初中几何中线段和与差最值问题(终审稿)

nnB'初中几何中线段和与差

最值问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小;（1）点（1）点A、B在直线m两侧:A.2）点A、B在直线同侧：2）点A、B在直线同侧：A“mA'2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。1）两个点都在直线外侧：n2）一个点在内侧，一个点在外侧：mn

1）两个点都在直线外侧：n2）一个点在内侧，一个点在外侧：mn3）两个点都在内侧：nB'4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m3）两个点都在内侧：nB'4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内的四边形ADEB周长最短.n变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.nft二）、一个动点，一个定点：nft一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧n2、两点在直线同侧：mn2、两点在直线同侧：m二）动点在圆上运动点B在。0上运动，在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：侧：A在直线同2、点与圆

侧：A在直线同2、点与圆、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)点A、B在直线m两侧:A-：-'m作法：过A点作AC〃m，且AC长等于PQ长，连接BC，交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。点A、B在直线m同侧:»PQB'基础题1.如图1，ZA0B=45°，P是ZAOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求APQR周长的最小值为.

2、如图2,在锐角三角形ABC中，AB=4忑，ZBAC=45°,ZBAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为.3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=、迈，ZBAC=45,BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。4、如图4所示，等边AABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上5、如图5,在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AD=4,AB=5,BC=6,点5、如图5,在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为6、如图6,等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1,ZABC=60°,P是上底，下7、如图7菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为.8、如图8,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，贝则PM+PN的最小值是9、如图9，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为10、如图10所示，已知正方形ABCD蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为10、如图10所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为.11、如图11,MN是半径为1的的直径,110点A在©O上,ZAMN=30°,B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()(A)2恵(B)运(C)1(D)2压轴题1、如图，正比例函数y=1x的图象与反比例函数y=k(kH0)在第一2x象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形0AM的面积为1.1)求反比例函数的解析式；

2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x,x(xVx)是抛物1212线y二ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3，6).求此二次函数的解析式；设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标；在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标.3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,打),△AOB的面(1)求点B的坐标;(2)求过点A、0、B的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点匚使厶AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在,请说明理由.34•如图’抛物线尸亏农18

"5x+3和y轴的交点为A,M为0A的中点，若出这个最短路程的长.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形0ABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA二AB=2,OC=3，过点B作BD丄BC，交OA于点D.将ZDBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；6.如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2,—3),B(4,—1)若C(a,0)，D(a+3,0)2-是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC1■的周长最短.-2-10-1-2-3■1111J012345-叮7、如图，在平面直角坐标系中，矩形创的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P,使PA与PB的差最大;(1)点A、B在直线(1)点A、B在直线m同侧:PP'解析：延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P'A—P'BVAB，而PA—PB二AB此时最大，因此点P为所求的点。°、BfV.B(2)点A、B在直线m异侧:交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）.（1）°、BfV.B（2）在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM—MC|的值最大，求出点M的坐标.3、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,—1）和（一2,—4.如图，直线y=—、/3x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，0A经过点B和点0,直线BC交。A于点D.

1)求点D的坐标；(2)过0,C,D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PO与PD之差的值最大若存在，请求出这个最大值和点P的坐标.若不存在，请说明理由.5、抛物线的解析式为y=—x2+2x+3，交X轴与A与B,交y轴于C.⑴在其对称轴上是否存在一点P,使/APC周长最小，若存在，求其坐标；试直接写出点D的坐标；已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ丄x轴于点Q，连接0P.若以0、P、Q为顶点的三角形与△DA0相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|T0-TB|的值最大7、如图，已知抛物线C的解析式为y=-X2+2x+8,图象与y轴交于D点，1并且顶点A在双曲线上.求过顶点A的双曲线解析式；若开口向上的抛物线C与C的形状、大小完全相同，并且C的顶点212P始终在C1上，证明：抛物线C一定经过A点；2设(2)中的抛物线C的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交2于E点，当D、0、E、F四点组成的四边形的面积为时，先求出P点坐标，并在直线y二x上求一点M,使|MD-MP丨的值最大.8、如图，已知抛物线y=4x2+bx+c经过A(3,0),B(0,4).3求此抛物线解析式；若抛物线与x轴的另一交点为C,求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得|PH—PA|的值最大若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边TOC\o"1-5"\h\z动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是()A.2迈2B.2^5Co2沅D.62、已知：在厶ABC中，BC=a,AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:如图13,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ZACB=60。，则CD=；图图1图2备图图图1图2备图如图14，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且ZACB=90。，则CD=；如图15,当ZACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的ZACB的度数.3、在RtAABC中，ZACB=90°,tanZBAC=1.点D在边AC上(不与2A，C重合)，连结BD，F为BD中点.若过点D作DE丄AB于E,连结CF、EF、CE，如图1.设cfkEF，贝Hk=;若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE-DE=2CF；(1)若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.4、如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB9AENB；⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小;②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;⑶当AM+BM+CM的最小值为朽1时，求正方形的边长.5、如图，二次函数y=-x2+bx+c与x轴交于点B和点A(T,0)，与y轴交于点C,与一次函数y二x+a交于点A和点D.求出a、b、c的值；若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得AEAD面积最大，求点E的坐标;

点F为线段AD上的一个动点，点F到(2)中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标.6、如图，抛物线y=—(x+2)(x-4)(k为常数，且k〉0)与x轴从左到右8依次交于A、B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-3x+b与抛3物线的另一交点为D.若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A,B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF,—动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线