学案函数的应用

PAGE学案12函数模型及其应用导学目标：1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．自主梳理1．三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增长速度图象的变化随x增大逐渐表现为与____平行随x增大逐渐表现为与____平行随n值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．3．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．4．函数建模的基本程序自我检测1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是 ()A．v＝eq\f(1,100)ex B．v＝100lnxC．v＝x100 D．v＝100×2x2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ()A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.513．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ()A．y＝[eq\f(x,10)] B．y＝[eq\f(x＋3,10)]C．y＝[eq\f(x＋4,10)] D．y＝[eq\f(x＋5,10)]4．(2011·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是 ()5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)探究点一一次函数、二次函数模型例1(2011·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究点二分段函数模型例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．探究点三指数函数模型例3诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)变式迁移3(2011·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数eq\f(1,2)的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ()X1.953.003.945.106.12Y0.971.591.982.352.61A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61cosx2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.1]时，函数f(m)的值域是()A．{1.06,2.12,3.18,4.24}B．{1.06,1.59,2.12,2.65}C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}D．{1.59,2.12,2.65}3．(2011·秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是()A．多赚约6元 B．少赚约6元C．多赚约2元 D．盈利相同4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 ()A．4000元 B．3800元C．4200元 D．3600元5．(2011·沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ()A．18万件 B．20万件C．16万件 D．8万件题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.7．(2010·金华十校3月联考)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确的是________(填序号)①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝eq\f(9,2)x－eq\f(1,4)，n＝－eq\f(1,4)x2＋5x＋eq\f(7,4)，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？10．(12分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq\f(购地总费用,建筑总面积))11．(14分)(2011·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y表示成x的函数，并求出其定义域；(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？答案自主梳理1．增函数增函数增函数越来越快越来越慢相对平稳y轴x轴2.(1)快于ax>xn(2)慢于logax<xnax>xn>logax自我检测1．A[由e>2，知当x增大时，eq\f(1,100)ex增大更快．]2．B[依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．]3．B[每10个人可以推选1个，(xmod10)>6可以再推选一个，即如果余数(xmod10)≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．]4．A5．5解析设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有0.3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x≤0.09，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x≤0.3.估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．课堂活动区例1解(1)每吨平均成本为eq\f(y,x)(万元)．则eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，当且仅当eq\f(x,5)＝eq\f(8000,x)，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－eq\f(1,5)×(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．变式迁移1解(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3000)，租赁公司的月收益为y元，则y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))－eq\f(x－3000,50)×50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))×150＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050，当x＝4050时，ymax＝307050.答当每辆车月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307050.例2解(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，∴s＝eq\f(1,2)×4×12＝24(km)．(2)当0≤t≤10时，s＝eq\f(1,2)·t·3t＝eq\f(3,2)t2，当10<t≤20时，s＝eq\f(1,2)×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，s＝eq\f(1,2)×10×30＋10×30＋(t－20)×30－eq\f(1,2)×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上，可知S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t2，t∈[0，10]，,30t－150，t∈10，20]，,－t2＋70t－550，t∈20，35].))(3)∵t∈[0,10]时，smax＝eq\f(3,2)×102＝150<650，t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40.∵20<t≤35，∴t＝30.∴沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．变式迁移2解(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14.4x，0≤x≤\f(4,5)，,20.4x－4.8，\f(4,5)<x≤\f(4,3)，,24x－9.6，x>\f(4,3).))(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))时，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))<26.4；当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(4,3)))时，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))<26.4；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．例3解题导引指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－eq\f(1,2)f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－eq\f(1,2)f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为eq\f(1,6)·eq\f(1,2)f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．变式迁移3解现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100；可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：y＝100×(eq\f(3,2))x，x∈N*，由100×(eq\f(3,2))x>1010，得(eq\f(3,2))x>108，两边取以10为底的对数，得xlgeq\f(3,2)>8，∴x>eq\f(8,lg3－lg2)，∵eq\f(8,lg3－lg2)＝eq\f(8,0.477－0.301)≈45.45，∴x>45.45.答经过46小时，细胞总数超过1010个．课后练习区1．B[通过检验可知，y＝log2x较为接近．]2．B[当0.5≤m<1时，[m]＝0，f(m)＝1.06；当1≤m<2时，[m]＝1，f(m)＝1.59；当2≤m<3时，[m]＝2，f(m)＝2.12；当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.]3．B[设A、B两种商品的原价为a、b，则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23⇒a＝eq\f(23×25,36)，b＝eq\f(23×25,16)，a＋b－46≈6元．]4．B[设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(00<x≤800，,x－800×14%800<x≤4000，,11%·xx>4000.))如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.]5．A[利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]6．a(1＋b)a(1＋b)5解析由于2009年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b)t，同理可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量为a(1＋b)5t.7．2500m2解析设所围场地的长为x，则宽为eq\f(200－x,4)，其中0<x<200，场地的面积为x×eq\f(200－x,4)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋200－x,2)))2＝2500m2，等号当且仅当x＝100时成立．8．②④9．解(1)由已知，m－n＝eq\f(9,2)x－eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋5x＋\f(7,4)))＝eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)x－2.……………(3分)由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.据题意，x>0，所以x≥4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………(6分)(2)若企业亏损最严重，则n－m取最大值．因为n－m＝－eq\f(1,4)x2＋5x＋eq\f(7,4)－eq\f(9,2)x＋eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－12－9))＝eq\f(9,4)－eq\f(1,4)(x－1)2.………………