【课件】微分几何

微分几何主讲人：周小辉微分几何主讲人：周小辉第一章曲线论1、向量函数向量函数的极限、连续、微商、积分2、曲线的概念

曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。3、空间曲线

3、1空间曲线的密切平面

3、2空间曲线的基本三棱形

3、3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式

3、4空间曲线在一点邻近的结构

3、5空间曲线的基本定理

3、6一般螺线

内容提要第一章曲线论1、向量函数内容提要回顾向量代数

一、向量的概念

1、向量的定义。2、向量的表示

3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）

4、向量的坐标。

二、向量的运算（几何意义）

1、加减法：

2、数乘：

3、内积：

4、外积：

回顾向量代数一、向量的概念二、向量的运算（几何意

5、混合积：

6、二重向量积：

7、Lagrange恒等式

8、模：方向余弦：

四、运算规律、几个充要条件

1、

2、

3、

三、几种运算的几何意义四、运算规律、几个充要条件三、几种运算的几何意义第一节向量函数

向量函数的概念：给出一点集G

，如果对于G中的每一个点，有一个确定的向量

和它对应，则说在G上给定了一个向量函数，记作例如设G是实数轴上一区间，则得一元向量函数设G是一平面域，，则得二元向量函数设G是空间一区域，，得三元向量函数

1、定义

设

是所给的一元函数，是常向量，如果对任给的，都存在数，使得当时,有成立，则说当时，向量函数趋向于极限，记作

1、1向量函数的极限第一节向量函数向量函数的概念：给出一点集2、向量函数的性质命题1如果和是两个一元函数，是一个实函数，并且当时，有

则有（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。（3）数量积的极限等于极限的数量积。（4）向量积的极限等于极限的向量积。2、向量函数的性质命题1如果和1、2向量函数的连续性

1、给出一元向量函数

，当tt0时，若向量函数,则称向量函数

在t0点是连续的。也有

2、如果

在闭区间[t1,t2]的每一点都连续，则称

在区间[t1,t2]上是连续的。

3、命题2

如果和是在点t0连续的向量函数，而是点t0连续的实函数，则向量函数和实数也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间[t,t0]时，命题也成立）。1、2向量函数的连续性1、给出一元向量函数

1、3向量函数的微商

1、设是定义在区间[t1,t2]上的向量函数，设，如果极限存在，则称在t0点是可微分的，这个极限称为在t0点的微商（或导矢）。记为

即如果在某个开区间的每一点都有微商存在，则说在此区间内是可微的或简称向量函数是可微的，它的微商记为1、3向量函数的微商1、设是定义2、命题3

设分别是可微的向量函数，是可微的实函数，则都是可微函数，并且

3、向量函数的微商仍为t的一个向量函数，如果函数也是连续和可微的，则的微商称为的二阶微商。类似可定义三阶、四阶微商。如2、命题3设5、任一向量函数与三个实函数一一对应，即有

证明将两边点乘得由于

是常向量，而是类的，所以x(t)是类函数同理，是类函数。

命题4

如果向量函数在上是类函数，则向量函数所对的三个实函数在上是类函数。

4、在区间[t1,t2]上有直到k

阶连续微商的函数称为这区间上的k次可微函数或类函数，连续函数也称为类函数，无限可微的函数记为类函数。解析函数记为类函数。5、任一向量函数与三个实函数1、4向量函数的泰勒公式2、当时，我们可以把它展成泰勒级数

3、如果，则上述泰勒级数是收敛的。1、定理

设向量函数在上是类函数，则有泰勒展开式其中时1、4向量函数的泰勒公式2、当

证明证明1、5向量函数的积分

1、定义

如果向量函数是可积的，则有

2、命题5

如果向量函数是区间[a,b]上的连续函数，则积分存在，并且（1）当a<c<b时有（2）m是常数时有（3）如果是常向量，则有（4）1、5向量函数的积分1、定义2、命题5如

3、命题6

(1)向量函数具有固定长的充要条件是对于t

的每一个值，都与垂直。

(2）有固定方向的充要条件是（3）平行于固定平面的充要条件是

证明

因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在[a,b]上可积，由它对应的向量函数也可积，且有3、命题6(1)向量函数具有固定长

4、旋转速度：定义为向量函数对于变量t

的旋转速度。

命题7

单位向量函数对于t的旋转速度等于其微商的模

证明

如图所以4、旋转速度：定义命题7单位向量函数

第二节曲线的概念

2、1曲线的概念2、曲线

一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射f（拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。

1、映射

给出两个集合E，，法则f，如果通过E中每个点（或元素）x，有中唯一的点与之对应，则说f为从E

到的映射，为象，x为原象。一一映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：中元素都有原象。双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。第二节曲线的概

3、曲线的参数方程

坐标式

例书中的开圆和圆柱螺线。向量式

例1、

开圆弧

例2、圆柱螺线或3、曲线的参数方程例书中的开圆和圆柱螺2、2光滑曲线曲线的正常点

1、光滑曲线

如果曲线的参数表示式中的函数是k

阶连续可微的函数，则把这曲线称为

类曲线。类的曲线又称为光滑曲线。2、正常点

曲线上满足一阶微商不为零的点叫曲线的正常点。即若t0为曲线的正常点，则由于所以中至少有一个不为零2、2光滑曲线曲线的正常点1、光滑曲线

例如圆柱螺线由于b不为0，由z=bt

得t=z/b，代入x=acost,y=asint

得

x=acos(z/b)

y=asin(z/b)。这是圆柱螺线的另一种表示法。3、正则曲线

若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线。

由中至少有一个不为零不妨设,则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在t0邻近有连续可微的反函数t=t(x),代入y=y(t),z=z(t)，即得这是曲线的另一种表示方法。例如圆柱螺线3、正则曲线由2、3曲线的切线和法面2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）设切线上任一点的径矢为则设则

3、例

求圆柱螺线上一点处的切线。1、切线

割线的极限

切向量2、3曲线的切线和法面2、切线的方程（设曲线上的点都4、法面

经过切点且垂直于

切线的平面。5、法面的方程

设是法面上任一点，则或

例题求圆柱螺线的法面方程4、法面经过切点且垂直于

切线的平2、4曲线的弧长自然参数

给出类曲线（C）：作分点Pi得折线，长为得弧长若用表a

到t

的弧长，则这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。

弧长公式为2、4曲线的弧长自然参数给出现在定义一新函数s(t)为：

s(t)=0,t=a,得而且s(t)是t

的单调增加函数（），它的反函数存在设为t=t(s)，代入曲线方程得到以s

为参数的曲线方程或x=x(s),y=y(s),z=z(s),s

称为自然参数。记对s(t)微分得

此外还有，因此为单位切向量。练习10

将圆柱螺线化为自然参数表示。现在定义一新函数s(t)为：此外还有

3、1空间曲线的密切平面1、定义

过空间曲线上P点的切线和P点邻近一点Q

可作一平面，当Q

点沿曲线趋于P时，平面的极限位置称为曲线在P点的密切平面。第三节空间曲线

对于类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面。3、1空间曲线的密切平面第三节空间曲2、密切平面的方程

给出类的曲线（C）：因为向量和都在平面上，所以它们的线性组合也在平面上。两边取极限得在极限平面上，即P

点的密切平面上，因此只要这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为

2、密切平面的方程因为向量和都用表示P

点的密切平面上任一点的向径，则上式表示为如果曲线用自然参数s表示，则将上式中的撇改成点。例题

求圆柱螺线上任一点的密切平面。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。用表示P1、给出类曲线得一单位向量，称为曲线（C）上P

点的单位切向量。（注意到）称为曲线在P

点的主法向量,它垂直于单位切向量。称为曲线在P点的副法向量。把两两正交的单位向量称为曲线在P

点的伏雷内（Frenet)标架。

3、2空间曲线的基本三棱形3、2空间曲线的基本三棱形2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。3、对于曲线（C）的一般参数表示有4、例题

P34密切平面从切平面法平面密切平面：法平面：从切平面：2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、3、3空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。

设空间曲线（C）为的，且以s为参数。

1、曲率

定义（C）在P为的曲率为有

（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）3、3空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式2、曲率的几何意3、挠率

与曲率类似有

定义

曲线（C）在P点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。3、挠率与曲率类似有定义曲线（4、由定义可得又于是有这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系数组成一反称方阵4、由定义可得5、曲率和挠率的一般参数表示式给出类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式5、曲率和挠率的一般参数表示式给出类的曲线（C

由可得挠率公式为由可得挠率公式为6、密切圆（曲率圆）

过曲线（C）上一点P

的主法线的正侧取线段PC，使PC

的长为1/k。以C

为圆心，以1/k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线在P点的密切圆或曲率圆，圆的中心叫曲率中心，圆的半径叫曲率半径。6、密切圆（曲率圆）过曲线（C）上一点P的主7、几个例题例1圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。例2曲率恒为零的曲线是直线。例3挠率恒为零的曲线是平面曲线。例4求曲率为4，挠率为5的曲线方程。解

由题意，可设曲线为园柱螺线因此得所求园柱螺线为7、几个例题解由题意，可设曲线为园柱螺线3、4空间曲线在邻近一点的结构给定类曲线及其上一点有

取为新坐标系，并取为计算弧长的始点，则有。设为曲线上点的邻近点的新坐标，则有3、4空间曲线在邻近一点的结构给定类曲线近似曲线在三个平面上的投影分别为近似曲线在三个平面上的投影分别为

通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状：1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义。3、挠率的符号对曲线的影响见表。

通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间3、5空间曲线论的基本定理

曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把称为空间曲线的自然方程。空间曲线论基本定理

给出闭区间[s0,s1]上的两个连续函数,则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数s是曲线的自然参数，并且和分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为3、5空间曲线论的基本定理曲线上每一点3、6一般螺线1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。

2、性质：（1）主法线与一个固定方向垂直。

（2）、副法线与一个固定方向作固定角。

证明：设是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固定角，有微商3、6一般螺线1、定义：切线和固定方向作固定角的

（3）曲率与挠率之比为一个常数。

可以证明，上面的结论也是充分的。

3、一般螺线的一种标准方程设柱面的母线平行于z轴，则可令再设一般螺线的方程为

若令z=0,s=0,则于是一般螺线的方程为（3）曲率与挠率之比为一个常数。可以证明，上面广义螺线若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为椭圆中常数,

<的常数,

为自转速率.则该轨线为椭圆螺线.

广义螺线若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为椭圆中常数,<若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为双曲线中常数,

<的常数,

为自转速率.则该轨线为双曲螺线.

若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为双曲线中常数,<的常数若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为抛物线中常数,

为自转速率.则该轨线为抛物螺线.

若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为抛物线中常数,为自转速第二章曲面论

内容提要1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅

公式、曲面上向量的平行移动）7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）第二章曲面论内容提要1、曲面的概念（简单曲面、光第一节曲面的概念

1、1简单曲面及其参数表示

一、初等区域

平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等区域。约当曲线的内部称为初等区域。如矩形的内部、圆的内部等。

如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓扑映射），则把三维空间中的象称为简单曲面。

今后我们所用的都是简单曲面或曲面。如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的圆柱面。如果它是橡皮膜，还可变成圆环面。二、简单曲面第一节曲面的概念1、1简单曲面及其参数表示【课件】微分几何三、曲面的方程

初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓扑象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有

x=f1(u,v),y=f2(u,v),z=f3(u,v),(u,v)∈G称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈G例：圆柱面；球面；旋转面。四、坐标曲线；曲纹坐标网。

曲面上一点P的直角坐标为（x,y,z），它的曲纹坐标为（u,v）。现在取v=常数而u

变化时的曲线叫u-曲线(u线）u=常数而v

变化时的曲线叫v-曲线（v线）面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一点P

，两族曲线中各有一条经过它。三、曲面的方程初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)其中为相应抛物线中常数,

向量函数形式：

抛物螺面抛物螺线其中为相应抛物线中常数,

向量函数形式：

其中为相应抛物线中常数,向量函数形式：抛物螺面抛物螺线其1、2光滑曲面、曲面的切平面和法线

一、光滑曲面、正常点、正规坐标网

1、若曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)或r=r(u,v)中的函数有直到k

阶的连续微商，则称为k

阶正则曲面或

类曲面。类的曲面又称为光滑曲面。

2、过曲面上一点(u0,v0)有一条u--曲线：r=r(u,v0)

和一条v—曲线：r=r(u0,v),该点处这两条坐标曲线的切向量为如果它们不平行，即ru×rv在该点不为零，则称该点为曲面的正常点。1、2光滑曲面、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正3、正规坐标网

由ru，rv的连续性，若ru×rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有ru×rv不为零，于是在这片曲面上，有一族u线和一族v线，它们不相切，构成一正规坐标网。4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示，

即有z=z(x,y),

事实上，由3，ru×rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有ru×rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，即

由隐函数定理，x=x(u,v),y=y(u,v)在U中存在唯一的单值连续可微函数u=u(x,y),v=v(

x,y),代入得z=z[u(x,y),v(x,y)]=z(x,y)。3、正规坐标网4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的二、曲面的切平面

设曲面曲线为(c)：

u=u(t),v=v(t),

或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，这条曲线在曲面上(u0,v0)处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向，它平行于其中分别是在(u0,v0)点处的两条坐标曲线的切向量。以下切方向几种表示通用：du:dv,(d)和。1、切平面的定义二、曲面的切平面设曲面曲线为(c)：1、切

可以看出，切向量与共面，但过(u0,v0)点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有

命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面。可以看出，切向量与3、切平面的方程

设面上一点为P0(u0,v0)，R(X,Y,Z)为平面上任一点，则有

或写成坐标表示式

如果用显函数z=z(x,y)表示曲面时，有

3、切平面的方程设面上一点为P0(u0,三、法方向与法线

1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。

由定义，曲面的法方向为单位法向量为

2、法线的方程设曲面上任一点r(u,v)的径矢为R(u,v)

则法线的方程为用坐标表示为若用z=z(x,y)表示曲面，则有三、法方向与法线1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方四、参数变换

如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标：则得到曲面关于新曲纹坐标的方程对求导：因此（1），则两个法向量平行。（2），所有参数法向量的正向保持不变，称这个方向为曲面的正向。（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。四、参数变换如果曲纹坐标(u,v)变为新1、3曲面上的曲线簇和曲线网

设光滑曲面上的曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),

或者r=r[u(t),v(t)]=r(t),消去t

，可得曲面上曲线的方程为1、一阶线性微分方程

表示曲面上的一簇曲线——曲线簇，设则有解之得特别当A=0

或B=0

时，有du=0

或dv=0此时为坐标曲线u=c

或v=c

。1、3曲面上的曲线簇和曲线网设光滑曲2、二阶微分方程

则表示曲面上的两簇曲线——曲线网。

设分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面上的曲线网。特别有它们表示坐标曲线。2、二阶微分方程则表示曲面上的两簇曲线——曲线网。第二节曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长

1、给出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲线(c)：u=u(t),v=v(t),

或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，若s表示弧长有所以称为曲面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。第二节曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式2、曲线(C)上两点A(t0),B(t1)间的弧长为：3、用显函数z=z(x,y)表示的曲面的第一基本形式4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从直接得到。2、曲线(C)上两点A(t0),B(t1)间的例2：正螺面例题1：求球面的第一基本形式例2：正螺面例题1：求球面的第一基本形式2、2曲面上两方向的交角

1、把两个向量和间的交角称为方向（）和（）间的角。2、设两方向的夹角为，则3、特别（1）（2）对于坐标曲线的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为F=0。2、2曲面上两方向的交角1、把两个向量2、3正交曲线簇和正交轨线

设有两曲线如果它们正交，则或即

若另给出一簇曲线则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程是即2、3正交曲线簇和正交轨线设有两曲线2、4曲面域的面积

如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为其中D

为相对应的u,v

平面上的区域，定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角，曲面域的面积。2、4曲面域的面积如图,用坐标曲线把曲面分成若干小2、5等距变换

1)曲面S

到S1的变换给定两曲面：S：S1：如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：，其中连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面S

到S1的变换。

由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。2、5等距变换1)曲面S到S1的变换由定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。

由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质(内蕴性质)在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量。定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取例正螺面悬链面令则它是正螺面与悬链面的等距变换。例正螺面悬链面令则它是正螺面与悬链面的等距变换。2、6保角变换（共形变换）

1）定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）

2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例。

特别：等距变换是它的特例。2、6保角变换（共形变换）1）定义：两曲面之间的一例球极投影球面平面例球极投影球面平面第三节曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点P邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用P点邻近的点Q

到P点的切平面的垂直距离来表示，这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状。第三节曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式Ⅱ

它称为曲面的第二基本形式,它的L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负。二、曲面的第二基本形式Ⅱ它称为曲面的第二基本形式,它的L、M、N系数三、第二类基本量的计算1、2、对进行微分得Ⅱ三、第二类基本量的计算1、2、对3、对于显函数z=z(x,y)表示的曲面有Ⅱ例题1、23、对于显函数z=z(x,y)表示的曲面有3、2曲面上曲线的曲率

曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。一、法截面与法截线1、给定类的曲面S：（c）：u=u(s),v=v(s)或是曲面上过P的一曲线，曲线在P

的切向量与主法向量为则设P点的法向量与主法向量的夹角为，则3、2曲面上曲线的曲率曲面在已知点邻近的弯曲所以Ⅱ但2、定义：给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dv

，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P

点沿方向(d)法截线。Ⅱ所以Ⅱ但2、定义：给出曲面上一点P及P点的一切方向du:二、法曲率

设方向（d）所确定的法截线为(c0)，它在P点的曲率为k0，对于(c0)，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量为s在P点的法向量或它的反向量，即，所以由公式（1）得ⅡⅡ

其中和的方向相同时取正号，此时（c0）往的正侧弯曲，

…………取负号，……反向弯曲。二、法曲率设方向（d）所确定的法截线为(c0)，

定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为Ⅱ

注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以

设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于P点，则它们有相同的切方向（d）=du:dv，则（1）和（3）得

利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为Ⅱ注意：设给定点为P，三、梅尼埃定理

设R=1/k，即R为曲线（c)的曲率半径，

Rn

=1/kn

，称R为曲线（c0)的曲率半径，也称为法曲率半径。则公式，可写为梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。四、一个例，球面。

由于R在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上，

Rn在（C0）……，（C0）……故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法曲率中心C0，因此几何意义可叙述成：三、梅尼埃定理设R=1/k，即R为曲线（c3.3杜邦指标线一、杜邦指标线取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为构成了曲面在P点的切平面上的一个坐标系。在切平面上给定方向（d），即使得，则对于切平面上所有方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。3.3杜邦指标线一、杜邦指标线二、杜邦指标线的方程

取（d）上的单位向量为，设N点在前面的坐标系下的坐标为(x,y),则二、杜邦指标线的方程取（d）上的单位向量为三、曲面上的点的分类

按曲面上的点的杜邦指标线进行分类

1）若，则点P称为曲面的椭圆点，这时杜邦指标线是一椭圆。

2）若，则点P称为曲面的双曲点，杜邦指标线为一对共轭的双曲线。

3）若，则称P为曲面的抛物点，杜邦指标线为一对平行直线。

4）若，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线不存在。

例：平面上的点为平点。因为平面方程为它的二阶微商全为零，因此第二类基本量全为零。三、曲面上的点的分类按曲面上的点的杜邦指标线进行分3、4曲面上的渐近方向与共轭方向一、曲面的渐近方向与渐近线1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。

设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这两个方向满足方程也就是使得法曲率为零的方向。2、渐近曲线曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是3、4曲面上的渐近方向与共轭方向一、曲面的渐近方向与渐近命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面。3、性质命题1：如果曲面上有直线，则一定是曲面的渐近曲线。由法曲率公式即证：证明：沿渐近曲线有若k=0，则为直线，这时曲面的切平面通过它，因此切平面又是密切平面；若，则曲面的法向量垂直于渐近曲线的主法向量，因此曲面的切平面通过渐近曲线的切线外，还通过渐近曲线的主法向量，所以它又是渐近曲线的密切平面。命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的4、渐近网1）如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族曲线称为曲面上的渐近网。2）定理：曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=N=0。证明：必要性：若曲纹网是渐近网，则du=0或dv=0应满足渐近曲线的微分方程代入得L=N=0。充分性：若L=N=0,又du=0或dv=0,代入必有即曲纹网是渐近网。4、渐近网1）如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近二、共轭方向1、定义：设曲面上P点处的两个方向分别为如果包含这两个方向的直线是P点的杜邦指标线的共轭直径，则这两个方向称为曲面的共轭方向。2、共轭条件：由解析几何学知，两方向共轭的充要条件是现杜邦标线为因此共轭充要条件为所以两方向共轭也可写为

特别当时，条件就为为渐近方向，故渐近方向为自共轭方向。但二、共轭方向1、定义：设曲面上P点处的两个方向分别为2、共轭3、共轭网1）给出曲面上的两族曲线，如果通过它上面每点，曲线族中的两条曲线的切方向都是共轭方向，则这两族曲线称为曲面上的共轭网。2）共轭网满足的条件：设共轭网中两族曲线的方向分别为，则这两个方向应满足

(1)

设一族曲线的微分方程为Adu+Bdv=0(2)

联立（1）（2）为关于du,dv的齐次方程组，它有非零解的充要条件是为与曲线族（2）共轭的曲线的微分方程。3、共轭网1）给出曲面上的两族曲线，如果通过它上面每点，曲线

命题4：曲面的曲纹网为共轭网的充要条件是M=0。

特别地，取（2）为坐标曲线dv=0，即u

线，则它的共轭曲线族为如果这族曲线为v线（）则M=0。因此得到3、5曲面的主方向和曲率线一、主方向

1、定义：曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在P点的主方向。命题4：曲面的曲纹网为共轭网的充要条件是M=0。2、主方向满足的条件（1）设两个主方向为（d）（）两式联立并消去得这就是主方向所满足的条件，也可写成展开得2、主方向满足的条件两式联立并消去得3、主方向的个数主方向的个数由它的判别式确定：1）判别式大于零，方程有两个不同实根，即有两个不同的主方向；2）没有判别式小于零的情况。3）当且仅当EN–GL=EM–FL=0时判别式等于零。此时有E/L=F/M=G/N,则这种点称为曲面上的脐点。结论：1）非脐点总有两个不同的主方向，它们是杜邦指标线的主轴方向。2）在脐点，前面的行列式为恒等式，即对于任何方向行列式为零，因此在脐点的每个方向都是主方向。3）L=M=N=0的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点。

3、主方向的个数主方向的个数由它的判别式确定：

设(d)是主方向，是与(d)垂直的另一主方向，由得利用正交和共轭得于是有，两边点积即：-Ⅱ=，所以反之，设，是与(d)垂直的另一方向，设(d)是主方向，是若方向（d）是主方向，

则，其中是曲面沿方向(d)的法曲率；反之，如果对于方向(d)有，则(d)是主方向，且是沿方向(d)的法曲率。二、主方向判别定理（Rodrigues定理）：若方向（d）是主方向，则三、曲率线与曲率线网1、定义：曲面上一曲线，如果它上面的切方向都是主方向，则称为曲率线。2、曲率线的微分方程是3、曲率线网曲率线的微分方程为二次方程式，所以它确定了曲面上的两族曲率线（每一点都有两条），这两族曲率线构成的网称为曲面上的曲率线网。注意：这个方程既是主方向的条件，也是曲率线的微分方程，前者是对曲线上一点而言，后者是对整条曲线而言。三、曲率线与曲率线网1、定义：曲面上一曲线，如果它上面的切方4、曲纹网为曲率线网的条件命题5：曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0。曲面上的每一点，两个方向互相垂直，所以曲率线彼此不相切，行列式引进为新参数，则线为新的曲纹坐标，这样就使曲面上的曲率线网成了曲纹坐标网。这个证明还说明曲面上的任何一个正规网都可以为曲纹坐标网。4、曲纹网为曲率线网的条件命题5：曲面上的曲纹坐标网是曲率线3、6曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率一、主曲率定义：曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率，也就是沿曲率线方向的法曲率.

由定义，主方向判别定理可写为：对于曲率线有为主曲率，反之也成立。或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是是主曲率。

二、欧拉公式

1、在曲面S上选取曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0，这时对于曲面上任一方向(d)，它的法曲率公式变为特别沿u-线的主曲率为，v-线的为Ⅱ3、6曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率一、主2、设为任意方向(d)和u-线方向之间的夹角，则这个公式称为欧拉公式（Euler)2、设为任意方向(d)和u-线方向之间的夹角，则这3、两点说明

1）欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向(d)的法曲率就可以用(d)和u-线的夹角确定。

2）欧拉公式是在脐点成立，但在脐点也成立，此时E/L=G/N

即任意方向的法曲率都相等。

3、两点说明2）欧拉公式是在脐点成立，但在脐点也成立，此时三、主曲率的一个命题

曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。证明：在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k1<k2，由欧拉公式同理有即即主曲率是这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。三、主曲率的一个命题曲面上的一点（非脐点）的主曲率四、主曲率的一个计算公式

由主方向判别定理，沿主方向(d)有则两边分别与ru，rv作内积即-Ldu-Mdv=-kN（Edu+Fdv）

-Mdu-Ndv=-kN（Fdu+Gdv）整理得到关于du,dv的齐次方程，它有解的充要条件是

这就是主曲率的计算公式。也可用二次方程表示。四、主曲率的一个计算公式由主方向判别定理，沿主方向(五、高斯曲率和平均曲率

1、设k1,k2为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k1k2称为曲面在这点的高斯曲率（全曲率，总曲率），记为K，即K=k1k2。而k1,k2的平均数称为曲面在这点的平均曲率（中曲率），用H表示，即H=1/2（k1+k2)。由韦达定理知2)若曲面用z=z(x,y)表示则3）例题6。五、高斯曲率和平均曲率1、设k1,k2为曲面上一点的两六、极小曲面1、极小曲面

1)Plateau问题，1866年提出。

2）平均曲率为零的曲面。第六节。2、研究状况

1）寻找极小曲面

1774年欧拉找出悬链面，1860年Bonnet证明了它是旋转面中唯一的极小曲面。

1776年Meusniner,正螺面。1842年，Catala证明了它是直纹面中仅有的极小曲面。

1834年，Scherk,z=log(cosy)-log(cosx)，他证明了它是平移曲面中唯一的极小曲面。六、极小曲面1、极小曲面2、研究状况

2）系统研究的黄金时代

1855-1890，提出、寻找。

1930-1940，解决Plateau问题。方兴未艾，极小子流形。

把计算机用于极小曲面论中（整体的），可以得到无数个极小曲面。经典结论：有限型的极小曲面有三种：平面、正螺面、悬链面。

3）求出极小曲面是的曲面的一种：悬链面。例7。2）系统研究的黄金时代把计算机用于极小曲面论中（整3、7曲面在一点邻近的结构

一、椭圆点：，适当选择曲面的法向量可使主曲率全大于零，由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为所以这里得到它的近似方程为，，它们都是抛物线，所以曲面在椭圆点邻近的形状近地等于椭圆抛物面。二、双曲点

因此对应于主方向k1（k2）的法截线朝法向量的反（正）侧弯曲，它们在两个主方向的近似形状为：因此曲面在双曲点的邻近的形状近似于双曲抛物面。3、7曲面在一点邻近的结构一、椭圆点：

三、抛物点

对于(1)，设k1<0，k2=0，对应于主曲率的两条法截线中有一条朝法向量的反向弯曲，另一个主方向是渐近方向，其中前一个是朝法向量的反向弯曲的抛物线，后一个为立方抛物线。P109图。

对于平点来说L=M=N=0，因此这时主方向上的两条法截线的形状都近似于立方抛物线：三、抛物点对于(1)，设k1<0，k2=0，3、8高斯曲率的几何意义

一、高斯映射(球面表示）

1、定义2、在高斯映射下。平面的球面像是一个点，圆柱面的球面像是一个大圆，抛物面的球面像则是一个区域。3、高斯映射的表示：3、8高斯曲率的几何意义一、高斯映射(球面表示）2、二、曲面的第三基本形式1、定义：把的长度平方称为曲面的第三基本形式，记为

Ⅲ=实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式。这里e,f,g叫做曲面的第三类基本量二、曲面的第三基本形式1、定义：把的长度平方2、第一、二、三基本形式的关系定理：曲面的三个基本量之间存在关系Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0。证明：取曲率线网为坐标网，则有此时坐标为曲率线，故ru，rv

为主方向，对应的主曲率分别为k1，k2，由主方向判别定理，因此得ⅡⅢ同时代入Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0Ⅱ2、第一、二、三基本形式的关系证明：取曲率线网为坐标网，则有三、高斯曲率的几何意义

1、命题7：曲面上P

点邻近的区域在单位球面上的表示为则有证明：其中积分区域为曲纹坐标u,v

的变化区域，而u,v

同时为这两个积分中的变数。由于分别是曲面和球面的法向量，而曲面上的单位法向量为球面上一点的向径，同时出是球面上的法向量，因此它们平行，有由拉格朗日恒等式得到三、高斯曲率的几何意义1、命题7：曲面上P点邻近的区域所以应用二重积分的中值定理，有其中KQ表示高斯曲率在区域中某一内点Q的值。由此得到

高斯曲率的几何意义是其绝对值为单位球面上的区域的面积与曲面上的对应区域的面积之比，当趋于P

时的极限。

2、高斯曲率的符号的几何意义：由所以当K>0时，两法向量同向，当K<0时，两法向量反向。所以应用二重积分的中值定理，有高斯曲率的几何意义是其第四节直纹面与可展曲面第四节直纹面与可展曲面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。

与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。2、直纹面的方程（1）设导线为，是过导线上一点处的直母线上的单位向量，则有：其中直纹面上一点P到导线上的点的距离为v。（2）坐标曲线v-曲线，为直母线；u-曲线，为与导线平行的曲线。4、1直纹面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。2

(3)几种特殊的直纹面

为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。为常向量，任意母线过一定点，为锥面。为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面

3、直纹面的法向量与高斯曲率

（1）由得

（2）当P点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下：

a)，法向量改变方向.

b)，法向量不改变方向，即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。(3)几种特殊的直纹面（3）高斯曲率

由因此对于情形a)有，K<0。

b)有，K=0。

另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线。（3）高斯曲率由因此对于情形a)有

4、腰曲线定义:如图M

为直母线l,的公垂线，当△u→0时垂足M沿直母线l趋向于极限位置M0，称为直母线l上的腰点。腰点的轨迹为腰曲线。它的表示为特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径就是，因此有，即它们垂直。4、腰曲线定义:如图M为直母线l,二、可展曲面1、定义：称满足的直纹面为可展曲面。由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面。因此对于情形a)有，K<0。

b)有，K=0。二、可展曲面1、定义：称满足

证明：对于可展曲面有，取腰曲线为导线，（1）当，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。方程为（2），由于，则三向量共面，且

（3）为常向量，所有直母线平行，为柱面。2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。证明：对于可展曲面有3、单