部存在性定理(习题3).

引理3对于曲面S上的任意一点P，存在以P为原点的测地极坐标系(P,W)在D(P,3p0)有意乂，并且对于VQeD(P,p0)，使以Q为原点的测地极坐标系在D(P,2p0)有意义.此时，对于VQeD(P,p0)，成立二，—、—,_、—.D(P,p0)uD(Q,2p0)uD(P,3p0).定理3定理3(测地凸域局部存在性存在测地凸域包含P点.给定曲面S上的任一点P，在S上1.在曲面S上给定原点P0和测地半径r，记测地圆周S1(P0,r)周长为L(r)，记测地圆盘D(P0,r)面积为A(r).试证：S在点P0处的Gauss曲率K(P°)满足1.K(P°)=limr^032冗r一L(r)丸r3K(P°)=limr^012冗r2—人(r)丸r4测地线族的正交轨线族(t线)图6-42.测地线族的正交轨线族(t线)图6-43.设正则曲面上存在测地团圆盘D(P,3p0)，使对于V腿(0,3p0)，当测地线C切于测地圆周S1(P,6)上的点Q时，C在切点Q附近除切点以外的部分都严格地落在.._..-..-.测地闭圆盘D(P,6)之外.证明引理3所确定的测地圆盘D