九年级数学竞赛专题讲座二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛专题讲座---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义：yax2bxc(a0).2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.性质对yax2bxc(a0)的图像来讲，开口方向：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。xb2a

,4acb2 2a 4a 抛物线与坐标轴的交点情况：若b24ac0，则抛物线与x轴没有交点；若b24ac0，则抛物线与x轴有一个交点；若b24ac0，则抛物线与x轴有两个交点，分别为(b b24ac,0)，(b b24ac,0)；另外，抛物线与y轴的交点为

0,c.

2a 2ab 2abb 2ab 2aayx的增减关系：a0x

byxxbyx的增大而减小；2a 2aa0x

byxxbyx.最值：

2a 2a当a0时，y有最小值，当xb

＝4acb2；2a 最小值 4a当a0时，y有最大值，当xb

＝4acb22a 最大值 4a若抛物线与xxx（x1 2 1

x，则：2a0x1a0x1

xx2xx2

y0xx或xx1 y0xx或xx1

y0y0.求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：yax2bxc(a0)ya(xh)2k(a0)，其中(hk是抛物线的顶点坐标。交点式：ya(xx1

)(xx2

)(a0)，交点式只在抛物线与x轴有交点时才用到，式中x、x是1 2抛物线与x轴交点的横坐标。解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。二、例题解析1yx2kxk1，根据下列各条件，求k的值。抛物线的顶点在x轴上；y轴上；（3）抛物线的顶点1,2；抛物线经过原点；x1y有最小值；y的最小值为1.（）k2（2）k0（）k14）k1（5）k2）k0或k42ykxbyax2xx1 2

，且直线与x轴交点的横

，求证：

111.3 x x x1 2 3xx1 2

为方程kxbax2的两个根，即ax2kxb0，∴xx1

k，xxa 1

ba1 1 xx k∴ x x1 2

1 2xx b12

k 1 bxx3

∴ b x k3∴111x x x1 2 31例3 二次函数yax2bxc，当x

25，而方程ax2bxc0的两根，2满足3319，求a、b、c。ya(xh)2k(a0)，x

1时，有最大值25，即：顶点为1,25 22 21 1∴ya(x)225ax2axa2512 41由已知得：ax2ax a250的两根为、，满足34∴)()219根据两根之和与两根之积的关系解得a4y4x24x24，即ab4c24.

19例4 证明：无论a取任何实数值时，抛物线yx2(a1)x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1a 是通过一个定点，而且这些抛2 4yx2(a1)x1 1

a x2x a(x )(x )2a(x )2 4 4 2 2 2x

时，a(x )0,y2 2即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M1,02 2 1 1 a12 1又yx2(a1)x a2 4

x

a242 4故抛物线的顶点坐标为a11a2xa1 2

2 4 1即y

，消去a得，y(x )2a2 2 4这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上.例5 已知抛物线yax2bxc(a0)过,2,2两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式。解：∵抛物线过,2,2两点，∴代入解析式得b2a3,c4所以yax2bxcax2(2a3)x4∴此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为

4492a2a3216aa

(a0) ∴当 ，即a 时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将a 代入b 2a 3，得a 29 9 2 2b129∴抛物线的解析式是y x212x42 例6 如果二次函数yax2bxc的图像的顶点坐标是，且直线yx4依次与y轴和抛物线相交于PQR三点， 解：∵图像的顶点坐标是2,4 ，所以可设ya(x2)24 （1）P点的坐标是0,4，设Q、R点的坐标为x,y

和x

x4，

x 41 1 2 2 1 1 2 2∴PQ

x(x0)2(x0)2(y4)21 1x2x21 12

，PR x(x0)2(x0)2(y 4)22 22∵PQ:QR=1:3且P在QR之处，∴PQ:PR=PQ:（PQ+QR）＝1:42即 x 21

x =1:4, ∴x22 2

=4x1

（2）x,

是抛物线与直线交点的横坐标1 2∴a(x2)24x4,ax24(4a1)x4a04a1∴a(x2

x4)0（3）（3）（4）xx 41 2由韦达定理，得 4a1xx 1 2 a由（）得，x,x同号，再由，得x 4x1 2 2 1∴x1,x1

4，从得a1或a19∴yx24x8或y1x24x329 9 9例7 已知：抛物线yx2pxq交x轴于点A、B，交y轴于点C，又∠ACB=90°,tan∠CAO－tan∠CBO＝2.求抛物线的解析式。x轴的直线交抛物线于点MN，是否存在以MNx在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。1欲求抛物线的解析式，即求qq与方程x2pxq0的两根有联系，qOC的长，而OC2

OAOB,OAOBx2pxq0的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q；（2）上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。ABx

x

x2pxq0

0x，yCAOBxxx yCAOBx

q0

1 2 1 2 1 21 2 12∵在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高，∴OC2OAOBxx qOC2q2

12∴q2q因为抛物线不经过原点，∴q0,故q1由三角函数的定义和xOCAOOCAO

0xOCBOOCBO

，易得：tan∠CAO＝

1x11 1

tan∠CBO＝ 1x2xx由题设，得

1 22x

2xxx x xx1 2 1

1 2 12∵xx p,xx q1 ∴p＝21 2 12yx22x1（2）设点M、N的坐标为x3

,rx4

rxx3 4

是方程rx22x1，即x22xr10的两个根。∴xx3

2,xx34

r1∴MNx444(r1)2r

x 4

2∵圆与x轴相切（假设圆存在）(xx)24xx3 4 34122(xx)24xx3 4 34122rr1

1或r2

212.说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt△等多方面的知识.训练题班级姓名学号二次函数y(x2)(2x1)图像抛物线的顶点坐标，对称轴方，与x轴交点坐，与y轴交点坐；当x＝ 时，y的最 值等，x 时，y随x增大而减小；时，y0；时，y0。函数y(m2)x2m23m3是x的二次函数，且抛物线开口向下，则m 。yx2bxcx为 。 yy1(x2)2132个单位，就得2到抛物。已知二次函数yax2bxc的图像如右图，则下列6个代数式： O 1 xab,ac,abc,abc,2ab，2ab中，其值为正的式子的个数个。如下图，函数y1xx2的图像（实线部分）大致形状是（ ）yxCyxCyxDyxxBAyyOxOxCD如下图，已知函数yaxb和yax2bxc(ayyOxOxCDy yO Ox xA B8．已知：二次函数y(2m1)x2(5m3)x3m5m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；m为何值时，这两个交点再原点的左右两边；my轴；m为何值时，这个二次函数有最大值5.42已知二次函数y2x24mxm2的图像与x轴有两个交点AB顶点为C若ABC的面积为4 求m的值。2yax2bxc(a0)经过点Ax3ykxm经过ABykxmyax2bxc的解析式。yBAOCxyax2bxc(ayBAOCx判断abcb24ac的符号；当OB时，求a,b,c满足的关系。yCPGAO-2BH1yCPGAO-2BH144.5xDA、By轴于点CABC三点Oy轴于另一点点O且垂直于AD的直线交AD于点BC于点G求抛物线的解析式和点G的坐标；xm交抛物线于点OG于点，是否存在实数，使GPE、Fm在，请说明理由。3 251．( , )，

参考答案 3，1,0和0，2，x

3

，x3，2 4 8 4 2

4 8 41 当x或x ，当 x21 2 22．m1；13．yx22x3或yx26x5；14．y (x1)21；252个a