2019届一轮复习人教A版 二项式定理 学案

/10展开式第4项的二项式系数为Cg=20.展开式第4项的系数为Cg眛•—1)3=—160._3(3)展开式的第4项为T4=—160x2.规律方法］(1)二项式系数都是组合数Ck(k€{0,l,2…，n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分二项式系数”与二项式展开式中项的系数”这两个概念.(2第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ck.例如，在(1+2x)7的展开式中，第四项是T4=C317-3(2x)3,其二项式系数是C7=35,而第四项的系数是C323=280.［跟踪训练］n2已知\'x_x展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2求展开式中含X3的项，并指出该项的二项式系数.2n—6222解］(1)因为T3=C2UX)n-2_X=4Cnx,T2=Ci^X)n—1_x=_2C1n—3"I-x，依题意得4Cn+2Ci=162,所以2C2+Cn=81,所以n2=81,n=9.k日22(2)殳第k+1项含x3项，则Tk+]=C9(jx)9_k=(—2)kC$x，所以9—3k=3,k=1,=3,k=1,所以第二项为含x3的项:T2=—2C19x3=—18x3.29

二项式系数为C9=9.瞬貝求展开式中的特定项［探究问题］4如何求［x+弓展开式中的常数项.［提示］利用二项展开式的通项C4X4".£二C§x4_2k求解，令4-2k=0,则k4=2，所以卜+三展开式中的常数项为c4=¥二6.(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的？［提示］(a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.3•如何求［x+|j(2x+1)3展开式中含x的项？［提示］［x+Xj(2x+1)3展开式中含x的项是由x+f中的x与£分别与(2x+1)3展开式中常数项C3=1及x2项C322x2=12x2分别相乘再把积相加得x・C3+gc1(2x)2=x+12x=13x.即|x+x|(2x+1)3展开式中含x的项为13x.例已知在的展开式中，第例已知在的展开式中，第6项为常数项.⑴求n；求含x2项的系数；求展开式中所有的有理项.【导学号：95032075】［思路探究］写出通项匚+1-令r=5,x的指数为零f|(1)求出n值-1修正通项公式-1(2)求x2项的系数f|考察x指数为整数|分析求出k值—(3)写出有理项［解］通项公式为：n_r一-n_2rTOC\o"1-5"\h\zTr+1=Cnx3(—3)-x3=9(-3)-兀3.⑴•・•第6项为常数项，n-2rr=5时，有一3~=0,即n=10.10-2r1⑵令—=2，得-二2(1°-6)二2,・•・所求的系数为C2o(-3)2=405.flO-2r丁io2―§—「星、10-2r(3)由题意得，"ovcjo令3=k(kZ),j厂Z.则10-2r=3k,即r=5-|k.VreZ，：・k应为偶数，k=2,0,-2,即r=2,5,8,所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C10(-3)2x2,C50(-3)5,Cf0(-3)8x-2.即405x2，-61236,295245x-2.［规律方法］求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk=Ck-1an-k+1bk-1；kn求含Xk的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理项.2•求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项•解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.［跟踪训练］(1)在(1—X3)(l+x)10的展开式中，X5的系数是.6(2)若、x—¥弓展开式的常数项为60,则常数a的值为.(1)207(2)4［(1)x5应是(1+x)10中含X5项、含X2项分别与1,-x3相乘的结果，・•・其系数为C1o+C10(-1)二207.6⑵卜-当的展开式的通项是Tk+1二Cgx6-k・(—；a)kx-2k=C6X6-3k(—,'a)k，令6-3k=0，得k二2，即当k二2时，Tk+1为常数项，即常数项是C6a,根据已知得C2a=60，解得a=4.］［当堂达标固双基］1.(X—；'2)10展开式中X6项的二项式系数为()

A．－C140B．C140C．－4C140D．4C410B［含X6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C40.］（l+2x）5的展开式中，X2的系数等于（）【导学号：95032076】TOC\o"1-5"\h\zA.80B.40C.20D.l0B［（1+2x）5的展开式的通项为Tr+1二C5（2x）r二2rC5・xr,令r二2，得22XC5=4X10=40，故选B.］6在（2x2-^的展开式中，中间项是.-160x3［由n二6知中间一项是第4项，3因为T4二C3（2x2）3・（・二尙（・1）3・23・x3,所以T4=-160x3.]4.在14.在1x29£的展开式中，第4项的二项式系数是.，第4项的系数是2184—迈[2184—迈[Tk+]二C9（x2）9-k・C$・x18-3k，当k二3时，T4二2121-21x9，所以第4项的二项式系数为C3=84，项的系数为-21.］5求（x3+3g的展开式的第三项的系数和常数项.导学号：95032077】2（2、4440懈］T3二C2（x3）3（3xJ二c^gx5，所以第三项的系数为q©二

kk通项Tk+］二Ck（X3）5一5k，令15-5k=0，