一波函数沿x方向传播的平面波波动方程为187波函数薛定谔方程课件

一.波函数沿x方向传播的平面波波动方程为§18-7波函数薛定谔方程上式为下面复数形式的实数部分为区别一般的波，奥地利物理学家薛定谔提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态一.波函数§18-7波函数薛定谔方程上式为下面复数形式1

对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒子在三维空间运动时有对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒2

二.波函数的物理意义

*

----的共轭复数与光波类比，波函数的强度为由玻恩的概率波概念，粒子出现在体积元dV内的概率为

----概率密度二.波函数的物理意义*----的共轭复数与光波类比3

在整个空间总能找到粒子，应有----波函数的归一化条件三.波函数的标准条件单值:某时刻粒子出现在某点的概率唯一有限:粒子出现的概率应有限连续:不应出现突变(可导)在整个空间总能找到粒子，应有----波函数的归一化条件三.4

说明：经典波描写实在物理量在空间中的传播过程概率波不代表实在物理量的传播过程，波函数本身没有直接的物理意义说明：经典波描写实在物理量在空间中的传播过程概率波不代表实5

四.薛定谔方程1.一般薛定谔方程自由粒子：设自由粒子沿x方向运动波函数四.薛定谔方程1.一般薛定谔方程自由粒子：设自由粒子沿x方6

----一维运动自由粒子的含时薛定谔方程----一维运动自由粒子的含时薛定谔方程7

在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又8----势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间----拉普拉斯算符----势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间--9

----一般的薛定谔方程引入能量算符----哈密顿算符则有----一般的薛定谔方程引入能量算符----哈密顿算符则有10

说明：薛定谔方程是量子力学中，态随时间变化的方程，其正确性是由方程的解与实验结果相符而得到证实1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典能量公式，则可写出薛定谔方程并求解，可得概率密度2说明：1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典11

2.定态方程定态：势能函数与时间无关，即令2.定态方程令12两边同除以得两边等于同一常数时上式才能成立两边同除以得两边等于同一常数时上式才能成立13(1)(2)(1)(2)14(1)的解为E具有能量量纲(2)为----定态薛定谔方程粒子波函数为即(1)的解为E具有能量量纲(2)为----定态薛定谔方程粒子15讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定值E称为本征值，相应的波函数称为本征函数讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定16

五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：由体系的势能写出薛定谔方程解方程得一般解根据标准条件和归一化条件确定有关常数项五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：17

2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数

判断令

，解出

x=xm2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数判断令18

3.求粒子在某区域内出现的概率计算求概率密度函数

3.求粒子在某区域内出现的概率计算求概率密度函数19[例7]一质量为m的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径为r。求粒子的波函数并确定其可能的能量值和角动量值。解：定态薛定谔方程[例7]一质量为m的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径20粒子在xy平面内作圆周运动r、θ(=π/2)均为常数又粒子在xy平面内作圆周运动r、θ(=π/2)均为常数又21或解为其中或解为其中22是的单值、有限、连续函数或即由归一化条件是的单值、有限、连续函数或即由归一化条件23于是定态波函数为粒子的波函数为于是定态波函数为粒子的波函数为24——能量量子化由能量动量关系——角动量量子化——能量量子化由能量动量关系——角动量量子化25设粒子作一维运动，势能函数为§18-8一维无限深势阱阱外须有设粒子作一维运动，势能函数为§18-8一维无限深势阱阱外须26阱内令其通解为C和为待定常数阱内令其通解为C和为待定常数27根据波函数的连续、单值的条件有根据波函数的连续、单值的条件有28由归一化条件可得由归一化条件可得29波函数为波函数为30----能量量子化n：粒子能量量子数----能量量子化n：粒子能量量子数31讨论：n0：因为n=0

则n0，无意义n=1：----基态能

，能量间隙不均匀，并随n的增大而增大讨论：n=1：----基态能，能量间隙不均匀，32

除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0称为节点。基态无节点，第一激发态有一个节点，第n

激发态有(n-1)个节点除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0称为节点。基态无节33[例8]设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：粒子在0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值。在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？解：已知[例8]设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，34粒子出现在0xa/4区间中的几率为时时粒子出现在0xa/4区间中的几率为时时35处最大时有处最大时有36

一.一维势垒隧道效应粒子在x方向运动，势能分布为§18-9一维势垒谐振子经典物理的观点：时：粒子可越过势垒到达3区时：粒子被势垒反弹回去一.一维势垒隧道效应§18-9一维势垒谐振子经典物理37量子力学：薛定谔方程为2区1区3区量子力学：薛定谔方程为2区1区3区38

令则令则39正向传播

可得：时：k2为虚数

可得：时：k2为实数负向传播因3区无反射波，故C’=0正向传播可得：时：k2为虚数可得：时：k2为实数负向40由标准条件可求得其它5个系数2区：透射波+反射波3区：透射波1区：入射波+反射波即由标准条件可求得其它5个系数2区：透射波+反射波3区：透射波41

在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿过势垒----隧道效应贯穿势垒的概率(贯穿系数)为:势垒加宽(a增大)或增高(U0增大)，则T减小在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿过势垒---42蒲松龄:《聊斋志异》崂上道士穿墙而过！蒲松龄:《聊斋志异》崂上道士穿墙而过！43

二.谐振子一维谐振子的势能为其中薛定谔方程为二.谐振子其中薛定谔方程为44

可解得最小能量(零点能)为(1/2)h讨论：线性谐振子的能量是量子化的能级均匀分布，能隙为h或可解得最小能量(零点能)为(1/2)h讨论：线性谐振子的45诺贝尔奖颁奖现场诺贝尔奖颁奖现场46癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)47

一.氢原子的薛定谔方程氢原子中，电子的势能函数为§18-10氢原子的量子力学处理方法薛定谔方程为：一.氢原子的薛定谔方程§18-10氢原子的量子力学处理方48

转换到球极坐标系中得极坐标形式为：转换到球极坐标系中得极坐标形式为：49设可得：(1)(2)(3)设可得：(1)(2)(3)50

二.量子化条件和量子数1.能量量子化和主量子数与玻尔所得结果完全一致----主量子数由(3)可得氢原子能量为二.量子化条件和量子数与玻尔所得结果完全一致----主量子51

2.角动量量子化和角量子数对一定的n值,

l

有n个可能取值由(1)(2)可得电子绕核运动的角动量量子化条件----角量子数2.角动量量子化和角量子数对一定的n值,l有n个可能52

3.角动量空间量子化和磁量子数对一定的l

值，ml

有(2

l+1)个可能取值由(1)(2)可得ml应满足----磁量子数ml决定电子绕核运动角动量在空间的取向Lz，有3.角动量空间量子化和磁量子数对一定的l值，ml有(53

一.施特恩-格拉赫实验§18-11电子的自旋1921年施特恩和格拉赫为验证电子角动量空间量子化而进行的实验无磁场有磁场原子源一.施特恩-格拉赫实验§18-11电子的自旋1921年施54

实验发现：不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁场时底板上呈现上下两条原子沉积矛盾：角量子数为

l

时，角动量在空间的取向有(2l+1)种可能实验发现：不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁55

二.电子的自旋为解释上述实验结果，1925年乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋假说:电子除轨道运动外，还存在自旋运动。电子自旋角动量S在空间任一方向上的投影Sz只能取两个值二.电子的自旋为解释上述实验结果，1925年乌伦贝克和古兹56----自旋磁量子数----与电子轨道角动量相似由量子力学可得，自旋角动量为----自旋量子数s只能取一个值即----自旋磁量子数----与电子轨道角动量相似由量子力学可57

三.四个量子数原子中电子的状态由四个量子数决定主量子数n（n=1,2,）大体上决定电子的能量角量子数l（l=0,1,2,,n-1）决定电子的轨道角动量的大小磁量子数ml（ml=0,1,2,,l）决定电子轨道角动量在外磁场中的取向。自旋磁量子数ms（ms=1/2）决定电子自旋角动量在外磁场中的取向三.四个量子数磁量子数ml（ml=0,1,2,,58

对多电子原子，其内部电子的分布由下面两条原理决定：§18-12原子的壳层结构泡利不相容原理：在一个原子中不能有两个或两个以上的电子处在完全相同的量子态，即不能具有相同的四个量子数能量最小原理：原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级对多电子原子，其内部电子的分布由下面两条原理决定：§18-59

根据泡利不相容原理，原子中具有相同主量子数n的电子数最多为1916年柯塞耳提出原子壳层结构：n相同的电子组成一个壳层，对应n=1,2,3,的壳层分别用K,L,M,N,O,P,来表示根据泡利不相容原理，原子中具有相同主量子数n的电子数最多为60

l相同的电子组成支壳层，对应l=0,1,2,的支壳层分别用s,p,d,f,g,h,来表示例如：K壳层上可能有2个电子(s电子)，表示为1s2----L壳层、s分层上可能有2个电子，表示为2s2l相同的电子组成支壳层，对应l=0,1,2,的支壳层分别61----L壳层、p分层上可能有6个电子，表示为2p6L壳层最多可有(2+6)=8个电子即：3s2、3p6、3d10M壳层最多可有18个电子----L壳层、p分层上可能有6个电子，表示为2p6L壳层最62

一.波函数沿x方向传播的平面波波动方程为§18-7波函数薛定谔方程上式为下面复数形式的实数部分为区别一般的波，奥地利物理学家薛定谔提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态一.波函数§18-7波函数薛定谔方程上式为下面复数形式63

对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒子在三维空间运动时有对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒64

二.波函数的物理意义

*

----的共轭复数与光波类比，波函数的强度为由玻恩的概率波概念，粒子出现在体积元dV内的概率为

----概率密度二.波函数的物理意义*----的共轭复数与光波类比65

在整个空间总能找到粒子，应有----波函数的归一化条件三.波函数的标准条件单值:某时刻粒子出现在某点的概率唯一有限:粒子出现的概率应有限连续:不应出现突变(可导)在整个空间总能找到粒子，应有----波函数的归一化条件三.66

说明：经典波描写实在物理量在空间中的传播过程概率波不代表实在物理量的传播过程，波函数本身没有直接的物理意义说明：经典波描写实在物理量在空间中的传播过程概率波不代表实67

四.薛定谔方程1.一般薛定谔方程自由粒子：设自由粒子沿x方向运动波函数四.薛定谔方程1.一般薛定谔方程自由粒子：设自由粒子沿x方68

----一维运动自由粒子的含时薛定谔方程----一维运动自由粒子的含时薛定谔方程69

在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又70----势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间----拉普拉斯算符----势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间--71

----一般的薛定谔方程引入能量算符----哈密顿算符则有----一般的薛定谔方程引入能量算符----哈密顿算符则有72

说明：薛定谔方程是量子力学中，态随时间变化的方程，其正确性是由方程的解与实验结果相符而得到证实1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典能量公式，则可写出薛定谔方程并求解，可得概率密度2说明：1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典73

2.定态方程定态：势能函数与时间无关，即令2.定态方程令74两边同除以得两边等于同一常数时上式才能成立两边同除以得两边等于同一常数时上式才能成立75(1)(2)(1)(2)76(1)的解为E具有能量量纲(2)为----定态薛定谔方程粒子波函数为即(1)的解为E具有能量量纲(2)为----定态薛定谔方程粒子77讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定值E称为本征值，相应的波函数称为本征函数讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定78

五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：由体系的势能写出薛定谔方程解方程得一般解根据标准条件和归一化条件确定有关常数项五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：79

2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数

判断令

，解出

x=xm2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数判断令80

3.求粒子在某区域内出现的概率计算求概率密度函数

3.求粒子在某区域内出现的概率计算求概率密度函数81[例7]一质量为m的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径为r。求粒子的波函数并确定其可能的能量值和角动量值。解：定态薛定谔方程[例7]一质量为m的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径82粒子在xy平面内作圆周运动r、θ(=π/2)均为常数又粒子在xy平面内作圆周运动r、θ(=π/2)均为常数又83或解为其中或解为其中84是的单值、有限、连续函数或即由归一化条件是的单值、有限、连续函数或即由归一化条件85于是定态波函数为粒子的波函数为于是定态波函数为粒子的波函数为86——能量量子化由能量动量关系——角动量量子化——能量量子化由能量动量关系——角动量量子化87设粒子作一维运动，势能函数为§18-8一维无限深势阱阱外须有设粒子作一维运动，势能函数为§18-8一维无限深势阱阱外须88阱内令其通解为C和为待定常数阱内令其通解为C和为待定常数89根据波函数的连续、单值的条件有根据波函数的连续、单值的条件有90由归一化条件可得由归一化条件可得91波函数为波函数为92----能量量子化n：粒子能量量子数----能量量子化n：粒子能量量子数93讨论：n0：因为n=0

则n0，无意义n=1：----基态能

，能量间隙不均匀，并随n的增大而增大讨论：n=1：----基态能，能量间隙不均匀，94

除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0称为节点。基态无节点，第一激发态有一个节点，第n

激发态有(n-1)个节点除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0称为节点。基态无节95[例8]设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：粒子在0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值。在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？解：已知[例8]设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，96粒子出现在0xa/4区间中的几率为时时粒子出现在0xa/4区间中的几率为时时97处最大时有处最大时有98

一.一维势垒隧道效应粒子在x方向运动，势能分布为§18-9一维势垒谐振子经典物理的观点：时：粒子可越过势垒到达3区时：粒子被势垒反弹回去一.一维势垒隧道效应§18-9一维势垒谐振子经典物理99量子力学：薛定谔方程为2区1区3区量子力学：薛定谔方程为2区1区3区100

令则令则101正向传播

可得：时：k2为虚数

可得：时：k2为实数负向传播因3区无反射波，故C’=0正向传播可得：时：k2为虚数可得：时：k2为实数负向102由标准条件可求得其它5个系数2区：透射波+反射波3区：透射波1区：入射波+反射波即由标准条件可求得其它5个系数2区：透射波+反射波3区：透射波103

在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿过势垒----隧道效应贯穿势垒的概率(贯穿系数)为:势垒加宽(a增大)或增高(U0增大)，则T减小在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿过势垒---104蒲松龄:《聊斋志异》崂上道士穿墙而过！蒲松龄:《聊斋志异》崂上道士穿墙而过！105

二.谐振子一维谐振子的势能为其中薛定谔方程为二.谐振子其中薛定谔方程为106

可解得最小能量(零点能)为(1/2)h讨论：线性谐振子的能量是量子化的能级均匀分布，能隙为h或可解得最小能量(零点能)为(1/2)h讨论：线性谐振子的107诺贝尔奖颁奖现场诺贝尔奖颁奖现场108癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)109

一.氢原子的薛定谔方程氢原子中，电子的势能函数为§18-10氢原子的量子力学处理方法薛定谔方程为：一.氢原子的薛定谔方程§18-10氢原子的量子力学处理方110

转换到球极坐标系中得极坐标形式为：转换到球极坐标系中得极坐标形式为：111设可得：(1)(2)(3)设可得：(1)(2)(3)112

二.量子化条件和量子数1.能量量子化和主量子数与玻尔所得结果完全一致----主量子数由(3)可得氢原子能量为二.量子化条件和量子数与玻尔所得结果完全一致----主量子113

2.角动量量子化和角量子数对一定的n值,

l

有n个可能取值由(1)(2)可得电子绕核运动的角动量量子化条件----角量子数2.角动量量子化和角量子数对一定的n值,l有n个可能114

3.角动量空间量子化和磁量子数对一定的l

值，ml

有(2

l+1)个可能取值由(1)(2)可得ml应满足----磁量子数ml决定电子绕核运动角动量在空间的取向Lz，有3.角动量空间量子化和磁量子数对一定的l值，ml有(115

一.施特恩-格拉赫实验§18-11电子的自旋1921年施特恩和格拉赫为验证电子角动量空间量子化而进行的实验无磁场有磁场原子源一.施特恩-格拉赫实验§18-11电子的自旋1921年施116

实验发现：不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁场时底板上呈现上下两条原子沉积矛盾：角量子数为

l

时，角动量在空间的取向有(2l+1)种可能实验发现：不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁117

二.电子的自旋为解释上述实验结果，1925年乌伦贝克和古兹