初三上期模拟卷答案

初三上期末数学模拟考试卷（二）班级：__________姓名：__________________A卷（共100分）第Ⅰ卷(选择题，共30分)一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）2．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）3.下列语句中，正确的有（）个（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的弦所对的弧相等；（4）相等的圆心角所对的弧相等。个 个 个 个4．如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（）A． B． C． D．5.用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=96.已知一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,则这个多边形的边数为()A、8B、7C、6D、57.在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤DCBA8.如图，在Rt△ABC中，，，平分，交于点，则点到的距离是（）DCBAA．1B．2C．D．9.如图，PA、PB是的切线，点A和B是切点，AC是的直径，已知∠P=5O°,则∠ACB的大小是()A、60°B、65°C、70°D、75°10．若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上；B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x=1时，y的最大值为﹣4；D．抛物线的对称轴是直线x=1第Ⅱ卷非选择题，共70分)二、填空题：（每小题4分，共16分）11.函数的自变量的取值范围是.12.在△ABC与△DEF中，若，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为．13.将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是______14.已知：如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，以点A为圆心，AD长为半径画弧，以点B为圆心，BC长为半径画弧，则图中阴影部分的周长是．三、解答题（每小题6分，共18分）15．（1）计算：（2）解方程：x2﹣3x=216．化简求值：[﹣]÷，其中x=+1．四、解答题（17题8分，18题9分，19题与20题各10分，共37分）17．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）18．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“我最喜爱的小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有4000名同学，请估计全校同学中最喜爱“小龙虾”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标为四种小吃的序号A、B、C、D随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次摸出A、B球的概率．19．如图，已知双曲线y=，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式y1；（3）根据图象直接写出y≥y1时，x的取值范围．20.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作⊙O的直径CD，连接BD．（1）求证：∠BDC=2∠ABD；（2）连接OA，求证：OA∥BD；（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交AC于F，当F为AC的中点时，若DE=4，求OF的长．B卷（共50分）一、填空题：（每小题4分，共20分）21、已知m和n是方程的两根，则=.22、如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率为___________23、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，且其纵坐标为8，点B为x轴正半轴上一点，且tan∠ABO=2，双曲线y=（x＞0）经过点A，交AB于点C，且AC=3BC,过点O作OD∥AB交双曲线y=-（x＜0）于点D，则△AOD的面积为__________24、如图，等边△ABC内接于⊙O，P是劣弧AB上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，得△DAC，AB交PC于E．则下列结论:①PA+PB=PC；②BC2=PC•CE；③四边形ABCD有可能成为平行四边形；④△PCD的面积有最大值．正确的序号是____________25、如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D；过D1，作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D1，过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，记S△BDE为S1，S记为S2，S记为S3，…，若S△ABC面积为1，Sn=（用含n代数式表示）．二、解答题（共8分）26.某公司研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，公司决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元．在公司规定范围内，商家购买多少件时，公司可获得最大利润？最大利润是多少？（3）某商家一次购买这种产品a件，以每件3200元的价格全部售出，共获利24750元（不计其它成本），请求出产品件数a的值．三、解答题（共10分）27.（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并写出的所有可能的值（用含n的式子表示）四、解答题（共12分）28.已知抛物线y=﹣x2﹣x+a（a≠0）的顶点为M，与y轴交于点A，直线y=x﹣a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）用a表示点A，M，N的坐标．（2）若将△ANC沿着y轴翻折，点N对称点Q恰好落在抛物线上，AQ与抛物线的对称轴交于点P，连结CP，求a的值及△PQC的面积．（3）当a=4时，抛物线如图2所示，设D为抛物线第二象限上一点，E为x轴上的点，且∠OED=120°，DE=8，F为OE的中点，连结DF，将直线BC沿着x轴向左平移，记平移的过程中的直线为B′C′，直线B′C′交x轴与点K，交DF于H点，当△KEH为等腰三角形时，求平移后B的对应点K的坐标．2018年01月08日成都七****道】28的初中数学组卷一．填空题（共3小题）1．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为．2．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是劣弧上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，得△DAC，AB交PC于E．则下列结论正确的序号是．①PA+PB=PC；②BC2=PC•CE；③四边形ABCD有可能成为平行四边形；④△PCD的面积有最大值．3．如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，若记S△BDE为S1，记为S2，记为S3…，若S△ABC面积为Scm2，则Sn=cm2（用含n与S的代数式表示）二．解答题（共8小题）4．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）5．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．6．如图，已知双曲线y=，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式y1；（3）根据图象直接写出y≥y1时，x的取值范围．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作⊙O的直径CD，连接BD．（1）求证：∠BDC=2∠ABD；（2）连接OA，求证：OA∥BD；（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交AC于F，当F为AC的中点时，若DE=4，求OF的长．8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，且其纵坐标为8，点B为x轴正半轴上一点，且tan∠ABO=2，双曲线y=（x＞0）经过点A，交AB于点C，且AC=3BC．（1）求k的值；（2）过点O作OD∥AB交双曲线y=﹣（x＜0）于点D，求△AOD的面积．9．某公司研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，公司决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元．在公司规定范围内，商家购买多少件时，公司可获得最大利润？最大利润是多少？（3）某商家一次购买这种产品a件，以每件3200元的价格全部售出，共获利24750元（不计其它成本），请求出产品件数a的值．10．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．11．已知抛物线y=﹣x2﹣x+a（a≠0）的顶点为M，与y轴交于点A，直线y=x﹣a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）用a表示点A，M，N的坐标．（2）若将△ANC沿着y轴翻折，点N对称点Q恰好落在抛物线上，AQ与抛物线的对称轴交于点P，连结CP，求a的值及△PQC的面积．（3）当a=4时，抛物线如图2所示，设D为抛物线第二象限上一点，E为x轴上的点，且∠OED=120°，DE=8，F为OE的中点，连结DF，将直线BC沿着x轴向左平移，记平移的过程中的直线为B′C′，直线B′C′交x轴与点K，交DF于H点，当△KEH为等腰三角形时，求平移后B的对应点K的坐标．

2018年01月08日成都七****道】28的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共3小题）1．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为．【分析】从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有12种结果，且每种结果出现的机会相同，关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的条件是：4（m2﹣n2）≥0，在上面得到的数对中共有9个满足．【解答】解：从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有：4×3=12种结果，∵满足关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根，则△=（﹣2m）2﹣4n2=4（m2﹣n2）≥0，符合的有9个，∴关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为．【点评】本题是概率与一元二次方程的根的判别式相结合的题目．正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程有根的条件是关键．2．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是劣弧上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，得△DAC，AB交PC于E．则下列结论正确的序号是①②④．①PA+PB=PC；②BC2=PC•CE；③四边形ABCD有可能成为平行四边形；④△PCD的面积有最大值．【分析】分别根据等边三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质分别判断的即可．【解答】解：①∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，∴∠PCD=60°，PC=CD，AD=PB，∠CAD=∠CBP，∵∠PBC+∠PAC=180°，∠DAC+∠PAC=180°，∴P，A，D在一条直线上，∴△PCD是等边三角形，∴PC=PD=DC，∴PB+PA=PA+AD=PD=PC，故选项①正确；②∵∠BPC=∠BAC=∠CBA=60°，∠PCB=∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴=∴BC2=PC•CE，故选项②正确；③当四边形ABCD成为平行四边形时，AD=BC，∵PB=AD，∴PB=BC，∵BPC=∠BAC=60°，∴△PBC是等边三角形，此时P与A点重合，∵P是劣弧上一点（不与A、B重合），∴四边形ABCD不可能成为平行四边形，故选项③错误；④∵P是劣弧上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，∴根据①得出旋转后的三角形是等边三角形，当边长越大，则三角形面积越大，故当P为劣弧的中点时，PC最大，此时三角形面积最大，∴△PCD的面积有最大值，故选项④正确．故答案为：①②④．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，根据旋转的性质得出对应边与对应角之间的关系是解题关键．3．如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，若记S△BDE为S1，记为S2，记为S3…，若S△ABC面积为Scm2，则Sn=cm2（用含n与S的代数式表示）【分析】根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出s1=•BC•AD=s=，根据DE∥AB，D1E1∥AB，得到==2=，求出s2=，同理s3=s=，进而得出sn=，即得到答案．【解答】解：∵D是边BC的中点，过D作DE∥AB，∴E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，过E作EM⊥BC于M，∵BD=DC，DE∥AB，∴AE=EC，∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴AD∥EM，∴DM=MC，∴EM=AD=h，∴s1=•BC•AD=s=，∵DE∥AB，D1E1∥AB，∴==2=，∴s2=•AE•h﹣•AE•h=s=，同理s3=s=，…sn=，故答案为：．【点评】本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键．二．解答题（共8小题）4．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）【分析】（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出；（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．【解答】解：（1）延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E=24°，∴∠GAE=66°．又∵∠BAC=39°，∴∠CAE=180°﹣66°﹣39°=75°．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．sin∠ADC=，∴AH=2．在Rt△ACH中，∵∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，CH=AH=2，∴AC=2，CH=AH=2．∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．5．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；（2）求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：2000××100%=560（人），则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；（3）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=．【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．6．如图，已知双曲线y=，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式y1；（3）根据图象直接写出y≥y1时，x的取值范围．【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解：（1）∵y=，经过点D（6，1），∴=1，∴k=6；（2）∵点D（6，1），∴BD=6，设△BCD边BD上的高为h，∵△BCD的面积为12，∴BD•h=12，即×6h=12，解得h=4，∴CA=3，∴=﹣3，解得x=﹣2，∴点C（﹣2，﹣3），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，得，所以，直线CD的解析式为y=x﹣2，（3）∵点D（6，1），点C（﹣2，﹣3），∴当y≥y1时，x的取值范围为：x≤﹣2，0＜x≤6．【点评】本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作⊙O的直径CD，连接BD．（1）求证：∠BDC=2∠ABD；（2）连接OA，求证：OA∥BD；（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交AC于F，当F为AC的中点时，若DE=4，求OF的长．【分析】（1）如图1中，连接OA，首先证明∠BAC=2∠ACD，由∠BDC=∠BAC，∠DBA=∠ACD即可解决问题．（2）欲证明BD∥OA，只要证明∠DBA=∠BAO即可．（3）如图3中，连接AD，OA与DF交于等K，设OF=a，首先证明OF=KF=a，再证明DA=DK=2a，由△DAE∽△DFA，得=，列出方程求出a即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接OA，∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BAC=2∠ACD，∵∠BDC=∠BAC，∠ABD=∠ACD，∴∠BDC=2∠ABD．（2）证明：如图2中，由（1）可知，∠BAC=∠CAO=∠ACO，∵∠DBA=∠ACO，∴∠DBA=∠BAO，∴OA∥BD．（3）解：如图3中，连接AD，OA与DF交于等K，设OF=a，∵OA=OC，AF=CF，∴FO⊥AC，∴∠AFO=∠AEK=90°，∵∠AKE+∠EAK=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠AKD=∠AOF，∵∠AKE=∠OKF，∴∠AOF=∠FKO，∴OF=FK=a，∵CD是直径，∴∠DAC=∠OFC=90°，∴AD∥OF，AD=2OF=2a，∴∠DAO=∠AOF=∠AKE，∴DA=DK=2a，∵∠ADE=∠ADF，∠AED=∠DAF，∴△DAE∽△DFA，∴=，∴=，∴a=3，∴OF=3．【点评】本题考查圆综合题、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，且其纵坐标为8，点B为x轴正半轴上一点，且tan∠ABO=2，双曲线y=（x＞0）经过点A，交AB于点C，且AC=3BC．（1）求k的值；（2）过点O作OD∥AB交双曲线y=﹣（x＜0）于点D，求△AOD的面积．【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出BM=1，则CM=2，NM=3，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得A点坐标，进而得出答案；（2）首先求出直线AB的解析式进而得出DO的解析式，进而得出D点坐标，再利用S△AOD=S梯形DENA﹣S△DEO﹣S△AON求出即可．【解答】解：（1）如图1，过点A作AN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵点A在第一象限，且其纵坐标为8，∴AN=8，∵tan∠ABO===2，∴BN=4，∵AC=3BC，∴===，∴BM=1，则CM=2，NM=3，设A（x，8），则C（3+x，2），故8x=2（x+3），解得：x=1，则A（1，8），故k=1×8=8；（2）过点D作DE⊥x轴于点E，由（1）得A（1，8），C（4，2），设AC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故AC的解析式为：y=﹣2x+10，∵OD∥AB，∴DO的解析式为：y=﹣2x，∵过点O作OD∥AB交双曲线y=﹣（x＜0）于点D，∴双曲线y=﹣=﹣，则﹣2x=﹣，解得：x1=2（不合题意舍去），x2=﹣2，则x=﹣2时，y=4，即D点坐标为：（﹣2，4），则S△AOD=S梯形DENA﹣S△DEO﹣S△AON=（DE+AN）×EN﹣4﹣4=×（4+8）×3﹣8=10．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及梯形面积、三角形面积求法以及待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用已知得出C点坐标是解题关键．9．某公司研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，公司决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元．在公司规定范围内，商家购买多少件时，公司可获得最大利润？最大利润是多少？（3）某商家一次购买这种产品a件，以每件3200元的价格全部售出，共获利24750元（不计其它成本），请求出产品件数a的值．【分析】（1）根据一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，得出3000﹣10（x﹣10）=2600求出即可；（2）分别根据当0＜x≤10时，当10＜x≤50时，当50＜x≤60时分别求出最值即可；（3）根据x不同的取值范围得出a的值即可．【解答】解：（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元．3000﹣10（x﹣10）=2600，解得：x=50；（2）当0＜x≤10时，y=（3000﹣2400）x=600x，当x=10时，y最大=600×10=6000（元）当10＜x≤50时，y=[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x=﹣10x2+700x=﹣10（x﹣35）2+12250，当x=35时，y最大=12250（元），当50＜x≤60时，y=（2600﹣2400）x=200x，当x=60时，y最大=200×60=12000（元）综上所述，当商家购买35件时，公司可获得最大利润，最大利润是12250元．（3）由题意：当0＜a≤10时和当50＜a≤60时，所求件数都不为整数，所以10＜a≤50，列方程得：3200a﹣[3000﹣10（a﹣10）]a=24750，化简，得：a2+10a﹣2475=0，解得：a1=45，a2=﹣55（不合题意，舍去），即此时产品件数a的值是45件．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值问题，根据已知建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．10．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．【分析】（1）本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD•AC；（2）构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用（1）中的结论；（3）本问是将（2）中的结论推广到一般情形，解题方法与（2）相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴AB2=AD•AC．（2）解：方法一：如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．∵，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，又∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴ED=GD=EG．由（1）可得：AB2=AD•AE，BD2=DE•AD，∴=4，∴AE=4DE，∴=2．∵CG∥BF，∴=2．方法二：如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，∵，∴BD=DC=BC，AB=BC．∵DG∥BF，∴==，FC=2FG．由（1）可得：AB2=AC•AD，BD2=DE•AD，∴=4，∵DG∥BF，∴=4，∴=2．（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：过点D作DG∥BF，交AC边于点G．∵，∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．∵DG∥BF，∴=n，∴FG=nGC，FG=FC．由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，∴=（n+1）2；∵DG∥BF，∴=（n+1）2，即=（n+1）2，化简得：=n2+n；（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．同理可求得：=n2﹣n；（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．同理可求得：=n﹣n2．【点评】本题考查了射影定理的证明及应用．第（2）问中，利用了第（1）问中所证明的射影定理；在第（3）问中，将第（2）问的结论推广到一般情形，体现了从特殊到一般的数学思想．题中涉及线段较多，比例关系比较复杂，注意认真计算不要出错．第（2）问中提供了两种解题方法，可