应用数理统计-概率知识

概

率

知

识0随机变量分布函数的定义

对随机变量X,称x的函数为X的概率分布函数,简称为分布函数

定义设X是离散型随机变量，它的分布律为:

P(X=xk)=pk,k=1,2,…如果绝对收敛，则称它为X的数学期望

或均值，记为E(X),即

若发散，则称X的数学期望不存在。1

离散型随机变量的数学期望定义设X是离散型随机变量，它的分布律为:

P(X=xk)=pk,k=1,2,…如果绝对收敛，则g(X)的数学期望存在，且注：数学期望是一个实数，体现了随机变量取值的概率平均（即数学期望是平均值）设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

绝对收敛若则g(X,Y)的数学期望存在，而且有定义设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果有限,定义X的数学期望为若则称X的数学期望不存在2连续型随机变量的数学期望定义设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),绝对收敛则g(X)的数学期望存在，且如果

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为

f(x,y),且Z=g(X,Y)也是连续型随机变量，

绝对收敛则Z的数学期望存在，而且有若3.方差定义

设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在,则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即

D(X)=E(X-E(X))2

称D(X)的算术平方根为X的标准差或均方差，记为(X).注：方差是刻化随机变量取值的分散程度的一个特征值。4.协方差

对于二维随机变量(X,Y)，设其分量的数学期望为E(X),E(Y)，若E[(XE(X))(Y

E(Y))]存在，则称它为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)=E[(X

E(X))(Y

E(Y))]

=E(XY)

E(X)E(Y)5.相关系数为随机变量X和Y的相关系数.

若二维随机变量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)>0,D(Y)>0,则称

若XY=0则称X,Y不相关；若XY0称X,Y正相关；若XY0则称X,Y负相关。相关系数的性质：存在常数a,b，使P{Y=a+bX}=1，

XY=1的充要条件是，P(Y=a+bX)=1(b>0)

这时称X与Y完全正相关；

XY=1的充要条件是，P(Y=a+bX)=1(b<0)这时称X与Y完全负相关。

相关系数的意义

若|XY

|的值越接近于1,X与Y之间越近似有线性关系；我们说X与Y的线性相关程度越高。

若|XY|的值越接近于0,越不能认为X与Y之间有近似线性关系；我们说X与Y的线性相关程度越弱。Y与X之间以概率1有严格线性关系;当XY=0时,X,Y之间的关系较复杂；可能X,Y相互独立；可能(X,Y)在平面上的某个区域内服从均匀分布；可能X,Y之间有某种非线性的函数关系。

6.矩

若E(Xk)存在，则称它为X的k阶原点矩，记为k

若E(X-E(X))k存在,则称它为X的k阶中心矩，记为vk

E(X)=1，它为X的1阶原点矩

D(X)=E(X-E(X))2=v2，它为X的2阶中心矩

7.变异系数

若X的2阶矩存在，则比值称为X分布的变异系数。容易看出，变异系数是以数学期望为单位去度量随机变量取值波动程度的特征数。它是一个无单位的量。一般说来，取值较大的随机变量的方差与标准差也较大，这时仅看方差大小就不合理。比如用定位仪测量两个城市的距离，测量值X是随机变量，若EX=1463公里=1463000公尺，标准差(X)=500公尺，则变异系数Cv=0.00034

。而用一般标尺测量一个跑道，测量值Y也是随机变量，若EY=100公尺，标准差(X)=0.05公尺，则变异系数Cv=0.0005

。相比之下，还是用定位仪测量两城市的距离较为精确。8.偏度

若X的3阶矩存在，则比值

正态分布N(,2)的三阶中心矩E(XEX)3=0，故其偏度为0。一般，若X的概率密度函数f(x)关于其数学期望EX对称，则其三阶中心矩E(XEX)3必为0，从而1=0称为X的偏度系数，简称偏度。表明：关于EX对称的概率分布，其偏度为零.若偏度1不为零，则其分布不是对称的，且|1|愈大，其分布与对称分布偏离愈大，特别，若1>0，称概率分布为正偏；若1<0，称概率分布为负偏。Positivevs.NegativeSkewnessExhibitThesegraphsillustratethenotionofskewness.BothPDFshavethesameexpectationandvariance.Theoneontheleftispositivelyskewed.Theoneontherightisnegativelyskewed.9.峰度

若X的4阶矩存在，则称为X分布的峰度系数，简称峰度。由概率论知识知，对于正态分布N(,

2)，Var(X)=

2，E(XEX)4=3

4,故按上述定义可知2=0，这意味着，不论均值方差

2是多少，任一正态分布的峰度2永远为零。其中E(X

*)=0,D(X*)=1。由于标准化正态变量(记为U)的四阶原点距E(U4)=3。故峰度实际上是任一标准化变量与标准化正态变量的四阶原点矩之差。

这里谈论的“峰度”不是指一般密度函数的峰值高低，那么这里的“峰值”含义是什么呢?假如在峰度定义中，对分子和分母各除以(DX)2=

4，并记X的标准化变量为X*=(XEX)/，则2可改写为

以单峰分布为例，当2>0时，即E(X*)4>E(U4)，这意味着

X*在零附近集中取值的概率要大于标准化正态变量，从而其密度在零附近的峰要比标准化正态分布的峰高；对2<0也可作类似解释。

通过计算可以得到:均匀分布的密度函数很平坦，其峰度比正态分布峰度低，呈现负值。指数分布的密度函数为尖峭，其峰度比正态分布峰度高，呈现正值。10.

p分位数

对于给定的p(0<p<1)，如下定义的xp称为X分布的p分位数。当p=0.5时，x0.5称为X分布的中位数。当X为连续型随机变量时，x0.5满足当X为连续型随机变量时，xp

满足分位数在实际中也经常使用。比如，轴承的寿命是较长的，经常用x0.1刻划该种轴承的质量，表示有10%的轴承在x0.1之前损坏。11.

众

数

众数是指使得频率函数或密度函数达到极大值的点。更详细的说，当X为离散型随机变量时，若pj≥pi,对一切i≠j成立，则称xj

为X的众数；当X为连续型随机变量时,若f(x0)=maxf(x),则称x0为X的众数.或该分布的均值和方差为(1)(两点分布).

随机变量X

服从B(1,p)，其分布律为12常用分布族又称为贝努利(Bernoulli)分布该分布的均值和方差为(2)(二项分布).随机变量X

服从B(n,p)，其分布律为[1]、当(n+1)p=整数时，在

k=[(n+1)p]与

[(n+1)p]–1处的概率取得最大值[2]、当(n+1)p

整数时，在

k=[(n+1)p]处的概率取得最大值二项分布的最有可能取值当n,x给定时,分布函数是p的单调下降函数若X1,…,Xm

,独立,且Xi

~B(ni,p),i=1,…,m

则X=X1+…+Xm

~B(n,p),其中n=n1+…+nm

该分布的均值和方差为(3)(泊松分布).随机变量X

服从P()，其分布律为当不是整数时,分布率在k=[]达到极大值;当

是整数时,分布率在k=及-1处达到极大值.当x固定时,分布函数是的非增函数.若X1,…,Xn

,独立,且Xi

~P(

i

),i=1,…,n

则X=X1+…+Xm

~P(),其中=

1+…+

n

(1)定义:设每次试验出现k个可能结果A1,….,Ak之一，且出现Ai的概率为pi。在n次独立试验中，令Yi表示第i个结果出现的次数，Y=(Y1,…,Yk)，则Y

服从多项分布，即(4).多项分布

-----k＝2对应二项分布X的概率密度为其期望和方差分别为

(5).随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布U(a,b)均匀分布U(0,1)在

随机模拟中起着特殊的作用.若Y有严格单调上升的分布函数F(y),令X=F(Y),则X~U(0,1)若Z~U(0,1),F为任一严格单调上升的分布函数,F-1为其反函数,令W=F-1(Z),则W的分布函数为F(w)利用上述关系,可以产生各种常见分布的随机数.在Bayes统计中，均匀分布常用做无先验信息时未知参数先验分布.X的概率密度为其期望和方差分别为

(6).随机变量X服从指数分布E()X的概率密度为其期望和方差分别为

(7).随机变量X服从正态分布N(,2)(8).Cauchy分布(1)定义:具有下列概率密度的随机变量称为Cauchy分布，注：上述Cauchy分布关于m是对称的，但它不存在均值和方差。Cauchy分布也因此而闻名。则

X的分布称为k维正态分布，记为Nk(,

)，此时k阶方阵

为正定矩阵，并有(1)定义:对于

k维随机变量X=(X1,…,Xk

)T，若其具有如下概率密度：(9).多维正态分布多元正态分布的性质

多元正态分布的随机变量的线性组合服从正态分布，即若X~Nk(,

),A为kk的矩阵，则AX~Nk(A,AAT

);它的边缘分布仍为正态分布；该随机变量可以通过正交变换得到新的变量，该变量的各个分量是相互独立