高考数学 专题19 数列的求和问题（原卷版）

专题19数列的求和问题十年大数据*全景展示年份题号考点考查内容2011理17拆项消去求和法等比数列的通项公式、性质、等差数列的前项和公式及拆项相消求和法，运算求解能力2012理16公式法与分组求和法灵活运用数列知识求数列问题能力2013卷2理16数列综合问题等差数列的前项和公式及数列最值问题，函数与方程思想卷1文17拆项消去求和法等差数列的通项公式、前项和公式及列项求和法，方程思想卷1理12数列综合问题递推数列、数列单调性、余弦定理、基本不等式应用等基础知识，综合利用数学知识分析解决问题能力2014卷1文17错位相减法等差数列的通项公式及错位相减法，方程思想、转化与化归思想2015卷1理17拆项消去求和法利用数列利用前项和与关系求通项公式、等差数列定义及通项公式、利用拆项消去法数列求和2016卷3理12数列综合问题对新概念的理解和应用新定义列出满足条件的数列卷1理17公式法与分组求和法等差数列通项公式与前项和公式、对新概念的理解与应用，分组求和法2017卷3文17拆项消去求和法利用数列利用前项和与关系求通项公式及利用拆项消去法数列求和卷2理15拆项消去求和法等差数列基本量的运算等差数列通项公式、前项和公式及拆项消去求和法，方程思想卷1理12数列综合问题等比数列的前项和公式、等差数列前项和公式，逻辑推理能力2020卷2文12等差数列等差数列通项公式、前项和公式卷3理17数列综合问题数学归纳法，错位相减法求数列的和文17等差数列与等比数列等比数列通项公式，等差数列前项和公式大数据分析*预测高考考点出现频率2021年预测考点61公式法与分组求和法1/132021年高考数列求和部分仍将重点拆线消去法和错位相减法及与不等式恒成立等相关的数列综合问题，求和问题多为解答题第二问，难度为中档，数列综合问题为小题压轴题，为难题考点62裂项相消法求和5/13考点63错位相减法2/13考点64并项法与倒序求和法1/13考点65数列综合问题4/13十年试题分类*探求规律考点61公式法与分组求和法1．（2020全国Ⅱ文14）记为等差数列的前项和，若，则．2．（2020浙江11）已知数列满足，则．3．（2020山东14）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为．4．（2012新课标，理16）数列{}满足，则{}的前60项和为．5．（2020山东18）已知公比大于的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．6．（2016•新课标Ⅱ，理17）为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，．（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）求数列的前1000项和．7．（2015湖南）设数列的前项和为，已知，且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求．8．（2013安徽）设数列满足，，且对任意，函数，满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．考点62裂项相消法求和1．（2020浙江20）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．2．（2017•新课标Ⅱ，理15）等差数列的前项和为，，，则．3．（2017•新课标Ⅲ，文17）设数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．4．（2015新课标Ⅰ，理17）为数列{}的前n项和．已知＞0，=QUOTE．（Ⅰ）求{}的通项公式：（Ⅱ）设QUOTE,求数列QUOTE}的前n项和5．（2013新课标Ⅰ，文17）已知等差数列｛｝的前n项和满足=0，=-5．（Ⅰ）求｛｝的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．6．（2011新课标，理17）等比数列{}的各项均为整数，且=1，=，（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设=，求数列{}的前项和．7．（2016年天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等差中项．(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列；(Ⅱ)设，求证：8．（2011安徽）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和．9．(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令=求数列的前项和．10．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且构成等比数列．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．考点63错位相减法1．（2020全国Ⅲ理17）设等差数列满足．（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和．2．（2014新课标I，文17）已知{}是递增的等差数列，，是方程的根。（=1\*ROMANI）求{}的通项公式；（=2\*ROMANII）求数列{}的前项和．3．（2015浙江）已知数列和满足，，，，．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）记数列的前项和为，求．4．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．5．（2016年山东高考）已知数列的前n项和，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn．6．(2015湖北)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)当时，记，求数列的前项和．7．（2013山东）设等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和,且（λ为常数），令（）．求数列的前项和．8．（2017山东）已知是各项均为正数的等比数列，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，，…，得到折线…，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．9．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．10．（2015湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．11．（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和．12．（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．考点64并项法与倒序求和法1．（2011安徽）若数列的通项公式是,则=A．15B．12C．－12D．－15考点65数列综合问题1．（2017•新课标Ⅰ，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．220 D．1102．（2016•新课标Ⅲ，理12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有A．18个 B．16个 C．14个 D．12个3．（2013新课标Ⅰ，理12）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝eq\f(cn＋an,2)，cn＋1＝eq\f(bn＋an,2)，则( )A．{Sn}为递减数列 B。{Sn}为递增数列QUOTE C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 4．（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，,则A．当b=时，a10＞10 B．当b=时，a10＞10 C．当b=-2时，a10＞10 D．当b=-4时，a10＞105．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；q：，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（2020全国Ⅲ文17）设等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）设为数列的前项和．若，求．7．（2014浙江）设函数，，，，记，则A．B．C．D．8．（2013新课标Ⅱ，理16）等差数列{}前n项和为，=0，=25，则的最小值为．9.(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为．10．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．11．（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．（1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．12．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有13．（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．（1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．14．(2018江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．15．（2016年四川高考）已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，．（I）若成等差数列，求的通项公式；(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，证明：．16．（2015陕西）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．1