汽车电工电子技术(2版)第2章正弦交流电路课件

第2章正弦交流电路2.1正弦交流电的基本概念2.2单相正弦交流电路2.3三相正弦交流电路本章小结第2章正弦交流电路2.1正弦交流电的基本概12.1正弦交流电的基本概念

2.1.1交流电的概念

随时间按正弦函数变化的电动势、电压和电流总称为正弦交流电，它们的表达式为

(2-1)

式中，小写字母e、u、i是这些量的瞬时值。2.1正弦交流电的基本概念

2.1.1交流电2图2-1所示为正弦电动势的波形图。图中横坐标用时间t(s)、弧度ωt(rad)或电角度ωt(°)表示。图2-1所示为正弦电动势的波形图。图中横坐标用时间t(s3图2-1正弦电动势波形图图2-1正弦电动势波形图42.1.2正弦交流电的三要素

1.周期、频率和角频率

正弦量交变一次所需的时间称为周期，用字母T表示，单位为秒(s)，如图2-1所示。一秒内正弦量的交变次数称为频率，用字母f表示，单位为赫兹(Hz)，简称赫。显然，频率与周期互为倒数，即

(2-2)2.1.2正弦交流电的三要素

1.周期、频率和角频5正弦量每秒钟所经历电角度称为角频率，用字母ω表示，单位为弧度每秒(rad/s)。由于正弦量交变一周为2π弧度，故角频率与频率的关系为

(2-3)正弦量每秒钟所经历电角度称为角频率，用字母ω表示，单位为6

例2-1频率为50Hz的交流电，其周期与频率各为多少？

解因为

所以例2-1频率为50Hz的交流电，其周期与频率各为多7

2.相位、初相位和相位差

在图2-2中，e1和e2是两个频率相等的正弦电动势，但是它们的初相位是不同的。它们的函数式是

(2-4)

当t=0时，e1=Em1sinj1，e2=Em2sinj2，它们的初相位角分别为j1和j2。当j1≠j2时，e1和e2的初始值不相等。2.相位、初相位和相位差

在图2-2中，e1和e28图2-2正弦电动势的相位图2-2正弦电动势的相位9两个同频率正弦量的初相位角之差称为相位角差，简称相位差，用j表示。式(2-4)中，e1和e2的相位差为两个同频率正弦量的初相位角之差称为相位角差，简称相位差，10图2-3同相与反相的正弦量(a)e1与e2同相；(b)e1与e2反相图2-3同相与反相的正弦量11

3.最大值和有效值

设有一电阻R，通以交变电流i，在一周期内产生的热量为

(2-5)

同是该电阻R，通以直流电路I，在时间T内产生的热量为

(2-6)3.最大值和有效值

设有一电阻R，通以交变电流i，12热效应相等的条件为QAC=QDC，因此可得交流电的有效值为

(2-7)热效应相等的条件为QAC=QDC，因此可得交流电的有效13有效值又称均方根值，用大写字母表示。在正弦交流电中，代入式(2-7)得其有效值为

(2-8)

即有效值又称均方根值，用大写字母表示。在正弦交流电中，代入14同理得电动势和电压的有效值为

(2-9)同理得电动势和电压的有效值为

152.1.3正弦交流电的表示法

1.相量法

用来表示正弦量的复数称为相量。复数是相量法的基础，所以相量法又称为复数符号法。正弦电动势Emsin(ωt+j)写成相量式时为

(2-10)2.1.3正弦交流电的表示法

1.相量法

用16

例2-2已知

求e1和e2的和。

解用相量法求和。e1和e2的相量式为

相量的和为例2-2已知

求e1和e2的和。

解用相量法17将上式转换成极坐标式为

式中，j为e的初相位。

从相量式可得e的函数式将上式转换成极坐标式为

式中，j为e的初相位。

18

2.相量图

相量可以用有向线段在复平面上表示出来。线段的长度代表相应正弦量的最大值或有效值，称为相量的模；线段与横轴的夹角表示正弦量的初相位，称为相量的辐角；线段是以角频率ω按逆时针方向旋转的。图2-4是正弦电动势e1和e2

的相量在复平面上的表示法。同频率的若干相量画在同一个复平面上便构成了相量图。2.相量图

相量可以用有向线段在复平面上表示出来。19图2-4复平面上的相亮图2-4复平面上的相亮20

3.j的几何意义

j既是一个虚数单位，同时又是一个旋转因子。因为任何相量与j相乘意味着该相量按逆时针方向旋转了90°。例如，

在图2-5中，设相量的模为1、辐角为30°，其相量式为

相量每乘j一次，意味着逆时针转90°。图2-5中画出了相量每次乘j以后的旋转情况。不难证明，相量每乘(－j)一次，则顺时针旋转90°。3.j的几何意义

j既是一个虚数单位，同时又是一个21图2-5相量乘以j图2-5相量乘以j22

4.相量的加法和减法

在图2-6中，为参考相量，导前于的相位角为j1。若要计算与之和，则

式中，E为合成相量的模，其值为4.相量的加法和减法

在图2-6中，为参考相量23图2-6相量的加法和减法图2-6相量的加法和减法24

j为合成相量的辐角，其值为

若欲求的差，则

的模和辐角都可以从图2-6所示的相量图上求得。j为合成相量的辐角，其值为

若欲求的25

例2-3

已知

求e=e1+e2。

解设为参考相量，为使的初相位等于零，将各相量的初相位都增加30°，导前于的相位差仍为60°，如图2-7所示。e1与e2的相量和为

其中例2-3已知

求e=e1+e2。

解设为26图2-7例2-3图图2-7例2-3图27在设定为参考相位时曾将各相量的初相量增加了30°，所以在写函数式时，e的初相位要减去30°，得在设定为参考相位时曾将各相量的初相量增加了30°，所282.2单相正弦交流电路

2.2.1单一参数交流电路

1.纯电阻电路

根据图2-8(a)中u和i的参考方向，电压与电流的一般关系式为

u=Ri

(2-11)2.2单相正弦交流电路

2.2.1单一参数29图2-8电阻电路中的电压与电流(a)一般表示；(b)相量表示；(c)相量图；(d)波形图图2-8电阻电路中的电压与电流30对于正弦电路，设电流为i=Imsinωt，则电压为

(2-12)

式中，电压的有效值为

U=RI(2-13)

式(2-12)写成相量式为

(2-14)对于正弦电路，设电流为i=Imsinωt，则电压为

31在任一瞬间，电阻元件中的电流瞬时值与加在电阻元件两端的电压瞬时值的乘积，称为电阻的瞬时功率，用pR来表示，即

(2-15)

因为电压与电流同相，所以pR在任一瞬时的数值都是正值，如图2-8(d)所示。因此，电阻元件总是从电源吸收功率，是一种耗能元件。在任一瞬间，电阻元件中的电流瞬时值与加在电阻元件两端的电32在一个周期内耗能的平均值称为平均功率或有功功率，用PR来表示，即

(2-16)

在电阻电路中，计算平均功率时，使用的电压和电流都是有效值。有功功率的单位是瓦特(W)。在一个周期内耗能的平均值称为平均功率或有功功率，用PR来33从以上分析可得出有关纯电阻电路的如下结论：

(1)电压与电流的瞬时值、有效值、最大值和相量值均符合欧姆定律，即

(2)电压与电流同相。

(3)电阻元件是耗能元件。

(4)有功功率为从以上分析可得出有关纯电阻电路的如下结论：

(1)34

例2-4已知加在电阻元件两端的电压

R＝110Ω，求I、i、

解例2-4已知加在电阻元件两端的电压

R＝110Ω，35

2.纯电感电路

在图2-9(a)中将线圈当作是一个理想的电感元件，图中标出了电流、电动势和电压的参考方向。根据电磁感应定律，当线圈中的电流变化时，线圈中将产生自感电动势，其大小与电流的变化率成正比，即

(2-17)2.纯电感电路

在图2-9(a)中将线圈当作是一个36图2-9电感电路中的电压和电流(a)一般表示；(b)相量表示；(c)相量图；(d)波形图图2-9电感电路中的电压和电流37其电压和电动势、电流的关系为

(2-18)其电压和电动势、电流的关系为

38设线圈电流为i=Imsinωt，则电压为

(2-19)

式中，设线圈电流为i=Imsinωt，则电压为

39可见，当线圈电压为定值时，ωL越大，则电流越小，所以ωL有阻碍电流的作用，称之为电感性电抗，简称感抗，用XL表示(单位为欧姆)，即感抗XL为

(2-20)

由此得电感电路中电压与电流的数值关系为

(2-21)可见，当线圈电压为定值时，ωL越大，则电流越小，所以ωL40式(2-19)写成相量式为

(2-22)

由式(2-22)可知，相量等于相量乘以jXL，由此也可得出导前于电流90°的结论。图2-9(b)所示为电路参数的相量表示法，图2-9(c)所示为纯电感电路中电压和电流的相量图，图2-9(d)为纯电感电路中电压和电流的波形图。式(2-19)写成相量式为

41纯电感电路瞬时功率为

(2-23)

式(2-23)表明，电感电路中瞬时功率pL是以2ωt的角频率变化的，如图2-9(d)所示。当pL为正时，电感元件从电源吸取功率，将电能转为磁能，此时电感线圈起着负载的作用；当

pL为负时，磁能又转为电能，回送到电源，此时电感线圈起着电源的作用。纯电感电路瞬时功率为

42

pL在一个周期内的平均值为

(2-24)

式(2-24)说明在一个周期内电感线圈“吞吐”能量相等，没有能量损耗，故有功功率为零，所以电感元件不是耗能元件，而是储能元件。pL在一个周期内的平均值为

(243为了衡量电感线圈与电源之间的能量互换的大小，采用瞬时功率pL的最大值来表示。这个能量互换的最大值为电感电路无功功率，用QL表示，即

(2-25)

无功功率的单位是乏(var)，以便与有功功率的单位区别。无功功率有功率量纲，但无功率实质，因为这并非是消耗的功率，“无功”由此得名。为了衡量电感线圈与电源之间的能量互换的大小，采用瞬时功率44从上述分析可得出有关纯电感电路的以下结论：

(1)电压与电流的一般关系式为从上述分析可得出有关纯电感电路的以下结论：

(1)45(2)电压与电流的相量式为

或(2)电压与电流的相量式为

或46纯电感电路中电流滞后于电压的相位角90°，如果不考虑相位关系，有

或

(2-26)

式中，感抗XL=ωLI=2πfL。纯电感电路中电流滞后于电压的相位角90°，如果不考虑相位47(3)电感元件是储能元件。

其有功功率

PL=0

其无功功率(3)电感元件是储能元件。

其有功功率

48

例2-5已知通过一纯电感空芯线圈的电流

电感L=127mH，求线圈两端的电压U和u、和QL，并作的相量图。

解

例2-5已知通过一纯电感空芯线圈的电流

49故得

的相量图如图2-10所示。由图可知，电压导前电流90°。故得

的相量图如图2-10所示。50图2-10例2-5图图2-10例2-5图51

3.纯电容电路

电容器是由中间有绝缘层的两个金属薄片构成的，理想电容元件的图形符号如图2-11(a)所示。3.纯电容电路

电容器是由中间有绝缘层的两个金属薄52图2-11电容电路中的电压和电流(a)一般表示；(b)相量表示；(c)相量图；(d)波形图图2-11电容电路中的电压和电流53电容器充电或放电时的电流为

(2-27)

设u=Umsinωt，则

(2-28)电容器充电或放电时的电流为

54式中，I为电流的有效值，即式中，I为电流的有效值，即55可见当电压为定值时，越大，纯电容电路的电流越小，所以有阻碍电流的作用，称为电容性电抗，简称容抗，用XC表示，其单位为欧(Ω)，即

(2-29)可见当电压为定值时，越大，纯电容电路的电流越小，所以56因此，纯电容电路中电压与电流的数值关系可写成

(2-30)因此，纯电容电路中电压与电流的数值关系可写成

57从式(2-28)可以看出，在电容电路中，电压与电流之间是不同相的，电流导前于电压的相位角为90°。式(2-28)的相量表示式为

上式也可写为

(2-31)从式(2-28)可以看出，在电容电路中，电压与电流之间是58纯电容电路瞬时功率pC为

(2-32)

瞬时功率波形如图2-11(d)所示。当pC为正时，电容器充电，电场储能；当pC为负时，电容器放电，电场能又送回

电源。纯电容电路瞬时功率pC为

59

pC在一个周期内的平均值为

(2-33)

式(2-33)说明与电感器一样，电容器在一个周期内“吞吐”能量相等，不消耗能量，有功功率为零，也是储能元件。pC在一个周期内的平均值为

60同理，电容器与电源之间能量互换过程中，瞬时功率pC最大值为无功功率，用QC表示，即

(2-34)同理，电容器与电源之间能量互换过程中，瞬时功率pC最大值61从以上分析得到如下结论：

(1)电容电路中电压与电流关系的一般表达式是

或从以上分析得到如下结论：

(1)电容电路中电压与电62(2)在正弦电路中，电压与电流的相量式为

或

可见电容电流导前于电压90°。如果只考虑数值关系，则(2)在正弦电路中，电压与电流的相量式为

63(3)电容元件是储能元件。

有功功率

PC=0

无功功率(3)电容元件是储能元件。

有功功率

64

例2-60.2μF电容器上的电压u=40sin(105t－50°)V。求I、和i，并画出的相量图。

解

从图2-12可以看出，电容上电流导前于电压90°。例2-60.2μF电容器上的电压u=40sin(65图2-12例2-6图图2-12例2-6图662.2.2RL串联交流电路

在RL串联电路中，设同一电流为参考量,参照图2-13参考方向，根据基尔霍夫电压定律用相量列出电压方程，有

而得

(2-35)

在已知电源电压和元件参数的情况下，可求得电流

(2-36)

式中，Z=R+jXL，称为电路的阻抗。2.2.2RL串联交流电路

在RL串联电路中，设同一67图2-13RL串联电路图2-13RL串联电路68阻抗

(2-37)

其中，阻抗模

(2-38)阻抗

69阻抗角j是电压之间的相位差，即

或

(2-39)

阻抗、阻抗模的单位都是欧姆。阻抗角j是电压之间的相位差，即

或

70由式(2-38)可知，R、XL和|Z|三者之间符合一个直角三角形三边之间关系，此三角形称为阻抗三角形，如图2-14所示。阻抗是复数，但不代表正弦量，即阻抗是标量，所以Z上面不加点。阻抗三角形不应画成相量。由式(2-38)可知，R、XL和|Z|三者之间符合一个直71图2-14阻抗三角形图2-14阻抗三角形72电路中电流、电压关系利用相量法分析就方便多了。根据图2-13中设定的电流和电压的参考方向，画出RL串联电路的相量图，设电流为参考相量，画出各电压的相量：

得相量图如图2-15所示，与的合成相量即为总电压，从图中可知总电压导前电流j角。构成的直角三角形称为电压三角形。根据电压三角形求得

(2-40)电路中电流、电压关系利用相量法分析就方便多了。根据图2-73图2-15电压三角形图2-15电压三角形74相量的相位差角为

或

(2-41)相量的相位差角为

或

75由此可见，j角的大小与电流、电压的量值无关，而是取决于电路的电阻和感抗大小。

在RL串联电路中，电阻元件要消耗功率，所以有功功率

由于UR=Ucosj，故有功功率可表示为

(2-42)由此可见，j角的大小与电流、电压的量值无关，而是取决于电76在RL串联电路中，电感元件要与电源互换能量，所以无功功率

(2-43)

在这里，将UI，即电压与电流有效值的乘积称为视在功率，其单位是伏安(V·A)，用S表示，即

S=UI(2-44)

视在功率可以表明一个电气设备做功的能力,所以一般交流发电机及变压器等设备的铭牌上标出的都是额定视在功率。在RL串联电路中，电感元件要与电源互换能量，所以无功功率77综上所述，有功功率和视在功率的关系为

(2-45)

根据式(2-45)的关系可画出功率三角形,如图2-16所示,因为功率不是相量,所以在功率三角形上不应画出相量。在同一电路上阻抗三角形、电压三角形、功率三角形都是相似的。综上所述，有功功率和视在功率的关系为

78图2-16功率三角形图2-16功率三角形79

例2-7已知RL串联电路中，总电压

R=8Ω，L=19.1mH，求电路中电流I和，电压uR和uL，功率因数cosj及功率P、Q、S。

解

即例2-7已知RL串联电路中，总电压

R=8Ω，L=80因为因为81所以所以82有功功率

无功功率

视在功率有功功率

无功功率

83

例2-8一个线圈接在50Hz、220V的交流电源上，测得线圈的功率为20W，电流为0.5A。若把线圈的等效电路看做是由R与L串联而成的，求R与L。

解由于功率表测得的是消耗的平均功率P，故得线圈的等效电阻为例2-8一个线圈接在50Hz、220V的交流电源84线圈阻抗

线圈电抗

线圈电感线圈阻抗

线圈电抗

线圈电感85

例2-9一个线圈接在正弦电源上,已知U=100V，I=5A，相位差角j=60°。求：(1)线圈的阻抗模；(2)将线圈看做是RL串联电路时的等效电阻和感抗；(3)阻抗。

解(1)阻抗模为例2-9一个线圈接在正弦电源上,已知U=100V86(2)由阻抗三角形可得

等效电阻为

等效感抗为

(3)阻抗为(2)由阻抗三角形可得

等效电阻为

等872.2.3RLC串联交流电路及串联谐振

图2-17为电阻、电感和电容的串联电路，图中各参数都用相量的形式标出，为理想电压源的电压。在正弦交流电路中，所谓理想电压源，指的是电动势的最大值和频率是常量，而且没有内阻抗，所以电源的端电压等于其电动势，

与负载大小无关。2.2.3RLC串联交流电路及串联谐振

图2-17为88图2-17RLC串联电路图2-17RLC串联电路89

1.RLC串联电路

在串联电路中，各元件的电流相同，元件电压与总电压的关系可根据基尔霍夫第二定律，用相量形式列出电压方程。参照图2-17中的参考方向，有

(2-46)

由于故得1.RLC串联电路

在串联电路中，各元件的电流相同90由于故得

(2-47)

在已知电源电压和元件参数的情况下，可求得电流

(2-48)由于故得

91式(2-48)可写成类似于欧姆定律的形式

(2-49)式(2-48)可写成类似于欧姆定律的形式

92式中，R+j(XL－XC)称为电路的阻抗，用大写的Z代表。阻抗的实部为电阻，虚部为感抗与容抗的差，称为电抗，用X表示，即

阻抗

(2-50)

电抗式中，R+j(XL－XC)称为电路的阻抗，用大写的Z代表。阻93阻抗模

(2-51)

相位差

(2-52)阻抗模

(2-51)

相位94根据图2-18(a)中设定的电流和电压的参考方向，可画出RLC串联电路的相量图，如图2-18(b)或图2-18(c)所示。根据图2-18(a)中设定的电流和电压的参考方向，可画出95图2-18RLC串联电路及相量图图2-18RLC串联电路及相量图96由相量构成的电压三角形如图2-19(a)所示，其中

或这三个电压的数值关系为

(2-53)

相量的相位差角为

(2-54)由相量构成的电压三角形如图2-19(a)97在RLC串联电路中，电压三角形、阻抗三角形、功率三角形是相似的，如图2-19所示。从以上分析可得负载的功率：

有功功率

无功功率

视在功率

S=UI在RLC串联电路中，电压三角形、阻抗三角形、功率三角形是98图2-19电压、阻抗、功率关系(a)电压三角形；(b)阻抗三角形；(c)功率三角形图2-19电压、阻抗、功率关系99

例2-10

已知线圈的参数为R=6Ω,XL＝8Ω,与XC＝2Ω的电容器串联后接在220V的正弦交流电源上。求：(1)电流I和；(2)电流与电源电压的相位差；(3)线圈的电压

解(1)设例2-10已知线圈的参数为R=6Ω,XL＝8Ω100(2)电压的初相位为0°，电流的初相位为－45°，故知电流滞后于电压的相位差角j=0－(－45°)=45°。

(3)(2)电压的初相位为0°，电流的初相位为－45°，故知101

2.串联谐振

1)串联谐振的条件

图2-20为RLC串联电路谐振时的相量图。电路的阻抗Z=R+j(XL－XC)。要使电路呈电阻性，阻抗的虚部应等于零，故得串联谐振的条件为XL=XC，即2πfL=2.串联谐振

1)串联谐振的条件

图2-20102图2-20串联谐振相量图图2-20串联谐振相量图103由此得谐振频率为

(2-55)

f0称为电路的固有频率，其值取决于电路参数L和C，是电路的一种固有属性。当电源的频率等于固有频率时，RLC串联电路就产生谐振。若电源的频率是固定的，那么调整L或C的数值，使电路固有频率等于电源频率，也会产生谐振。由此得谐振频率为

(2-55)

1042)串联谐振的特征

(1)串联谐振时电路的阻抗最小，谐振电流最大，即

(2)电压与电流同相，电路的cosj=1。2)串联谐振的特征

(1)串联谐振时电路的阻抗最105(3)UL=UC，ULC=0；若XL=XC>R，则UL=UC>U，即电路电感和电容元件的电压大于总电压。

由于XL=XC，|Z|=R，故得

(2-56)

若XL=XC>R，则UL=UC>U。(3)UL=UC，ULC=0；若XL=XC>R，则UL106

例2-11在RLC串联电路中,已知R＝20Ω，L＝500μH，C＝161.5pF。(1)求谐振频率f0；(2)若信号电压U=1mV，

求UL。

解(1)谐振频率例2-11在RLC串联电路中,已知R＝20Ω，L107(2)

应用式(2-56)得

可见,通过串联谐振可使信号电压从1mV提高到88mV。(2)

应用式(2-56)得

可见,通1082.2.4R、L与C并联交流电路及并联谐振

1.R、L与C并联交流电路

含有一定电阻的电感性负载和电容器并联，在实际电路中是经常出现的，如图2-21(a)所示。由于是并联电路，其支路两端的电压是相同的，所以在用相量图分析时，可以电压

作为参考相量，如图2-21(b)所示。元件电流与总电流的关系可根据基尔霍夫第一定律确定。2.2.4R、L与C并联交流电路及并联谐振

1.109图2-21R、L与C并联电路及相量图图2-21R、L与C并联电路及相量图110用相量形式列出电流方程，参照图2-21(a)中的参考方向，有

(2-57)

R、L支路中的电流

式中，Z1是电感性负载的阻抗。用相量形式列出电流方程，参照图2-21(a)中的参考方向111

IL滞后于电压，滞后角度为j1，其值为

电容支路中的电流为

式中，Z2是电容性负载的阻抗。IL滞后于电压，滞后角度为j1，其值为

112的相位导前电压的角度是π/2。

由式(2-57)得

(2-58)的相位导前电压的角度是π/2。

由式(2-5113为了便于计算，把分解为两个分量，见图2-21(b)：一个是的水平分量它与电压同相位，称为的有功分量；另一个是的垂直分量它与电压有π/2的相位差，称为的无功分量。但必须指出，

并非是电阻上通过的电流，也不是感抗上通过的电流，在电阻和感抗上通过的电流都等于。我们把一条支路上的电流分解为两个分量的目的，不过是为了便于计算。作了上述分解以后，便可求得

(2-59)为了便于计算，把分解为两个分量，见图2-21(b)：114总电流与电压之间的相位差可由下式求得

(2-60)

当IC<ILsinj1时，总电流滞后于电压，整个并联电路相当于一个电感性的负载；当IC>ILsinj1时，总电流导前于电压，整个电路相当于一个电容性负载；当IC=ILsinj1时，总电流与电压同相，整个电路相当于一个纯电阻性负载，此时总电流的有效值最小。总电流与电压之间的相位差可由下式求得

115从以上分析可以看出，在电感性负载的两端并联适当的电容器后，可以起下述两方面的作用：

(1)使总电流减小，即比负载上的电流I1还要小，这是因为相位相反，相互抵消的缘故。

(2)使总电流与电压间的相位差j小于感性负载上的电流与电压间的相位差j

1，这样就提高了电路的功率因数，减小了电路的无功功率，即从以上分析可以看出，在电感性负载的两端并联适当的电容器后116

例2-12如图2-21(a)，设已知：R＝10Ω，L＝55.1mH，C＝80μF，电压U＝220V，f＝50Hz，求总电流I。

解

例2-12如图2-21(a)，设已知：R＝10Ω，117汽车电工电子技术(2版)第2章正弦交流电路课件118由图可知，总电流

提高电感性电路功率因数的常用方法是在电路两端并联电容器。由图可知，总电流

119电容C的数值可由相量图求得。在图2-21(b)中，有

(2-61)

并联电容器并不影响原有负载的工作，也不改变原有负载的功率，故有电容C的数值可由相量图求得。在图2-21(b)中，有

120代入式(2-61)，得

(2-62)

代入式(2-61)，得

(2-62121由于

故得

(2-63)

式中，j1和j分别是并联电容器前、后相位角。由于

故得

122

2.并联谐振

1)并联谐振的条件

图2-22是线圈RL与电容器C的并联谐振的相量图。当电路谐振时，同相，故从相量图可得谐振条件为

(2-64)

由于2.并联谐振

1)并联谐振的条件

图2-22123图2-22并联谐振相量图图2-22并联谐振相量图124将以上各式代入式(2-64)中得

将XL=2πfL、XC=代入上式，整理后得谐振频率将以上各式代入式(2-64)中得

将XL=2π125如果线圈的电阻较小，上式可近似为

(2-66)

与式(2-55)比较，可见在这种情况下，并联谐振的条件与串联谐振相同。如果线圈的电阻较小，上式可近似为

1262)并联谐振的特征

(1)从相量图可知，若R<<XL，则j1≈90°，且IC≈IL，I≈0。换言之，电路在谐振时呈现出最大的等效阻抗，这与串联谐振时的情况相反。

(2)电压与总电流同相，电路的cosj=1。

(3)若R较小时，线圈和电容器中的电流会比总电流大，即支路电流大于总电流，这从相量图可以看出。2)并联谐振的特征

(1)从相量图可知，若R<<127因为

若

可认为因为

若

可认为128因R<<XL，且IL≈IC，故得

(2-67)

并联谐振时电感电流与电容电流大小相等、相位相反，互相抵消，因此并联谐振又称为电流谐振。因R<<XL，且IL≈IC，故得

129

例2-13在图2-21(a)中，已知L＝500μH，C＝234pF，

R＝20Ω。(1)求f0；(2)设I＝1μA，求谐振时的IC。

解(1)

故得例2-13在图2-21(a)中，已知L＝500μH130(2)

应用式(2-67)，得

所以电容器电流是总电流的73倍。(2)

应用式(2-67)，得

1312.3三相正弦交流电路

2.3.1三相电源

1.三相电动势的产生

三相电网的电动势是由三相发电机产生的。三相发电机的结构原理如图2-25所示。2.3三相正弦交流电路

2.3.1三相电源132图2-25三相发电机原理图图2-25三相发电机原理图133各相绕组的匝数和形状都相同，图2-26所示为U相绕组的示意图。各相绕组的匝数和形状都相同，图2-26所示为U相绕组的示134图2-26定子绕组示意图图2-26定子绕组示意图135设三个绕组中正弦电动势的瞬时值为e1、e2和e3，则其有效值为E1、E2和E3，最大值为E1m、E2m和E3m。由于每相绕组的匝数和形状相同，而且是由同一个磁极旋转时产生的，所以三个电动势的有效值或最大值彼此相等。

设三个绕组中正弦电动势的瞬时值为e1、e2和e3，则其有136由于三相绕组以同一速度切割磁力线，所以三个电动势的频率相等，即

(2-68)

式中，n为转子的旋转速度，单位为r/min(转每分)；p为磁极的对数。例如，在图2-25中，磁极数为2，p等于1。若转速为3000r/min，则电动势的频率为50Hz。由于三相绕组以同一速度切割磁力线，所以三个电动势的频率相137当磁极对数p为1(二极)时，转子旋转一圈，电动势变化

一个周期。但由于三个绕组在空间互差120°，所以电动势之间有120°的相位差。从图2-27可以看出，电动势e2滞后于e1120°，e3又滞后于e2120°。当磁极对数p为1(二极)时，转子旋转一圈，电动势变化

一138图2-27三相电动势波形图图2-27三相电动势波形图139在三相发电机中，三个电动势的最大值和频率都是相同的，在相位上互相差120°，这样的电动势就称为三相对称电动势。

三相对称电动势的函数表达式为

(2-69)在三相发电机中，三个电动势的最大值和频率都是相同的，在相140它们的波形如图2-27所示，用相量表示为

(2-70)

相量图如图2-28所示。它们的波形如图2-27所示，用相量表示为

141图2-28三相电动势相量图图2-28三相电动势相量图142

2.三相电源的星形连接

在三相制的电力系统中，电源的三个绕组不是独立向负载供电的，而是按一定方式连接起来，形成一个整体。连接的方式有星形(Y形)和三角形(△形)两种，如图2-29所示。

较为常见的是星形连接三相四线制供电系统，其接法见图

2-29(a)。2.三相电源的星形连接

在三相制的电力系统中，电143图2-29三相电源的连接方法(a)星形连接；(b)三角形连接图2-29三相电源的连接方法144在三相四线制供电系统中，相线与中线之间的电压称为相电压，用U1、U2和U3表示；相线与相线之间的电压称为线电压，用U12、U23和U31表示。相电压和线电压的参考方向如图2-30所示。在三相四线制供电系统中，相线与中线之间的电压称为相电压，145图2-30星形连接的相电压与线电压图2-30星形连接的相电压与线电压146如果忽略电源三相绕组以及导线中的阻抗，那么三个相电压就等于相对应的三个电动势。因为三个电动势是对称的，所以三个相电压也是对称的。故得

(2-71)如果忽略电源三相绕组以及导线中的阻抗，那么三个相电压就等147按图2-30所设的电压参考方向，有

(2-72)按图2-30所设的电压参考方向，有

148将式(2-71)代入式(2-72)，再将相电压的有效值用UP表示，得

(2-73)将式(2-71)代入式(2-72)，再将相电压的有效值用149图2-31为星形连接时相电压和线电压的相量图。可见，当相电压对称时，线电压也是对称的。线电压的有效值为相电压有效值的倍。在相位关系上，各线电压分别导前于相应的相电压30°。若将线电压用UL表示，则

(2-74)

我国低压供电线路的标准电压为相电压220V，故线电压等于380V。图2-31为星形连接时相电压和线电压的相量图。可见，当相1502.3.2三相负载的星形(Y)连接

三相负载可以根据对电压的要求连接成星形或三角形。图2-32为三相四线制供电线路上的星形接法的负载。这种接法的特点是各单相负载(如电灯泡)的一端连接在相线上，另一

端都连接在中性线上。三相负载(如三相电动机)有星形和三

角形两种接法，图2-32中画出了三个绕组作星形接法的电动

机示意图。2.3.2三相负载的星形(Y)连接

三相负载可以根据151图2-32三相电网中的星形负载图2-32三相电网中的星形负载152三相负载作星形连接时的电路可画成图2-33所示的形式。图中，Z1、Z2和Z3为各相负载的阻抗，U1U2、V1V2、W1W2为三相电源的绕组。如果不计连接导线的阻抗，负载承受的电压就是电源的相电压，而且每相负载与电源构成一个单独回路，任何一相负载的工作都不受其他两相工作的影响，所以各相电流的计算方法和单相电路一样，即

(2-75)三相负载作星形连接时的电路可画成图2-33所示的形式。图153根据图2-33中电流的参考方向，中性线电流为

(2-76)根据图2-33中电流的参考方向，中性线电流为

154图2-33三相负载的星形连接图2-33三相负载的星形连接155如果三相负载是对称的，即阻抗Z1、Z2和Z3彼此相等，则电流的有效值也相等，在相位上互差120°，是一组对称的三相电流，如图2-34所示，所以中性线电流如果三相负载是对称的，即阻抗Z1、Z2和Z3彼此相等，则156图2-34对称星形负载相量图图2-34对称星形负载相量图157

例2-14在如图2-35所示的三相四线制的供电线路中，已知电压为380/220V，三相负载都是白炽灯，其中L1相电阻R1为11Ω，L2相电阻R2为22Ω，L3相电阻R3为44Ω。求各线电流，并作相量图。例2-14在如图2-35所示的三相四线制的供电线路中158图2-35例2-14图图2-35例2-14图159

解在图2-35中，设解在图2-35中，设160得各线电流为得各线电流为161图2-36例2-14图图2-36例2-14图1622.3.3三相负载的三角形(△)连接

图2-37所示为三相电网中三角形接法的负载。在线电压为380V的三相电源上，若单相负载的额定电压为380V，比如交流电焊机灯，就要连接在电源的两根相线之间。当这样的单相负载较多时，就分别接在各相线之间，使电网的三相负载比较均衡。负载的这种接法称为三角形连接。此外，有些三相对称负载，如正常运行时三个绕组接成三角形的三相电动机，它的三个绕组也分别跨接在三根相线之间。2.3.3三相负载的三角形(△)连接

图2-37所示163图2-37三相电网中的三角形负载图2-37三相电网中的三角形负载164在分析计算三角形连接的电路时，各相电压(就是线电压)和相电流的参考方向可按电源的正相序依次设定，即相电压为相电流为如图2-38

所示。在分析计算三角形连接的电路时，各相电压(就是线电压)和相165图2-38三相负载的三角形连接图2-38三相负载的三角形连接166由此可得相电流为

(2-77)由此可得相电流为

167根据基尔霍夫电流定律得线电流为

(2-78)

如果是三相对称负载，即Z12＝Z23＝Z31，那么相电流和线电流一定也是对称的，即I12＝I23＝I31＝IP，I1＝I2＝I3＝IL，它们的绝对值相等，在相位上互差120°。如图2-39所示为对称三角形负载的电压和电流的相量图。根据基尔霍夫电流定律得线电流为

168图2-39对称三角形负载相量图图2-39对称三角形负载相量图169从相量图可以看出，三相对称三角形负载的线电流与相应的相电流的相位关系是滞后于滞后于

滞后于在数值上线电流IL为相电流IP

的即

(2-79)从相量图可以看出，三相对称三角形负载的线电流与相应的相电170在三相负载中，不论如何连接，总的有功功率等于各相有功功率之和，即

(2-80)

若三相负载对称，则各相功率相同，故三相总功率可简化为

(2-81)在三相负载中，不论如何连接，总的有功功率等于各相有功功率171式中，UP为相电压；IP为相电流；cosj为每相负载的功率因数。同理，无功功率和视在功率分别为

(2-82)

(2-83)式中，UP为相电压；IP为相电流；cosj为每相负载的功率因172对于三相对称星形负载，由于三相功率若以线电压和线电流表示，则有

对于三相对称三角形负载，由于UP=UL，IP=则有对于三相对称星形负载，由于三相功率若以线173可见，对于三相对称负载，不论是星形或三角形接法，都可以用同一个公式来表示，即

(2-84)

式中，cosj为每相负载的功率因数。可见，对于三相对称负载，不论是星形或三角形接法，都可以用174同理可写出三相对称负载的无功功率和视在功率分别为

(2-85)

(2-86)同理可写出三相对称负载的无功功率和视在功率分别为

175

例2-15在图2-40中，已知Z12、Z23和Z31均为16+j12Ω，电源电压为380V，求各电流表的读数。例2-15在图2-40中，已知Z12、Z23和Z31176图2-40例2-15图图2-40例2-15图177

解本题为三角形接法的对称负载，各相阻抗均为

各相电流为

各线电流为

所以各电流表的读数都是32.9A。解本题为三角形接法的对称负载，各相阻抗均为

各相178

例2-16上题中，若Z23改为8+j6Ω，其余条件不变，求各电流表的读数。

解设

各电压和电流的参考方向与图2-38中的参考方向相同。例2-16上题中，若Z23改为8+j6Ω，其余条件179根据式(2-77)得各相电流为根据式(2-77)得各相电流为180根据式(2-78)得各线电流为

因此，电流表A1的读数(I1)为32.9A，电流表A2和A3的读数(I2和I3)都为50.3A。根据式(2-78)得各线电流为

因181

例2-17在图2-41中，星形连接和三角形连接负载的每相阻抗都为4+j3Ω，电源的线电压为380V。分别计算两种接法三相负载的总功率。例2-17在图2-41中，星形连接和三角形连接负载的182图2-41例2-17图图2-41例2-17图183

解每相负载阻抗的绝对值为

每相负载的功率因数为解每相负载阻抗的绝对值为

每相负载的184对于星形负载，有

对于星形负载，有

185对于三角形负载，有

由此可见，当电源的线电压相同时，三角形负载的功率是星形负载的3倍。这是由于三角形负载的每相电压是星形

负载每相电压的而功率是与电压的平方成正比关

系的。对于三角形负载，有

186本章小结

本章主要介绍正弦交流电路的基本知识、电路元件的伏安关系及正弦交流(单相与三相)电路的计算方法。本章小结

本章主要介绍正弦交流187

1.正弦交流电的基本概念

(1)交流电通常由交流发电机产生，随时间按正弦函数变化的电动势、电压和电流统称为正弦交流电。

(2)正弦交流电的三要素：①周期、频率和角频率；②相位、初相位和相位差；③最大值和有效值。三要素确定了，正弦量也就确定了。

(3)正弦交流电的表示法：①函数式；②波形图；③相量法。着重介绍相量法(又称复数符号法)，用复数来表示正弦量。相量式表示分为直角坐标式和极坐标式正弦量可转化成相量式，运用复数计算交流电路更简便。1.正弦交流电的基本概念

(1)交流电通常由交188

2.单相正弦交流电路

(1)单一参数纯R、纯L、纯C的交流电路的电压与电流关系表示式、相位关系；纯R电路电压与电流同相、纯L电路电压导前电流90°，纯C电路电压滞后电流90°；有功功率、

无功功率反映了元件的耗能与储能情况，感抗XL=ωL，容抗

相量图画法。

(2)RL串联电路的电压与电流关系表示式；相位关系：电压导前电流j角；阻抗Z计算；有功功率、无功功率和视在功率表达式；功率因数cosj含义；电压三角形(相量)、阻抗三角形和功率三角形相似；由相量图求解电路参数。2.单相正弦交流电路

(1)单一参数纯R、纯L189(3)RLC串联电路及串联谐振。

①RLC串联电路的电压与电流关系表达式；阻抗值计算；有功功率、无功功率和视在功率表达式。相位关系由

XL与XC差值确定，若：

XL>XC，则j>0，电感性负载；

XL<XC，则j<0，电容性负载；

XL=XC，则j=0，电阻性负载。(3)RLC串联电路及串联谐振。

①RLC串190②串联谐振(电压谐振)。

当时，电路呈电阻性，串联谐振。谐振时阻抗值最小，电流最大；电压与电流同相，若XL=XC>R，则UL=UC>U。②串联谐振(电压谐振)。

当191(4)R、L与C并联电路及并联谐振

①R、L与C并联电路、提高功率因数cosj>cosj1，减小无功功率UIsinj<UIsinj1；相位关系由IC与ILsinj1确定，若：

ILsinj1>IC，则j>0，电感性负载；

ILsinj1<IC，则j<0，电容性负载；

ILsinj1=IC，则j=0，电阻性负载。(4)R、L与C并联电路及并联谐振

①R、L与C192②并联谐振(电流谐振)。

当时，电路呈电阻性，串联谐振。谐振时阻抗值最大，电流最小，电压与总电流同相。若XL>>R，则IL=IC>I，提高功率因数，采用并联电

容器。②并联谐振(电流谐振)。

当193

3.三相交流电路

1)三相电源

一般星形连接、三相四线制供应两种电压：线电压UL和相电压UP。三相对称电动势的最大值和频率相同，相位互差120°；相位关系上各线电压分别导前相应的相电压30°。

2)三相负载星形连接

若三相负载对称，线电压导前相应相电压30°，中性线电流为零。

若三相负载不对称，必须设置中性线且中性线上不准设熔断器和开关。3.三相交流电路

1)三相电源

一般星形连接1943)三相负载三角形连接

三相对称负载，线电流滞后相应相电流30°。

三相电路功率，对于三相对称负载，不论是星形还是三角形接法，有功功率P=无功功率

视在功率3)三相负载三角形连接

三相对称负载，195第2章正弦交流电路2.1正弦交流电的基本概念2.2单相正弦交流电路2.3三相正弦交流电路本章小结第2章正弦交流电路2.1正弦交流电的基本概1962.1正弦交流电的基本概念

2.1.1交流电的概念

随时间按正弦函数变化的电动势、电压和电流总称为正弦交流电，它们的表达式为

(2-1)

式中，小写字母e、u、i是这些量的瞬时值。2.1正弦交流电的基本概念

2.1.1交流电197图2-1所示为正弦电动势的波形图。图中横坐标用时间t(s)、弧度ωt(rad)或电角度ωt(°)表示。图2-1所示为正弦电动势的波形图。图中横坐标用时间t(s198图2-1正弦电动势波形图图2-1正弦电动势波形图1992.1.2正弦交流电的三要素

1.周期、频率和角频率

正弦量交变一次所需的时间称为周期，用字母T表示，单位为秒(s)，如图2-1所示。一秒内正弦量的交变次数称为频率，用字母f表示，单位为赫兹(Hz)，简称赫。显然，频率与周期互为倒数，即

(2-2)2.1.2正弦交流电的三要素

1.周期、频率和角频200正弦量每秒钟所经历电角度称为角频率，用字母ω表示，单位为弧度每秒(rad/s)。由于正弦量交变一周为2π弧度，故角频率与频率的关系为

(2-3)正弦量每秒钟所经历电角度称为角频率，用字母ω表示，单位为201

例2-1频率为50Hz的交流电，其周期与频率各为多少？

解因为

所以例2-1频率为50Hz的交流电，其周期与频率各为多202

2.相位、初相位和相位差

在图2-2中，e1和e2是两个频率相等的正弦电动势，但是它们的初相位是不同的。它们的函数式是

(2-4)

当t=0时，e1=Em1sinj1，e2=Em2sinj2，它们的初相位角分别为j1和j2。当j1≠j2时，e1和e2的初始值不相等。2.相位、初相位和相位差

在图2-2中，e1和e2203图2-2正弦电动势的相位图2-2正弦电动势的相位204两个同频率正弦量的初相位角之差称为相位角差，简称相位差，用j表示。式(2-4)中，e1和e2的相位差为两个同频率正弦量的初相位角之差称为相位角差，简称相位差，205图2-3同相与反相的正弦量(a)e1与e2同相；(b)e1与e2反相图2-3同相与反相的正弦量206

3.最大值和有效值

设有一电阻R，通以交变电流i，在一周期内产生的热量为

(2-5)

同是该电阻R，通以直流电路I，在时间T内产生的热量为

(2-6)3.最大值和有效值

设有一电阻R，通以交变电流i，207热效应相等的条件为QAC=QDC，因此可得交流电的有效值为

(2-7)热效应相等的条件为QAC=QDC，因此可得交流电的有效208有效值又称均方根值，用大写字母表示。在正弦交流电中，代入式(2-7)得其有效值为

(2-8)

即有效值又称均方根值，用大写字母表示。在正弦交流电中，代入209同理得电动势和电压的有效值为

(2-9)同理得电动势和电压的有效值为

2102.1.3正弦交流电的表示法