2020届高考数学模拟考试试卷及答案

2020

科）一、选择题：本大题共

12

个小题，每小题5

分，满分60

分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设

是虚数单位，复数

为纯虚数，则实数

a

的值为（

）A．1

B．﹣1

C．

D．﹣22．集合

A={0，1，2，3，4}，B={xx+2）（x﹣1）≤0}，则

A∩B=（ ）A．{0，1，2，3，4}

B0，1，2，3}

C．{0，1，2}

D．{0，1}= 2

，

= ）3．已知向量

（1，

） （﹣2，m

，若

∥

= 2

，

= ）A． B． C． D．4．设

a=2，数列{1+a}是以

3

为公比的等比数列，则

a=（ ）A．80

B．81

C．54

D．535．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为

2

的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A．2cm

B． cm C．3 cm D．3cm6．执行如图所示的程序框图，若输出

的值是

9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（ ）A．4

B．8 C．12

D．167．已知

，m，n

为三条不同直线，α，β，γ

为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）A．若

m∥α，n∥α，则

m∥nB．若

m⊥α，n∥β，α⊥β，则

m⊥nC．若

α∩β=l，m∥α，m∥β，则

m∥D．若

α∩β=m，α∩γ=n，⊥m，⊥n，则

⊥α8．已知

θ∈（0， ），则

y═ 的最小值为（ ）A．6

B．10

C．12

D．169．已知变量

x，y

满足

，则

的取值范围为（

）A．[0，

] B0，+∞）

C

]

D．[﹣

，0]10．已知直线

：y=kx

与椭圆

C： 交于

A、B

两点，其中右焦点

F

的坐标为（c，0），且

AF

与

BF

垂直，则椭圆

C

的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．11

a、b“⊗”：a⊗b=

f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3

x

的方程

f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根

x、x、x，则

x•x•x取值范围为（ ）A．（0，3）

B．（﹣1，0） C0） D．（﹣3，0）12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足

xf′（x）≤f（xa、b，若

a＜b，则必有（ ）A．af（a）≤bf（b） B．af（a）≥bf（b） C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）二．填空题：本大题共

4

小题；每小题

5

分，共

20

分.13

．圆（x+2

）

+

（

y

﹣

2

）

=2

的圆心到直线

x

﹣

y+3=0

的距离等于 ．14．已知函数

y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤则

φ

的值为 ．

）的部分图象如示，15．定义在

R

上的函数

f（x）满足

f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且

x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2+

，则

f17．已知等差数列{a}满足：a=7，a+a=26．{a}的前

n

项和为

S．（Ⅰ）求

a及

S；（Ⅱ）令

b= （n∈Nb}的前

n

项和

T．18．已知函数

f（x）=﹣2sinx+2

sinxcosx+1（Ⅰ）求

f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若

x∈[﹣ ， ]，求

f（x）的最大值和最小值．19H1N1

病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型

H1N1

病毒和100

4

月

1

日至

4

月

5

日每天昼夜温差与实验室里

100

只白鼠的感染数，得到如下资料：日

4

月

1

日

4

月

2

日

4

月

3

4

月

4

日

4

月

5

日期温差感染

日10

13

11

12

723

32

24

29

17数（1）求这

5

天的平均感染数；y（2）从

4

月

1

日至

4

月

5

日中任取

2

x，

用（x，yy）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y3

或|x﹣y|≥9

的概率．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC

中，AP⊥PC，AC⊥BC，M

为

AB

的中点，D

为

PB

的中点，且△PMB

为正三角形．（）求证：BC⊥平面

APC；（Ⅱ）若

BC=3，AB=10，求点

B

到平面

DCM

的距离．21．已知椭圆

C：

+

=1（a＞b＞0），圆

Q：（x﹣2）+（y﹣

）=2

的圆心

Q

在椭圆

C

上，点

P（0，

）到椭圆

C

的右焦点的距离为

．（1）求椭圆

C

的方程；（2）过点

P

作互相垂直的两条直线

，，且

交椭圆

C

于

A，B

两点，直线交圆

Q

于

C，D

两点，且M

为

CD

的中点，求△MAB

的面积的取值范围．22．已知函数

f（x）= ，（e=2.71828…（1）求

f（x）的单调区间；（2）设

g（x）=xf'（x），其中

f'（x）为

f（x）的导函数．证明：对任意

x＞0，g（x）＜1+e．一、选择题：本大题共

12

个小题，每小题5

分，满分60

分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设

是虚数单位，复数

为纯虚数，则实数

a

的值为（

）A．1

B．﹣1

C．

D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

0

且虚部不为

0

求得

a

值．【解答】解：∵

=

为纯虚数，∴

，解得：a=1．故选：A．2．集合

A={0，1，2，3，4}，B={xx+2）（x﹣1）≤0}，则

A∩B=（ ）A．{0，1，2，3，4}

B0，1，2，3}

C．{0，1，2}

D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出

B

中不等式的解集确定出B，找出

A

与

B

的交集即可．【解答】解：由

B

中不等式解得：﹣2≤x≤1，即

B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故选：D．= 2

，

= ）3．已知向量

（1，

） （﹣2，m

，若

∥

= 2

，

= ）A． B． C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据

∥

，算出

=（﹣2，﹣4

=（﹣4，﹣8

的值．【解答】解：∵∴1×m=2×（﹣2），可得

m=﹣4

且

∥

，由此可得

，∴2

+3

=（﹣4，﹣8），得

=

=4故选：B4．设

a=2，数列{1+a}是以

3

为公比的等比数列，则

a=（ ）A．80

B．81

C．54

D．53【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．1+a}是以

3

为公比的等比数列以及a=2，求出数列{1+a}的通项，再把

n=4

代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a}是以

3

为公比的等比数列，且

a=2所以其首项为

1+a=3．其通项为：1+a=（1+a）×3=3．当

n=4

时，1+a=3=81．∴a=80．故选

A．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为

2

的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A．2cm

B． cm C．3 cm D．3cm【考点】L!：由三视图求面积、体积．几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为 的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1

和

2，高是

2．故这个几何体的体积是

×[

（1+2）×2]×故选：B．

=

（cm）．6．执行如图所示的程序框图，若输出

的值是

9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（ ）A．4

B．8 C．12

D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的

S，

的值，当

S=16，i=9

时，不满足条件，退出循环，输出

的值为

9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出

的值为

9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．7．已知

，m，n

为三条不同直线，α，β，γ

为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）A．若

m∥α，n∥α，则

m∥nB．若

m⊥α，n∥β，α⊥β，则

m⊥nC．若

α∩β=l，m∥α，m∥β，则

m∥D．若

α∩β=m，α∩γ=n，⊥m，⊥n，则

⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．A）若

m∥α，n∥α，则

m

与

n

可能平行，可能相交，也可能异面，故

A

错误；（B

ABCD﹣A′B′C′D′

ABCD

为平面

α，平面

CDD′C′为平面

β，直线

BB′为直线

m，直线

A′B

为直线

n，则

m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线

A′B

与

BB′不垂直，故

B

错误．（C）设过

m

的平面

γ

与

α

交于

a，过

m

的平面

θ

与

β

交于

b，∵m∥α，m⊂

γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂

β，a

β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂

α，∴a∥，∴∥m．故

C

正确．（D

ABCD﹣A′B′C′D′

ABCD

为平面

α，平面

ABB′A′为平面

β，平面

CDD′C′为平面

γ，则

α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但

BC 平面

ABCD，故D错误．故选：C．8．已知

θ∈（0， ），则

y═ 的最小值为（

）A．6

B．10

C．12

D．16【考点】HW：三角函数的最值．【分析】y= =（ ）（cosθ+sinθ），由此利用基本不等式能求出y= 的最小值．【解答】解：∵θ∈（0， ），∴sinθ，cosθ∈（0，1），∴y==1+9+≥10+2=16．当且仅当∴y=故选：D．

=（

）（cosθ+sinθ）=

时，取等号，的最小值为

16．9．已知变量

x，y

满足

，则

的取值范围为（

）A．[0，

] B0，+∞）

C

]

D．[﹣

，0]【考点】7C：简单线性规划．可．【解答】解：不等式 表示的平面区域为如图所示△ABC，设

Q（3，0）平面区域内动点

P（x，y），则

=kPQ，当

P

为点

A

时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当

P

为点

C

时斜率最小，所以故选：D．

∈[﹣

，0]．10．已知直线

：y=kx

与椭圆

C： 交于

A、B

两点，其中右焦点

F

的坐标为（c，0），且

AF

与

BF

垂直，则椭圆

C

的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【考点】K4：椭圆的简单性质．

AF

与

BF

半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和

a，b，c

的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由

AF

与

BF

垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OAb，即

c＞b，可得

c＞b=a﹣c，即有

c＞

a，可得 ＜e＜1．故选：C．11

a、b“⊗”：a⊗b=

f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3

x

的方程

f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根

x、x、x，则

x•x•x取值范围为（ ）A．（0，3）

B．（﹣1，0） C0） D．（﹣3，0）【考点】3O：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=

，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=其图象如下图所示：

，由图可得：x=﹣k，x•x=

k，故

x•x•x=﹣

k，k∈（0，3），∴x•x•x∈（﹣3，0），故选：D．12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足

xf′（x）≤f（xa、b，若

a＜b，则必有（ ）A．af（a）≤bf（b） B．af（a）≥bf（b） C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知条件判断出f′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出

f（x）的单调性，利用单调性判断出f（a）与

f（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），令

F（x）= ，则

F′（x）= ，∵xf′（x）﹣f（x）≤0∴F′（x）≤0，∴F（x）=∵对任意的正数

a、b，a＜b∴ ≥ ，∵任意的正数

a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：C．

在（0，+∞）上单调递减或常函数二．填空题：本大题共

4

小题；每小题

5

分，共

20

分.13．圆（x+2）+（y﹣2）=2

的圆心到直线

x﹣y+3=0

的距离等

于．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆（x+2）y﹣2）=2

的圆心（﹣2，2）， 圆（x+2）+（y﹣2）=2

的圆心到直线

x﹣y+3=0

的距离 故答案为： ．

=

．14．已知函数

y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤则

φ

的值为 ．

）的部分图象如示，【考点】HK：由

y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．算

ω

的值，最后将点（ ，0）代入，结合

φ

的范围，求

φ

值即可【解答】解：由图可知T=2（∴y=sin（2x+φ）

）=π，∴ω=

=2代入（

，0），得

sin（

+φ）=0∴

+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为15．定义在

R

上的函数

f（x）满足

f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且

x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2+

，则

f=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R

上的函数

f（x）满足

f（﹣x）=﹣f（x），∴函数

f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数

f（x）为周期为

4

是周期函数，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣

=﹣1，故答案为：﹣1．eq

\o\ac(△,16) ABC

的三边长成公差为

2

为 ，则这个三角形最小值的正弦值是 ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4

和

b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或

120°，再判断

A

的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且

a＞b＞c＞0，设公差为

d=2，三个角分别为、A、B、C，则

a﹣b=b﹣c=2，可得

b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为 ，∴sinA= ，由

A∈（0°，180°）得，A=60°或

120°，当

A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即

A=120°，则

cosA=

=

=

，化简得 ，解得

c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC= = = ，又

C∈（0°，180°），则

sinC=∴这个三角形最小值的正弦值是故答案为： ．

=，

，三、解答题（本大题共6

小题，共70

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a}满足：a=7，a+a=26．{a}的前

n

项和为

S．（Ⅰ）求

a及

S；（Ⅱ）令

b= （n∈Nb}的前

n

项和

T．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前

n

项和．Ⅰa}的公差为

d，由于

a=7，a+a=26，可得 ，解得a，d，利用等差数列的通项公式及其前n

项和公式即可得出．（Ⅱ）由（）可得

b= = ，利用“裂项求和”即可得出．Ⅰ）设等差数列{a}的公差为

d，∵a=7，a+a=26，∴ ，解得

a=3，d=2，∴a=3+2（n﹣1）=2n+1；S=

=n+2n．（Ⅱ）

=

=

=

，∴T=

=

=

．18．已知函数

f（x）=﹣2sinx+2 sinxcosx+1（Ⅰ）求

f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若

x∈[﹣ ， ]，求

f（x）的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．（【分析】

1y=Asin（（ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x∈[﹣ ， ]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．1）函数

f（x）=﹣2sinx+2

sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+

sin2x+1= sin2x+cos2x=2sin（2x+

）．∴f（x）的最小正周期

T=

，由

2x+ =kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=

kπ∴对称中心（

kπ

，0），（k∈Z）．（2）当

x∈[﹣

，

]时，2x+

∈[

，

]当

2x+当

2x+

==

时，函数

f（x）取得最小值为时，函数

f（x）取得最大值为

2×1=2．

．19H1N1

病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型

H1N1

病毒和100

4

月

1

日至

4

月

5

日每天昼夜温差与实验室里

100

只白鼠的感染数，得到如下资料：日

4

月

1

日

4

月

2

日

4

月

3

4

月

4

日

4

月

5

日期温差感染

日10

13

11

12

723

32

24

29

17数（1）求这

5

天的平均感染数；y（2）从

4

月

1

日至

4

月

5

日中任取

2

x，

用（x，yy）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y3

或|x﹣y|≥9

的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．1）由已知利用平均数公式能求出这5

天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数

n=10，设满足|x﹣y9

的事件为

Ax﹣y3

的事件为

Bx﹣y|≤3

或|x﹣y9

的概率．1）由题意这

5

天的平均感染数为：．（2）（x，y23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数

n=10，设满足|x﹣y9

的事件为

A，则事件

A

23，32），（32，17），（29，17），共有m=3

个，∴P（A）= ，设满足|x﹣y3

的事件为

B

B

23，24），（32，29），共有

m′=2

个，∴P（B）= ，∴|x﹣y|≤3

x﹣y|≥9

的概率

P=P（A）+P（B）=

．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC

中，AP⊥PC，AC⊥BC，M

为

AB

的中点，D

为

PB

的中点，且△PMB

为正三角形．（）求证：BC⊥平面

APC；（Ⅱ）若

BC=3，AB=10，求点

B

到平面

DCM

的距离．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．）根据正三角形三线合一，可得

MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得

AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得

AP⊥平面

PBC，即

AP⊥BC，再由

AC⊥BC

结合线面垂直的判定定理可得

BC⊥平面

APC；（Ⅱ）记点

B

到平面

MDC

的距离为

h，则有

V=V．分别求出

MD

长，及△BCD

和△MDC

面积，利用等积法可得答案．Ⅰ）如图，∵△PMB

为正三角形，且

D

为

PB

的中点，∴MD⊥PB．又∵M

为

AB

的中点，D

为

PB

的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知

AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC 平面

PBC∴AP⊥平面

PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面

APC，…解：（Ⅱ）记点

B

到平面

MDC

的距离为

h，则有

V=V．∵AB=10，∴MB=PB=5，又

BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴ ．又 ，∴ ．在△PBC

中， ，又∵MD⊥DC，∴ ，∴∴即点

B

到平面

DCM

的距离为 ． …21．已知椭圆

C： + =1（a＞b＞0），圆

Q：（x﹣2）+（y﹣ ）=2

的圆心

Q

在椭圆

C

上，点

P（0，

）到椭圆

C

的右焦点的距离为

．（1）求椭圆

C

的方程；（2）过点

P

作互相垂直的两条直线

，，且

交椭圆

C

于

A，B

两点，直线交圆

Q

于

C，D

两点，且M

为

CD

的中点，求△MAB

的面积的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．1）求得圆

Q

的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得

a，b

的值，进而得到椭圆方程；（20

MAB

的面积为

4；设直线

y=kx+ ，代入圆Q

的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得

M

的坐标，求得MP

的长，再由直线AB

的方程为

y=﹣

x+

，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．1）圆Q：（x﹣2）y﹣

）=2

的圆心为（2，

），代入椭圆方程可得

+

=1，由点

P（0，

）到椭圆

C

的右焦点的距离为

，即有

=

，解得

c=2，即

a﹣b=4，解得

a=2 ，b=2，即有椭圆的