三角恒等式课件

一、知识提要1、同角三角比八个基本关系式倒数关系：SinαCscα=1CosαSecα=1tgαCtgα=1一、知识提要1、同角三角比八个基本关系式倒数关系：Si商数关系：Sinα

=tgα

CosαCosα

=Ctgα

Sinα1、同角三角比八个基本关系式商数关系：Sinα

=tgα

Co平方关系：Sin2α+Cos2α=1tg2α+1=Sec2αCtg2α+1=Csc2α1、同角三角比八个基本关系式平方关系：Sin2α+Cos2α=1tg2α+1=Se附：图示分析

平方关系：

三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方

倒数关系：

对角线两顶点之积为1

1、同角三角比八个基本关系式商数关系：

相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。附：图示分析平方关系：

三个阴影三角形上面顶点1、同角三角比八个基本关系式

一般的，如果已知角α三角比，并已知终边所在象限，角α可唯一确定。若未知α范围，可根据终边象限讨论，并相应求出三角比。1、同角三角比八个基本关系式一般的，如果已知角α三角比，证明三角恒等式时，如果式中含有正

余切割，同时又含有正余弦，一般化

弦，若仅含切割则不必了。证明三角恒等式按由繁至简原则，或

左至右，右至左，或左右归一，总

之两端异化同。

证明三角恒等式时，如果式中含有正

余切割，同时又含2、两角和与差的余弦、正弦本节从证明两角差的余弦公式出发，通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。2、两角和与差的余弦、正弦本节从证明两角差的余弦公式出发由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或“－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”。2、两角和与差的余弦、正弦由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌对于aSinα±bCosα这样的式子，总

可以化为一个角的三角比形式。

2、两角和与差的余弦、正弦即aSinα±bCosα=a2+b2Sin(α+φ)。其中φ由

ab

Cosφ=Sinφ=

a2+b2a2+b2

0≤φ<2π来确定。对于aSinα±bCosα这样的式子，总

可以3、两角和与差的正切、余切两角和的正切公式：两角差的正切公式：这两式成立的条件是：正切符号“tg”后面的角α、β、α+β、αβ都不等于

tgα+tgβ

tg(α+β)=

1tgαtgβ

tgαtgβ

tg(αβ)=

1+tgαtgβ

π

kπ+(k∈Z)

2

3、两角和与差的正切、余切两角和的正切公式：两角差的4、二倍角公式正弦公式：Sin2α=2SinαCosα

余弦公式：

Cos2α=Cos2αSin2α

=2Cos2α1

=12Sin2α正切公式：

2tgα

tg2α=

1-tg2α

π1π

(α≠Kπ+且α≠Kπ+,K∈Z)

2244、二倍角公式正弦公式：Sin2α=2SinαCosα运用公式变形：

在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。4、二倍角公式运用公式变形：

在解题过程中运用以上公式的变例如：tgα+tgβ=tg(α+β).(1tgαtgβ)tgαtgβ=tg(αβ).(1+tgαtgβ)

Sin2α

Sinα=

2Cosα

Sin2α

Cosα=

2SinαCos2αSin2α=1

1+Cos2α

Cos2α=

2

1Cos2α

Sin2α=

2例如：tgα+tgβ=tg(α+β).(1tgαtgβ4、二倍角公式

从本质上理解二倍角公式的含义。

2α是α的二倍，α是α/2的二倍，

4α是2α的二倍，等等。

有的特殊关系式也要记住：

1tgαπ

=tgπ

1+tgα41+tgαπ

=tg+π

1tgα44、二倍角公式从本质上理解二倍角公式的含义。

25、半角公式

α1Cosα

Sin=

22±

α1+Cosα

Cos=

22±

α1Cosα

tg=

21+Cosα±5、半角公式α1Cosα5、半角公式变形公式：

αSinα1Cosα

tg==

21+CosαSinα5、半角公式变形公式：αSinα二、例题分析例1：已知α大于零度小于180度，且

1

Sinα+Cosα=，求Sinα和

5Cosα的值。二、例题分析例1：已知α大于零度小于180度，且例1：已知α大于零度小于180度，且

1

Sinα+Cosα=，求Sinα和

5Cosα的值。分析：若求出sinαcosα值，

1

Sinα+Cosα=联立，

5可以求出Sinα和Cosα的值。将之与例1：已知α大于零度小于180度，且例1：已知α大于零度小于180度，且

1

Sinα+Cosα=，求Sinα和

5Cosα的值。解：

1

Sinα+Cosα=代入

5把(Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα得

12

SinαCosα=

25∵0º

<α<180º，且

12

SinαCosα=<0

25∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0知：SinαCosα>0例1：已知α大于零度小于180度，且而(SinαCosα)2=12SinαCosα

12

25

49

25=1∴SinαCosα=

7

5联立：SinαCosα=

7

5Sinα+Cosα=

1

3得：Cosα=

3

5Sinα=

4

5×2=而(SinαCosα)2=12SinαCosα注意：对于任意角α，总有(Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα(SinαCosα)2=12SinαCosα这两个等式联系着

Sinα和Cosα，

Sinα+Cosα，

SinαCosα，

SinαCosα关系。

注意：对于任意角α，总有(Sinα+Cosα)2=1+本例解法多种：可以利用Sin2α+Cos2α=1Sinα+Cosα=

1

5求Sinα由于0º<α<180º可知Sinα=

4

5又如：Sinα+Cosα=

1

5

12

SinαCosα=

25得：

112

x2x=0则Sinα和Cosα是方程的解。

525本例解法多种：可以利用Sin2α+Cos2α=1Sinα由本题可得启示：Sinα+Cosα值小于1时，

α不在第一象限。

Sinα+Cosα>0时，

α不在第三象限。由本题可得启示：Sinα+Cosα值小于1时，

例2：已知tgα=3，

求Sin2α+SinαCosα+2Cos2α的值。例2：已知tgα=3，

求Sin2α+例2：已知tgα=3，

求Sin2α+SinαCosα+2Cos2α的值。分析：由已知条件tgα=3，

如果将已知式子变为只含式子，

就可以求得所需值。

例2：已知tgα=3，

求Sin2α+例2：已知tgα=3，

求Sin2α+SinαCosα+2Cos2α的值。解：Sin2α+2Cos2α+SinαCosα

Sin2α+2Cos2α+SinαCosα

=

Sin2α+Cos2α

tg2α+2+tgα

=

tg2α+1

32+3+2

=

32+1

7

5=例2：已知tgα=3，

求Sin2α+注：此题注意了

Sin2α+Cos2α=1的主动灵活应用，三角函数中1的作用是灵活巧妙的。

如：Sin4α+Cos4α

=(Sin2α+Cos2α)22Sin2αCos2α

注：此题注意了

Sin2α+Cos2α=例3：求证：

(1+CtgαCscα)(1+tgα+Secα)=2

例3：求证：

(1+CtgαCs例3：求证：

(1+CtgαCscα)(1+tgα+Secα)=2

证:原式=

Cosα

1Sinα1

1+1++

SinαSinαCosαCosα

Sinα+Cosα1Cosα+Sinα+1

=.

SinαCosα

2SinαCosα

==2

CosαSinα例3：求证：

(1+CtgαCs例3：求证：

(1+CtgαCscα)(1+tgα+Secα)=2

解：证

Cosα

1Sinα1

1+1++

SinαSinαCosαCosα

Sinα+Cosα1Cosα+Sinα+1

=.

SinαCosα

2SinαCosα

==2

CosαSinα注：此例题体现了化弦。

例3：求证：

(1+CtgαCs例4：(1)求Sin33ºSin12ºCos33ºCos12º

7π2ππ2π

(2)求SinCosSinSin

18999例4：(1)求Sin33ºSin12ºCos33º例4：(1)求Sin33ºSin12ºCos33ºCos12º

7π2ππ2π

(2)求SinCosSinSin

18999解：(1)原式=Cos(33º+12º)=Cos45º=2

2例4：(1)求Sin33ºSin12ºCos33º例4：(1)求Sin33ºCos33ºCos12º

7π2ππ2π

(2)求SinCosSinSin

18999解：(1)原式=Cos(33º+12º)=Cos45º=2

2

7π2ππ2π

SinCosSinSin

18999(2)原式=

7π2ππ1

=Sin=Sin=

18962例4：(1)求Sin33ºCos33ºCos12º例4：(1)求Sin33ºCos33ºCos12º

7π2ππ2π

(2)求SinCosSinSin

18999解：(1)原式=Cos(33º+12º)=Cos45º=2

2

7π2ππ2π

SinCosSinSin

18999(2)原式=

7π2ππ1

=Sin=Sin=

18962[说明]本题旨在加深学生对公式的正，逆用。

例4：(1)求Sin33ºCos33ºCos12º例5：已知π3π

<β<α<，

24Cos(αβ)=，12

13Sin(α+β)=，

3

5求Sin2α。例5：已知π3π

例5：已知π3π

<β<α<，

24Cos(αβ)=，12

13Sin(α+β)=，

3

5求Sin2α。解：π3π

<β<α<，

24

π

0<αβ<，

4

3

π<α+β<π

2又

Cos(αβ)=12

13

Sin(αβ)=

5

13Sin(α+β)=

3

5Cos(α+β)=

4

5例5：已知π3π

Sin2α=Sin(α+β)+(αβ)=Sin(α+β)Cos(αβ)+Cos(α+β)

Sin(αβ)

3

5=.+.=12

13

4

5

5

13

56

65Sin2α=Sin(α+β)+(αβ)=SinSin2α=Sin(α+β)+(αβ)[说明]使学生树立相对观点，不但知道α+β，

α－β分别是α与β两角的和、差。而

且会把2α看作两角(α＋β)与(α－β)

的和，把2β看(α＋β)与(α－β)的差。=Sin(α+β)Cos(αβ)+Cos(α+β)

Sin(αβ)

3

5=.+.=12

13

4

5

5

13

56

65Sin2α=Sin(α+β)+(αβ)[说明]例6：已知△ABC中，SinASinB<CosACosB，

试判断△ABC的形状，并说明理由。

例6：已知△ABC中，SinASinB<CosACosB，

例6：已知△ABC中，SinASinB<CosACosB，

试判断△ABC的形状，并说明理由。

解：∵CosACosBSinASinB>0

∴Cos(A+B)>0

∵A＋B＋C＝π

∴A＋B＝π－C，而Cos(A+B)>0

∴－CosC>0∴CosC<0又0<C<π

∴<C<π∴△ABC钝角三角形

π

2例6：已知△ABC中，SinASinB<CosACosB，

例7：已知

Sinα+Sinβ=a(1)

Cosα+Cosβ=b(2)求Cos(α－β)的值

例7：已知Sinα+Sinβ=a(1)

C例7：已知

Sinα+Sinβ=a(1)

Cosα+Cosβ=b(2)求Cos(α－β)的值

解：(1)式平方：

即Sin2α+Sin2β+2SinαSinβ＝a2(3)(2)式平方：

即Cos2α+Cos2β+2CosαCosβ=b2(4)(3)＋(4)即

2+2Cos(α－β)＝a2＋b2

Cos(αβ)=

a2＋b22

2例7：已知Sinα+Sinβ=a(1)

C[说明]进行三角恒等变形常要用到代数

技巧，要熟悉所学三角公式的各

种形式，这样就可以有机地把代

数技巧结合到三角变换中去。

[说明]进行三角恒等变形常要用到代数

例8：当x取什么值时，y=1-(Sinx+Cosx)2+

Cos2x取得最大值与最小值，最大值

与最小值各是多少？3例8：当x取什么值时，y=1-(Sinx+Cosx)2+

例8：当x取什么值时，y=1(Sinx+Cosx)2+

Cos2x取得最大值与最小值，最大值与最

小值各是多少？解法一：

y＝1－(Sin2x＋2SinxCosx+Cos2x＋Cos2x)33＝11Sin2x+Cos2x3＝2Cos2xSin2x3

21

2π

6=2Cos2x＋例8：当x取什么值时，y=1(Sinx+Cos当2x+＝2kπk∈Zπ

6

π

12即x＝kπk∈Z时y最大＝2当2x+＝2kπ+πk∈Zπ

6

5π

12即x＝kπ+k∈Z时y最小＝2当2x+＝2kπk∈Zπ

6π

例8：当x取什么值时，y=1(Sinx+Cosx)2+

Cos2x取得最大值与最小值，最大值与最

小值各是多少？解法二：3y＝1Sin(x+)2+Cos2x2π

43＝12Sin2(x+)+Cos2xπ

43＝Cos(＋2x)+Cos2x

π

23＝Sin2x+Cos2x(以下同法一)

3例8：当x取什么值时，y=1(Sinx+Cosx)2+

例9：已知Sin(2α+β)+2Sinβ=0求证：tgα=3tg(α+β)例9：已知Sin(2α+β)+2Sinβ=0求证：tgα=例9：已知Sin(2α+β)+2Sinβ=0求证：tgα=3tg(α+β)分析：欲证tgα=3tg(α+β)

SinαSin(α+β)

=3

CosαCos(α+β)3Sin(α+β)Cosα=SinαCos(α+β)Sin[(α+β)α]+2Sin(α+β)Cosα=02Sinβ+Sin(2α+β)=0例9：已知Sin(2α+β)+2Sinβ=0求证：tgα=例9：已知Sin(2α+β)+2Sinβ=0求证：tgα=3tg(α+β)证明:Sin(2α+β)+2Sinβ=0Sin[(α+β)+α]+2Sin(α+βα)＝0Sin(α+β)Cosα+Cos(α+β)Sinα+2[Sin(α+β)CosαCos(α+β)Sinα]=0

∴3Sin(α+β)CosαCos(α+β)Sinα=0

tgα=3tg(α+β)

例9：已知Sin(2α+β)+2Sinβ=0求证：tgα=[说明]2α+β=(α+β)+α，

β=(α+β)－α——角变换，再

变形（不化简而化繁）得到证明。[说明]2α+β=(α+β)+α，

例10：已知2tgα=3tgβ，

求证：tg(αβ)=

Sin2β

5Cos2β例10：已知2tgα=3tgβ，求证：tg(αβ)=例10：已知2tgα=3tgβ，

求证：tg(αβ)=

Sin2β

5Cos2β证明:由已知得tgα=tgβ，

3

2

tgαtgβtgβ

∴左边===

1+tgαtgβ2+3tg2β

3

tgβtgβ

21+tg2β

3

2例10：已知2tgα=3tgβ，求证：tg(αβ)=

Sin2β

右边=

5(Cos2β+Sin2β)(Cos2β+Sin2β)

2SinβCosβ

=

4Cos2β+6Sin2β

1

2Cos2β

=

1

2Cos2β2SinβCosβ

(4Cos2β+6Sin2β)

tgβ

=

2+3tg2β∴左边＝右边

分析：要证A=B，一般有三种方法：①AB；

②BA；③AC，BC，从而

A=B。本例用的是第三种方法，把“1”

化为“Sin2β+Cos2β”是有时解题用的

方法，先化简为繁，反而能较快地达到

目的。例10：已知2tgα=3tgβ，

求证：tg(αβ)=

Sin2β

5Cos2β分析：要证A=B，一般有三种方法：①AB；

例11：已知4CosαCosβ=，

64SinαSinβ=2求(1Cos4α)(1Cos4β)的值。

例11：已知4CosαCosβ=，64Sin例11：已知4CosαCosβ=，

64SinαSinβ=2求(1Cos4α)(1Cos4β)的值。

解：将已知的两式相乘，得4.2SinαCosα2SinβCosβ=23Sin2αSin2β=3

2∴(1Cos4α)(1Cos4β)=2Sin22α2Sin22β=4(Sin2αSin2β)2=4×=33

4例11：已知4CosαCosβ=，64Sin例11：已知4CosαCosβ=，

64SinαSinβ=2求(1Cos4α)(1Cos4β)的值。

说明：将已知两式相乘，是对所要求值的式子

(1Cos4α)(1Cos4β)进行分析而思考

出来的方法。4α是2α的二倍。

例11：已知4CosαCosβ=，64Sin例12：已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证：

ABBCCA

tgtg+tgtg+tgtg=1

222222例12：已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证：例12：已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证：

ABBCCA

tgtg+tgtg+tgtg=1

222222证明：由

BC

tg+=

22B

2C

2tgtgB

2C

2tg+tg1可得B

2C

2tg+tg=

BC

tg+

22

πA

tg

22=

A

tg

2=CB

2C

2tgtg1B

2C

2tgtg1B

2C

2tgtg1例12：已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证：∴左边=

A

tg

2B

2C

2tg+tg+B

2C

2tgtg

A

tg

2=

A

tg

2CB

2C

2tgtg1+B

2C

2tgtg=B

2C

2tgtg1+B

2C

2tgtg=1=右边∴左边=A

tg

例12：已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证：

ABBCCA

tgtg+tgtg+tgtg=1

222222说明：要掌握有关三角形内角的恒等式。由

A+B+C=π得A+B=πC，A+BπC

=

222。于是Sin(A+B)=SinC，Cos(A+B)=CosC，

tg(A+B)=tgC，Sin=，A+B

2

C

os

2CCosA+B

2

C

Sin

2=tg，A+B

2

C

tg

2C=例12：已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证：例13：已知函数

f(x)=2aSin2x2aSinxCosx+a+b(a≠0)3定义域为[0,]，值域为[5,1]。求常数a、b。

π

2例13：已知函数f(x)=2aSin2x2例13：已知函数

f(x)=2aSin2x2aSinxCosx+a+b(a≠0)3定义域为[0,]，值域为[5,1]。求常数a、b。

π

2解：利用二倍角公式可得f(x)=a(1Cos2x)aSin2x+a+b3=a(Cos2x+Sin2x)+2a+b3=2aSin2x++2a+bπ

6∵x∈[0,]π

2∴≤2x+≤在此区间π

6π

67π

6Sin(2x+)最大值为1，最小值为。

π

6

1

2例13：已知函数f(x)=2aSin2x2(1)当a>0时，f(x)的最小值是2a+2a+b=5，即b=5，f(x)最大值是

1

2

2a+2a+b=1即a=2。(2)当a<0时，f(x)的最小值是

1

2

2a+2a+b=3a+b=5而f(x)最大值是

2a+2a+b=1b=1，a=2∴a=2，b=5或a=2，b=1(1)当a>0时，f(x)的最小值是2a+2a+b=5例13：已知函数

f(x)=2aSin2x2aSinxCosx+a+b(a≠0)3定义域为[0,]，值域为[5,1]。求常数a、b。

π

2说明：分类讨论是数学解题中的一种重要的也

是常用的思维方法。

例13：已知函数f(x)=2aSin2x2例14：已知SinαCosα=，

60

169且α∈(,)求tgα的值。π

4π

2例14：已知SinαCosα=，60

例14：已知SinαCosα=，

60

169且α∈(,)求tgα的值。π

4π

2解法一：由已知

Sin2α=120

169∵＜α＜，

π

4π

2＜2α＜ππ

2∴Cos2α=12120

169=119

169∴tgα=

1Cos2α

Sin2α1+119

169120

169=

12

5=例14：已知SinαCosα=，60

例14：已知SinαCosα=，

60

169且α∈(,)求tgα的值。π

4π

2解法二：同解法一到cos2α=止。

119

169

α∈(,)π

4π

2∵∴tgα>0tgα=1Cos2α

1+Cos2α1+119

169119

169=1=

12

5例14：已知SinαCosα=，60

例14：已知SinαCosα=，

60

169且α∈(,)求tgα的值。π

4π

2解法三：由已知1+2SinαCosα=

289

169又Sinα>Cosα>0，

∴(Sinα+cosα)2=289

169Sinα+Cosα=17

13(1)，同样(Sinαcosα)2=，

49

169，SinαCosα=

7

13(2)由(1)、(2)式得

Sinα=12

13Cosα=

5

13∴tgα=

12

5例14：已知SinαCosα=，60

说明：的符号，故用半角公式

tgα=

1Cos2α

Sin2α；采用解法二须注意cos2α本身是负值，而tgα是正值，采用解法三要注意由于α的取值范围可确定sinα+cosα、sinα-cosα的符号。解法一是根据题设可确定sin2α、cos2α说明：的符号，故用半角公式tgα=1Cos2例15：已知tgA=

b

a，求证：acos2A+bsin2A=a

例15：已知tgA=b

a，求证：acos2A+bs例15：已知tgA=

，求证：acos2A+bsin2A=a

解：证法一利用万能置换公式有：

左边=aCos2A+bSin2A=a.

11++b.

2.1+=a.a2b2a2+b2+b.

2aba2+b2=a3ab2+2ab2

a2+b2a(a2+b2)

a2+b2==a=右边。

b

a

b

a2

b

a2

b

a2

b

a例15：已知tgA=，求证：acos2A+bsin2A=a例16：已知tgA=

，求证：acos2A+bsin2A=a

解：证法二∵tgA==SinACosA∴aSinA=bCosA2aSin2A=2bCosASinA2aSin2A=bSin2Aa(1Cos2A)=bSin2A∴acos2A+bsin2A=a

b

a

b

a例16：已知tgA=，求证：acos2A+bsin2A=a分析：题设中隐含了条件A≠kπ+。看到题例15：已知tgA=

，求证：acos2A+bsin2A=a

设中的tgA和求证式中的cos2A，sin2A自然想到用万能置换公式。

π

2

b

a分析：题设中隐含了条件A≠kπ+。看到题例15：已例16：已知tgα+Sinα=m，tgαSinα=n求证：m2n2=4mn例16：已知tgα+Sinα=m，tgαSinα=例17：已知tgα+Sinα=m，tgαSinα=n求证：m2n2=4mn证明:m2n2(tgα+Sinα)2(tgαSinα)2==4tgαSinα4mn=4tg2αSin2α=4(Sec2α1)Sin2α=4tg2αSin2α=4tgαSinα左右两边都等于4tgαsinα故相等。例17：已知tgα+Sinα=m，tgαSinα=例17：已知tgα+Sinα=m，tgαSinα=n求证：m2n2=4mn解：证明m2n2(tgα+Sinα)2(tgαSinα)2==4tgαSinα4mn=4tg2αSin2α=4(Sec2α1)Sin2α=4tg2αSin2α=4tgαSinα左右两边都等于4tgαsinα故相等。注：此题体现了知识提要中左右归一的证题思路例17：已知tgα+Sinα=m，tgαSinα=三、小结本节重点、难点：1、掌握同角八个三角恒等关系式。三、小结本节重点、难点：1、掌握同角八个三角恒等关系式。2、在两角和与差的公式中，以Cos(α+β)＝CosαCosβ－SinαSinβ最为基本，应当掌握这一公式的推导过程，其它的一系列公式都可以通过诱导公式，同角关系式或式的变形运算得到，建议同学们在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上去认识，记忆公式，而不要死记硬背。2、在两角和与差的公式中，以Cos(α+β)＝CosαCos3、公式的应用讲究一个“活”字，体现在

以下两个方面。

(1)即要熟练地顺着用公式，也要善于

逆着用公式。

(2)能够创造条件应用公式。如角的变

换：α可表示为(α+β)－β，

“2α”可表示为(α+β)＋(αβ)等。3、公式的应用讲究一个“活”字，体现在

以下两4、掌握和熟练运用两角的和与差的正

切公式、二倍角的正弦、余弦和正

切公式。

5、灵活地选择各有关公式及其变形，

进行三角式的化简、求值和证明。4、掌握和熟练运用两角的和与差的正

切公式、二一、知识提要1、同角三角比八个基本关系式倒数关系：SinαCscα=1CosαSecα=1tgαCtgα=1一、知识提要1、同角三角比八个基本关系式倒数关系：Si商数关系：Sinα

=tgα

CosαCosα

=Ctgα

Sinα1、同角三角比八个基本关系式商数关系：Sinα

=tgα

Co平方关系：Sin2α+Cos2α=1tg2α+1=Sec2αCtg2α+1=Csc2α1、同角三角比八个基本关系式平方关系：Sin2α+Cos2α=1tg2α+1=Se附：图示分析

平方关系：

三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方

倒数关系：

对角线两顶点之积为1

1、同角三角比八个基本关系式商数关系：

相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。附：图示分析平方关系：

三个阴影三角形上面顶点1、同角三角比八个基本关系式

一般的，如果已知角α三角比，并已知终边所在象限，角α可唯一确定。若未知α范围，可根据终边象限讨论，并相应求出三角比。1、同角三角比八个基本关系式一般的，如果已知角α三角比，证明三角恒等式时，如果式中含有正

余切割，同时又含有正余弦，一般化

弦，若仅含切割则不必了。证明三角恒等式按由繁至简原则，或

左至右，右至左，或左右归一，总

之两端异化同。

证明三角恒等式时，如果式中含有正

余切割，同时又含2、两角和与差的余弦、正弦本节从证明两角差的余弦公式出发，通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。2、两角和与差的余弦、正弦本节从证明两角差的余弦公式出发由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或“－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”。2、两角和与差的余弦、正弦由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌对于aSinα±bCosα这样的式子，总

可以化为一个角的三角比形式。

2、两角和与差的余弦、正弦即aSinα±bCosα=a2+b2Sin(α+φ)。其中φ由

ab

Cosφ=Sinφ=

a2+b2a2+b2

0≤φ<2π来确定。对于aSinα±bCosα这样的式子，总

可以3、两角和与差的正切、余切两角和的正切公式：两角差的正切公式：这两式成立的条件是：正切符号“tg”后面的角α、β、α+β、αβ都不等于

tgα+tgβ

tg(α+β)=

1tgαtgβ

tgαtgβ

tg(αβ)=

1+tgαtgβ

π

kπ+(k∈Z)

2

3、两角和与差的正切、余切两角和的正切公式：两角差的4、二倍角公式正弦公式：Sin2α=2SinαCosα

余弦公式：

Cos2α=Cos2αSin2α

=2Cos2α1

=12Sin2α正切公式：

2tgα

tg2α=

1-tg2α

π1π

(α≠Kπ+且α≠Kπ+,K∈Z)

2244、二倍角公式正弦公式：Sin2α=2SinαCosα运用公式变形：

在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。4、二倍角公式运用公式变形：

在解题过程中运用以上公式的变例如：tgα+tgβ=tg(α+β).(1tgαtgβ)tgαtgβ=tg(αβ).(1+tgαtgβ)

Sin2α

Sinα=

2Cosα

Sin2α

Cosα=

2SinαCos2αSin2α=1

1+Cos2α

Cos2α=

2

1Cos2α

Sin2α=

2例如：tgα+tgβ=tg(α+β).(1tgαtgβ4、二倍角公式

从本质上理解二倍角公式的含义。

2α是α的二倍，α是α/2的二倍，

4α是2α的二倍，等等。

有的特殊关系式也要记住：

1tgαπ

=tgπ

1+tgα41+tgαπ

=tg+π

1tgα44、二倍角公式从本质上理解二倍角公式的含义。

25、半角公式

α1Cosα

Sin=

22±

α1+Cosα

Cos=

22±

α1Cosα

tg=

21+Cosα±5、半角公式α1Cosα5、半角公式变形公式：

αSinα1Cosα

tg==

21+CosαSinα5、半角公式变形公式：αSinα二、例题分析例1：已知α大于零度小于180度，且

1

Sinα+Cosα=，求Sinα和

5Cosα的值。二、例题分析例1：已知α大于零度小于180度，且例1：已知α大于零度小于180度，且

1

Sinα+Cosα=，求Sinα和

5Cosα的值。分析：若求出sinαcosα值，

1

Sinα+Cosα=联立，

5可以求出Sinα和Cosα的值。将之与例1：已知α大于零度小于180度，且例1：已知α大于零度小于180度，且

1

Sinα+Cosα=，求Sinα和

5Cosα的值。解：

1

Sinα+Cosα=代入

5把(Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα得

12

SinαCosα=

25∵0º

<α<180º，且

12

SinαCosα=<0

25∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0知：SinαCosα>0例1：已知α大于零度小于180度，且而(SinαCosα)2=12SinαCosα

12

25

49

25=1∴SinαCosα=

7

5联立：SinαCosα=

7

5Sinα+Cosα=

1

3得：Cosα=

3

5Sinα=

4

5×2=而(SinαCosα)2=12SinαCosα注意：对于任意角α，总有(Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα(SinαCosα)2=12SinαCosα这两个等式联系着

Sinα和Cosα，

Sinα+Cosα，

SinαCosα，

SinαCosα关系。

注意：对于任意角α，总有(Sinα+Cosα)2=1+本例解法多种：可以利用Sin2α+Cos2α=1Sinα+Cosα=

1

5求Sinα由于0º<α<180º可知Sinα=

4

5又如：Sinα+Cosα=

1

5

12

SinαCosα=

25得：

112

x2x=0则Sinα和Cosα是方程的解。

525本例解法多种：可以利用Sin2α+Cos2α=1Sinα由本题可得启示：Sinα+Cosα值小于1时，

α不在第一象限。

Sinα+Cosα>0时，

α不在第三象限。由本题可得启示：Sinα+Cosα值小于1时，

例2：已知tgα=3，

求Sin2α+SinαCosα+2Cos2α的值。例2：已知tgα=3，

求Sin2α+例2：已知tgα=3，

求Sin2α+SinαCosα+2Cos2α的值。分析：由已知条件tgα=3，

如果将已知式子变为只含式子，

就可以求得所需值。

例2：已知tgα=3，

求Sin2α+例2：已知tgα=3，

求Sin2α+SinαCosα+2Cos2α的值。解：Sin2α+2Cos2α+SinαCosα

Sin2α+2Cos2α+SinαCosα

=

Sin2α+Cos2α

tg2α+2+tgα

=

tg2α+1

32+3+2

=

32+1

7

5=例2：已知tgα=3，

求Sin2α+注：此题注意了

Sin2α+Cos2α=1的主动灵活应用，三角函数中1的作用是灵活巧妙的。

如：Sin4α+Cos4α

=(Sin2α+Cos2α)22Sin2αCos2α

注：此题注意了

Sin2α+Cos2α=例3：求证：

(1+CtgαCscα)(1+tgα+Secα)=2

例3：求证：

(1+CtgαCs例3：求证：

(1+CtgαCscα)(1+tgα+Secα)=2

证:原式=

Cosα

1Sinα1

1+1++

SinαSinαCosαCosα

Sinα+Cosα1Cosα+Sinα+1

=.

SinαCosα

2SinαCosα

==2

CosαSinα例3：求证：

(1+CtgαCs例3：求证：

(1+CtgαCscα)(1+tgα+Secα)=2

解：证

Cosα

1Sinα1

1+1++

SinαSinαCosαCosα

Sinα+Cosα1Cosα+Sinα+1

=.

SinαCosα

2SinαCosα

==2

CosαSinα注：此例题体现了化弦。

例3：求证：

(1+CtgαCs例4：(1)求Sin33ºSin12ºCos33ºCos12º

7π2ππ2π

(2)求SinCosSinSin