2022年江苏省无锡市中考数学试卷

2022年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）1．（3分）的倒数是A． B． C． D．52．（3分）函数中自变量的取值范围是A． B． C． D．3．（3分）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，1154．（3分）分式方程的解是A． B． C． D．5．（3分）在中，，，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．6．（3分）雪花、风车展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形7．（3分）如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是A． B． C． D．8．（3分）下列命题中，是真命题的有①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④9．（3分）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为，、，则的面积是A．3 B． C． D．10．（3分）如图，在中，，，点在上，，则的值是A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。）11．（3分）分解因式：．12．（3分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程公里，稳居世界第一．这个数据用科学记数法可表示为．13．（3分）二元一次方程组的解为．14．（3分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与轴的负半轴、轴的正半轴相交：．15．（3分）请写出命题“如果，那么”的逆．16．（3分）如图，正方形的边长为8，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则．17．（3分）把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件：．18．（3分）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点．如图，若点在内，，则；现将绕点旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。）19．（8分）计算：（1）；（2）．20．（8分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．21．（10分）如图，在中，点为对角线的中点，过点且分别交、于点、，连接、．求证：（1）；（2）．22．（10分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是；（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表跳绳个数频数（摸底测试）19277217频数（最终测试）3659（1）表格中；（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？24．（10分）如图，为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为．25．（10分）如图，边长为6的等边三角形内接于，点为上的动点（点、除外），的延长线交于点，连接．（1）求证：；（2）当时，求的长．26．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？27．（10分）如图，已知四边形为矩形，，，点在上，，将沿翻折到，连接．（1）求的长；（2）求的值．28．（10分）已知二次函数图象的对称轴与轴交于点，图象与轴交于点，、为该二次函数图象上的两个动点（点在点的左侧），且．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点与点重合，求的值；（3）点是否存在其他的位置，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年江苏省无锡市中考数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）1．（3分）的倒数是A． B． C． D．5【分析】根据倒数的定义可知．解：的倒数是．故选：．2．（3分）函数中自变量的取值范围是A． B． C． D．【分析】因为当函数用二次根式表达时，被开方数为非负数，所以，可求的范围．解：，解得，故选：．3．（3分）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，115【分析】根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数．解：平均数，数据115出现了2次，次数最多，众数是115．故选：．4．（3分）分式方程的解是A． B． C． D．【分析】将分式方程转化为整式方程，求出的值，检验即可得出答案．解：，方程两边都乘得：，解得：，检验：当时，，是原方程的解．故选：．5．（3分）在中，，，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为求解．解：在中，，，，，由已知得，母线长，半径为4，圆锥的侧面积是．故选：．6．（3分）雪花、风车展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：．7．（3分）如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是A． B． C． D．【分析】根据切线的性质得到，证明，由此判断、选项；过点作于，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断选项；利用三角形外角性质求得的度数，从而判断选项．解：弦平分，，．．故选项不符合题意；，，，即，故选不符合题意；是的切线，．．故选项不符合题意；如图，过点作于，则四边形是矩形，．在直角中，．，．故选项符合题意．故选：．8．（3分）下列命题中，是真命题的有①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；④四边相等的四边形是菱形，正确．故选：．9．（3分）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为，、，则的面积是A．3 B． C． D．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，进而求出点、的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．解：点，在反比例函数上，，解得：，点的坐标为：，，点的坐标为，，故选：．10．（3分）如图，在中，，，点在上，，则的值是A． B． C． D．【分析】由等腰三角形的性质可求，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．解：如图，过点作于，设，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。）11．（3分）分解因式：．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．解：原式．故．12．（3分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程公里，稳居世界第一．这个数据用科学记数法可表示为．【分析】将较大的数写成科学记数法形式：，其中，为正整数即可．解：．故．13．（3分）二元一次方程组的解为．【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．解：，由②得：③，将③代入①得：，解得：，将代入③得：，原方程组的解为．故．14．（3分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与轴的负半轴、轴的正半轴相交：（答案不唯一）．【分析】设函数的解析式为，再根据一次函数的图象分别与轴的负半轴、轴的正半轴相交可知，，写出符合此条件的函数解析式即可．解：设一次函数的解析式为，一次函数的图象分别与轴的负半轴、轴的正半轴相交，，，符合条件的函数解析式可以为：（答案不唯一）．故（答案不唯一）．15．（3分）请写出命题“如果，那么”的逆如果，那么．【分析】交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”．故如果，那么．16．（3分）如图，正方形的边长为8，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则1．【分析】延长、交于，构造全等三角形；连接、，根据是的垂直平分线，可得，根据正方形的性质证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，可求得的值，进而求出的长．解：如图，延长、交于，连接、，是的垂直平分线，，四边形是正方形，，，是的中点，，，，，设，则，在和中，根据勾股定理，得，即，解得，．故答案是：1．17．（3分）把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件：．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得△，即可求解．解：把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的解析式为：，平移后的解析式为：，对称轴为直线，平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，△，，故．18．（3分）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点．如图，若点在内，，则80；现将绕点旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是．【分析】第一个问题证明，推出，可得．第二个问题，如图1中，设交于点．证明，推出点在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出，可得结论．解：，都是等边三角形，，，，，在和中，，，，，．如图1中，设交于点．同法可证，，，，点在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，，，，，，，，，的最小值，故80，．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。）19．（8分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．解：（1）原式；（2）原式．20．（8分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；（2）先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集．解：（1），，，，，解得，；（2），解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式组的解集是．21．（10分）如图，在中，点为对角线的中点，过点且分别交、于点、，连接、．求证：（1）；（2）．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理和性质定理证明即可．证明：（1）点为对角线的中点，，四边形是平行四边形，，，在和中，，．（2），，，四边形是平行四边形，．22．（10分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是；（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是或的结果有6种，再由概率公式求解即可．解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，故；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是或的结果有6种，抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为．23．（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表跳绳个数频数（摸底测试）19277217频数（最终测试）3659（1）表格中65；（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？【分析】（1）用学生总人数减去各组的频数可求解；（2）先求出这组的百分比，即可求解；（3）用学生总人数乘以百分比，可求解．解：（1），故65；（2），扇形统计图补充：如图所示：（3）（人，答：经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50人．24．（10分）如图，为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为5．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）过点作于点．求出，，利用梯形面积公式求解．解：（1）如图1中，点即为所求；（2）过点作于点．在中，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，故．25．（10分）如图，边长为6的等边三角形内接于，点为上的动点（点、除外），的延长线交于点，连接．（1）求证：；（2）当时，求的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出，，即可证明；（2）过点作于点，由等边三角形的性质得出，，由，得出，，由相似三角形的性质得，得出，由含角的直角三角形的性质得出，设，则，，，进而得出，利用勾股定理得出一元二次方程，解方程求出的值，即可求出的长度．（1）证明：如图1，，，；（2）解：如图2，过点作于点，是边长为6等边三角形，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，在中，，，解得：或（不符合题意，舍去），．26．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得的值为；（2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为10，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，，解得或，经检验，时，不符合题意，舍去，，答：此时的值为；（2）设矩形养殖场的总面积是，墙的长度为10，，根据题意得：，，当时，取最大值，最大值为，答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．27．（10分）如图，已知四边形为矩形，，，点在上，，