往年-线性代数第二章

a11

a12

a1n

线性方程

a22

a2n

an2

ann

系i的解取决i

aiji,j常数

bi线性方程组的系数与常数项按原位置可排

b1

a2

b2

an

bnDD某航空公司在A,B,C,D城市之间开辟了若干航线如图所示表示了四城市间 则用带箭头的线连接A与四城市间的航班图情况常用表格来表示到 A发站 D其 表示有航班为了便于计算,把表中 改成1,空白地方填0,就得到一个数表 0110101010010100这个数表反映了四城市间交通联接情况mn

i

1,2,,

j1,2,,排成m行n列的数

a22am

a2n称为mn矩阵.简称mn矩阵.记主对角

a1nA

a2n 矩阵A矩阵Amn副对角

am

am

amn简记

A

a这mn个数称为A的元素,简称为元.例

5

是一33

2

实矩阵13 2i

1

是一

3

复矩阵 2 2

4

是一

3

矩阵是一个1

矩阵

是一

11

矩阵几种特殊矩行数与列数都等于

An方阵.也可记13

2i例

2 2

是一个3阶方阵只有一行的矩Aa1,a2,,an称为行矩阵(或行向量只有一列的矩1a1 Ba2

称为列矩阵(或列向量 an

不全为

的方阵,称为对

矩阵(或对角阵n记 A

diag1,2,,n元素全为零的矩阵称为零矩阵mn矩阵记

omn或o注 不同阶数的零矩阵是不相等的例

0 0 0 0

方

EEn

1 全为例

2 6

3 为同型矩阵 与 43793 3793 两个矩A对应元素相等,

为同型矩阵,并

i

1,2,,

j1,2,,则称矩阵A与B相等,

AB.例 n个变量x1,x2,,xn与m个变量y1

y2

ym间的关系

a11a21

a12a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxn表示一个从变量x1x2,xn到变线性变换其中aij为常数

y2

a11a21

a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxnA

a1n a2n

系数矩am

am

amn例 3A 2

,B,

3,, z已知A

B,

y,z. AB,x

y

z一、矩阵的一、矩阵的加设有两个mnA

那末矩A与B的和记作A

B，规定AB

a2

b2n am

bm

am

bm

amn

bmn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进12 例 6 13 13

6 62阵加法的运算规

ABB2A

BC

A

C3

A

a2

a am

am

amn称为矩阵A的负矩阵

A

A

AB

A

1数与矩阵A的乘积记A或A,规定A

A

a21

a22

a1n. a2n.

amn2、数乘矩阵的运算规（设A、B

m

矩阵，,为数123A

B

A

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.三、矩阵与三、矩阵与矩阵相设A

是一个m

矩阵B

是一sn矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘是一个mn矩阵C

，其

ai1b1

ai2b2

ais

aiksksi

j1,2,,并把此乘积记

CAB例

4 4

C1

2 6

例

22

0303412131

A

2

B 0 1405 405 A

B

C

C

2 2注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 3例 198983

不存在

2

13

1 ２、矩阵乘法的运算规1ABCABC

C

AB

AC,

BC3AB

（其中为数4AE

EA5若A

阶矩阵

为Ak次幂，Ak AAAAm

Am

Amkm,k为正整数注意矩阵不满换律，即AB

BA,

ABk

AkBkA

1 B 1例

1 1,, AB 0 BA 2,,故AB

0

2但也有例外，比如 0

B

1,A , 2

12则 2AB

2BA 2 AB例3计算下列乘积2

2 3 2

1

22 4

1

212 3

32

4.6 2 b2b311解

=(

a22b2

b2b3 0例 设A 1求Ak0 0

0

0

1 1000 000

1 100

2. 2

1 A3

A2A

2 2

1

300

32

由此归纳

kk

kk

1k2Ak 0000

2kk

2用数学归纳法证k

2时，显然成立k

n时成立，则

n1时

nn1n2

0An1

AnA 0000

1,

n

n1nn1 00

0

n , 所以对于任意的k都

kk

kk

1k2Ak 0000

kk . 定义把矩阵A的行换成同序数的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记

A A 2 8

,AT,22

45;88B

BT

18. 6转置矩阵的运算性1AT

2A34

例 已 A

求ABT解法

ABT

3,,17 10解法

BT

2 0

1 232

1713.

1

102、方阵的行列由

阶方

的元素所构成的行列式叫做方阵

的行列式，记

Adet例A 3 8

A6

38运算性质1

A;

23

AB

BA.3、对称阵与伴随矩An阶方阵，如果满A

i,

1,2,,n

称为对称阵12

1例如A

06 6

为对称阵说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相如果T

A例6设列矩阵

,

,,

XT

E为n阶单位矩阵

E

2XXT,证明H是对称矩阵,且HHTE.证明HT

2XXT

2XXTE2XXTHH是对称矩阵HHTH

E2XXTE4XXT

4XXTXXT

E4XXT

4XXTXXE4XX

4XX

E.例7证明任一

阶矩阵

都可表示成对称 称阵之和证则

设A

A

AT

C所以C为对称矩阵设B

AAT

则

A

AT

AB,所以B为称矩阵TAAT

A

CB

命题得证 定义行列式A的各个元素的代 式A构成的如下矩

An1An2 Ann

称为矩阵的伴随矩阵性 AA证 设Aa

记AA iij212

Aij故

A

A

AE同理可

A