空间点线面之间的位置关系

河北衡水第二中学2016届高三数学一轮复习（实验）作业组编：审核：学号：姓名：日期： 认真细致分分必争空间点、线、面之间的位置关系限训1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为 ()A．1 B．2C．3 D．45、如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M6、已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交7.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A9、如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()10、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1A．30° B．45°C．60° D．90°11．以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．312．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面13．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 ()．A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°14.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()．A．45° B．60°C．90° D．120°15．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与18．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与19、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1(1)求证：AC⊥平面BDD1；(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．20、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．21．在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，这样的直线有几条，应该如何作图？空间点、线、面之间的位置关系答案1答案A解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．2答案C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．3答案D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．4答案B解析有2条：A1B和A1C15答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6答案D解析若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.7解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．答案B8答案C9．C[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．]10．C将直三棱柱ABC—A1B1C1由已知易知：该几何体为正方体．连接C1D，则C1D∥BA1.∴异面直线BA1与AC1所成的角为∠AC1D(或补角)，在等边△AC1D中，∠AC1D＝60°.11—14BDDB15答案(0，eq\r(3))解析如图所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝eq\r(3)，故AC的取值范围是0<AC<eq\r(3).16无数条17答案eq\f(2,3)解析取A1B1的中点F，连接EF，AF.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF∥B1C1，B1C1∥∴EF∥BC，∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角．设正方体的棱长为a，则AF＝eq\r(a2＋\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(5),2)a，EF＝a.∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，∴AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\f(3,2)a.∴cos∠AEF＝eq\f(EF,AE)＝eq\f(a,\f(3,2)a)＝eq\f(2,3).18答案90°解析如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN连接A1C1，AM则A1K＝eq\r(4\r(2)2＋32)＝eq\r(41)，MK＝eq\f(1,2)DN＝eq\f(1,2)eq\r(42＋22)＝eq\r(5)，A1M＝eq\r(42＋42＋22)＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.19．(1)证明由已知有D1D⊥平面ABCD得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形，得AC⊥BD，∵D1D与BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)(2)解延长DC至G，使CG＝EB，连接BG、D1G∵CG綊EB，∴四边形EBGC是平行四边形．∴BG∥EC.∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角．(6分)在△D1BG中，D1B＝2eq\r(3)，BG＝eq\r(5)，D1G＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).∴cos∠D1BG＝eq\f(D1B2＋BG2－D1G2,2D1B·BG)＝eq\f(12＋5－13,2×2\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值是eq\f(\r(15),15).(8分)(3)解连接A1B，∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝eq\r(5).又∵A1C＝2eq\r(3)，∴点E到A1C的距离d＝eq\r(5－3)＝eq\r(2).∴S△A1EC＝eq\f(1,2)A1C·d＝eq\r(6)，S△A1EB＝eq\f(1,2)EB·A1A＝1.(11分)又∵VB—A1EC＝VC—A1EB，设点B到平面A1EC的距离为h，∴eq\f(1,3)S△A1EC·h＝eq\f(1,3)S△A1EB·CB，∴eq\r(6)·h＝2，h＝eq\f(\r(6),3).∴点B到平面A1EC的距离为eq\f(\r(6),3).(14分)20解(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面积S＝2×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.[6分](2)取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．[8分]在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，由余弦定理得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)[10分]＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为eq\f(