人教A版高中数学空间向量基本定理培训1课件

空间向量基本定理(1)空间向量基本定理(1)1

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这2问题1空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？问题1空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表3追问2

两个不共线的向量还够用吗？

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

p＝xa＋yb．至少需要三个向量．追问1

为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？追问2两个不共线的向量还够用吗？如果两个向量a，b4

三个向量共面

三个向量不共面abc追问3

任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？？三个向量共面三个向量不共面abc追问3任给三个向量都5pijkPQOαpijkPQOα6xipijkPQOyjzkα我们称

xi，yj，zk分别为向量

p在

i，j，k上的分向量．xipijkPQOyjzkα我们称xi，yj，zk分别为7xipijkPQOyjzk我们称

xi，yj，zk分别为向量

p在

i，j，k上的分向量．αxipijkPQOyjzk我们称xi，yj，zk分别为向8追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？追问4如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们9abcpabcp10a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．a＝λ1e1＋λ2e2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．a＝λ1e1＋λ2e2．a＝λ1e1＋λ2e2．a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使p＝xa＋yb＋zc．p＝xa＋yb＋zc．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得abcOPαpacbBCAQa＝λ1e1＋λ2e2．abcOPαpacbBCAQ11QαabcOPpacbBCAQαabcOPpacbBCA12OQPpacbBCAαabcOQPpacbBCAαabc13xaOQPpacbybzcBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabc14xaOQPpacbybzcBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabc15问题2你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？问题2你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定16

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于17

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三个向量

a，b，c不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于18

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三个向量

a，b，c不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于19

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量20

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于21

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量22

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量23

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量24

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量25

那么，所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．空间向量基本定理

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．那么，所有空间向量组成的集合就是空间向量基本定26

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors)．问题3空间的基底有多少个，需要满足什么条件？答：任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．空间的基底有无穷多个．

{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面．我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(bas27

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．ijkO特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两28aijkPQO由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．aijkPQO由空间向量基本定理可知，对空间29问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？问题430空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不31空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{e1，e2}空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不32空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{a，b，c}{e1，e2}空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不33空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{a，b，c}{e1，e2}二维空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不34空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{a，b，c}{e1，e2}二维三维空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不35空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．{a，b，c}{e1，e2}二维三维一维空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不36空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．{a，b，c}{e1，e2}二维三维一维{a}空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不37空间向量基本定理平面向量基本定理向量共线充要条件如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.{a，b，c}{e1，e2}二维三维一维{a}空间向量基本定理平面向量基本定理向量共线充要条件如果三个向量38给我一个支点，我可以撬起地球．——阿基米德给我一个支点，我可以撬起地球．39给我一个基底，我还你一个空间！给我一个基底，我还你一个空间！401.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C的中心，且(1){a，b，c}是否构成空间的一个基底？(2)如果{a，b，c}构成空间的一个基底，

那么用它表示下列向量：课后作业2.已知四面体

OABC，M，N分别是边

OA，BC的中点，且

，用a，b，c表示向量

1.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是41空间向量基本定理(1)空间向量基本定理(1)42

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这43问题1空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？问题1空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表44追问2

两个不共线的向量还够用吗？

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

p＝xa＋yb．至少需要三个向量．追问1

为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？追问2两个不共线的向量还够用吗？如果两个向量a，b45

三个向量共面

三个向量不共面abc追问3

任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？？三个向量共面三个向量不共面abc追问3任给三个向量都46pijkPQOαpijkPQOα47xipijkPQOyjzkα我们称

xi，yj，zk分别为向量

p在

i，j，k上的分向量．xipijkPQOyjzkα我们称xi，yj，zk分别为48xipijkPQOyjzk我们称

xi，yj，zk分别为向量

p在

i，j，k上的分向量．αxipijkPQOyjzk我们称xi，yj，zk分别为向49追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？追问4如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们50abcpabcp51a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．a＝λ1e1＋λ2e2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．a＝λ1e1＋λ2e2．a＝λ1e1＋λ2e2．a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使p＝xa＋yb＋zc．p＝xa＋yb＋zc．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得abcOPαpacbBCAQa＝λ1e1＋λ2e2．abcOPαpacbBCAQ52QαabcOPpacbBCAQαabcOPpacbBCA53OQPpacbBCAαabcOQPpacbBCAαabc54xaOQPpacbybzcBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabc55xaOQPpacbybzcBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabc56问题2你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？问题2你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定57

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于58

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三个向量

a，b，c不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于59

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三个向量

a，b，c不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于60

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量61

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，空间向量基本定理平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于62

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量63

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量64

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量65

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．空间向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量66

那么，所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．空间向量基本定理

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．那么，所有空间向量组成的集合就是空间向量基本定67

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors)．问题3空间的基底有多少个，需要满足什么条件？答：任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．空间的基底有无穷多个．

{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面．我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(bas68

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．ijkO特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两69aijkPQO由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．aijkPQO由空间向量基本定理可知，对空间70问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？问题471空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不72空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{e1，e2}空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不73空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{a，b，c}{e1，e2}空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不74空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．问题4

平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？{a，b，c}{e1，e2}二维空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不75空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么