2020高中数学 课时达标训练（十九）线性规划的实际应用（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE12学必求其心得，业必贵于专精课时达标训练（十九)线性规划的实际应用［即时达标对点练]题组1线性规划的实际应用问题1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于项目乙投资的eq\f(2，3)倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0。4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0。6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（)A．36万元B．31。2万元C．30。4万元D．24万元解析：选B设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f（2,3）y，,x≥5，，y≥5.)）目标函数z＝0。4x＋0。6y。作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0。4×24＋0.6×36＝31。2，所以选B。2．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元解析：选C设派用甲型卡车x（辆)，乙型卡车y（辆），获得的利润为u(元）,u＝450x＋350y，由题意,x，y满足关系式eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，，2x＋y≤19，，10x＋6y≥72，，0≤x≤8，，0≤y≤7，））作出相应的平面区域(略），u＝450x＋350y＝50(9x＋7y）在由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，，2x＋y≤19））确定的交点（7，5)处取得最大值4900元．3.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9g,咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g，咖啡5g，糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g,咖啡2000g，糖3000g．如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？解:经营咖啡馆者应想获得最大的利润，设配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，线性约束条件为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤3600，,4x＋5y≤2000，,3x＋10y≤3000，，x,y≥0，））利润z＝0.7x＋1.2y，x，y∈N,因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图．由图可知在点A处z取得最大值．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（4x＋5y＝2000,，3x＋10y＝3000，））可得A（200，240）．所以zmax＝0.7×200＋1。2×240＝428(元)．故配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获得最大利润．题组2实际应用中的最优整数解问题4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱(x，y∈N），根据题意，得约束条件eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＋y≤70，,10x＋6y≤480，,x≥0，y≥0,））画出可行域如图(阴影部分整数点)．目标函数z＝280x＋200y,即y＝－eq\f（7,5)x＋eq\f（z，200)，作直线y＝－eq\f（7，5)x平移，得最优解A（15，55)．所以当x＝15，y＝55时，z取最大值．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件,所需租赁费最少为________元．解析:设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x∈N,,y∈N。））目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域(图中阴影部分的整点），易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．答案：23006．物流行业最近几年得到迅猛发展,某货运公司最近接了一批货物，决定采用厢式货车托运甲、乙两种货物，已知某辆厢式货车所装托运货物的总体积不能超过40m3，总质量不能超过2000kg.货物每袋体积（单位:m3）每袋质量(单位：100kg每袋利润（单位：元)甲52300乙43400求该辆厢式货车各托运这两种货物多少袋时，可获得最大利润?解：设该辆厢式货车装甲、乙两种货物分别为x，y袋，则其利润为z＝300x＋400y，则由题意可得x,y所满足的条件如下:eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（5x＋4y≤40，，200x＋300y≤2000，，x，y∈N。））即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（5x＋4y≤40，，2x＋3y≤20,，x，y∈N。)）如图,作出可行域（阴影中(包括边界）的整数点)．作出目标函数对应的直线300x＋400y－z＝0，显然当直线过点B时，目标函数取得最大值．由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝40，，2x＋3y＝20，）)得交点B的坐标不是整数,又因为x，y∈N，所以B的坐标不是最优解，故目标函数在可行域内该点附近取最值．如图，将平面区域网格化，找出可行域内的整点,显然点B附近的整点为（4，4)，（5，3)，（6，2），(7，1）．目标函数在（4，4）点处的值z1＝300×4＋400×4＝2800;目标函数在（5,3）点处的值z2＝300×5＋400×3＝2700;目标函数在（6，2）点处的值z3＝300×6＋400×2＝2600；目标函数在（7，1）点处的值z4＝300×7＋400×1＝2500.显然z1最大．即运送甲种货物4袋，乙种货物4袋时，利润最大,最大利润为2800元．［能力提升综合练]1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位：kg)药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kgA．600元B．700元C．800元D．900元解析：选D设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(2x＋5y≤20，,5x＋4y≤33，，x∈N*,,y∈N＊))成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900。2．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元,6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是（)A．0.5元 B．1元C．4.4元 D．8元解析:选B设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x＋5y≥22，,6x＋3y≤24，，x，y≥0。)）不等式组表示的可行域如图中阴影部分．设1支水笔与1支铅笔的价格之差为z＝x－y，即y＝x－z，则直线经过点A(3，2)时，z取得最大值，为3－2＝1，所以1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是1元．故选B.3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析:选B设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意,得线性约束条件eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(20x＋10y≥100，，0≤x≤4，，0≤y≤8，，x,y∈N＊,））目标函数z＝400x＋300y,画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点（4,2）时，z取得最小值2200。4．某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（5x－11y≥－22,,2x＋3y≥9，,2x≤11，））则z＝10x＋10y的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－11y＝－22，，2x＝11,))解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝5.5，,y＝4。5，))但x∈N＊，y∈N*，结合图知当x＝5，y＝4时，zmax＝90。答案:905．铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab（万吨)c(百万元)A50%13B70％0.56某冶炼厂至少要生产1。9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________(百万元）．解析：设购买铁矿石A、B分别为x,y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0.7y≥1。9，,x＋0。5y≤2，，x≥0，,y≥0.))目标函数z＝3x＋6y.由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0。7y＝1.9，,x＋0。5y＝2,)）得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝1,，y＝2。)）记P（1，2）,画出可行域,如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P（1,2）时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：156．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0。3万元和0。2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟．(1）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;（2）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,并求出最大收益是多少？解：（1）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则x，y满足的数学关系式为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，，500x＋200y≤90000，，x≥0，,y≥0，))该不等式组等价于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y≤300，，5x＋2y≤900，,x≥0，,y≥0，）)作出其所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．（2）设公司的收益为z元，则目标函数为z＝3000x＋2000y，考虑z＝3000x＋2000y，将它变形为y＝－eq\f(3，2）x＋eq\f（1,2000）z.这是斜率为－eq\f（3,2），随z变化的一组平行直线,当截距eq\f（1,2000）z最大时,即z最大．又∵x,y满足约束条件,∴由图可知，当直